第 23 章 图形的相似单元测试 2025-2026学年 华东师大版（2024）九年级数学上册

第 23 章 图形的相似 （满分：120分　考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的） 1.下列各组图中，是位似图形的是(　D　) 2.已知两个相似三角形的面积之比为4∶9，这两个三角形的周长的和是100 cm，那么较小的三角形的周长为(　C　) A．20 cm B．30 cm C．40 cm D．60 cm 3.下列各组不同长度的线段中，是成比例线段的是(　C　) A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cm D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm 4.如图，AD∥BE∥CF，点B、E分别在AC、DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF长为(　D　) A．4 B．2 C． D． 　　　　　　　　 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB平移得到线段MN，若点A(－1，3)的对应点为M(2，5)，则点B(－3，－1)的对应点N的坐标是(　B　) A．(1，0) B．(0，1) C．(－6，0) D．(0，－6) 6.如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是(　D　) A．OA·OC＝OD·OB B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．＝ 7.如图，嘉嘉在A时测得一棵4 m高的树的影长DF为8 m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为(　A　) A．2 m B．2 m C．4 m D．4 m 8.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为(　C　) A．5 B．6 C． D． 如图， ∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴＝＝＝2，∴S阴影＝S△ABC＝××4×4＝. 　　　　　　　　　 9.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5.①以点B为圆心，适当长为半径作弧分别交AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点Q；③作射线BQ交AD于点P，交CD的延长线于点E，则AB∶DE＝(　D　) A．2∶1 B．2∶5 C．4∶3 D．3∶2 由作法得BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠APB＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝3，∵AD＝5，∴PD＝AD－AP＝2，∵AB∥DE，∴△ABP∽△DEP，∴AB∶DE＝AP∶DP＝3∶2. 10.如图，等边△ABC的顶点B恰好落在等边△ADE的边DE上，BC，AE交于点F.若AC＝8，AD＝9，则EF的长为(　B　) A．3 B． C． D． ∵等边△ABC的顶点B恰好落在等边△ADE的边DE上，AC＝8，AD＝9，∴∠C＝∠D＝∠CAB＝∠EAD＝60°，AB＝AC＝8，AE＝AD＝9，∴∠CAB－∠EAB＝∠EAD－∠EAB，即∠CAF＝∠DAB，∴△CAF∽△DAB，∴＝，∴＝，解得EF＝. 11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ①∵∠A＝∠A，若∠B＝∠AED，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③若＝，且夹角∠A＝∠A，则能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD·BC＝DE·AC可得＝，此时不能确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意． 12.如图，在平面直角坐标系中，一动点从点(1，0)出发，其顺序按图中“→”方向排列，如：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，按照这样的运动规律，第2 025个点的坐标是(　C　) A．(45，1) B．(46，1) C．(45，0) D．(46，0) 由图得第1个点的坐标是(1，0)，第9个点的坐标是(3，0)，第25个点的坐标是(5，0)，….∵452＝2 025，∴第2 025个点的坐标是(45，0). 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13.如图，∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是　AB∥DE（答案不唯一）　．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 第13题图 　　　　　　　　　　 第14题图 14.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是　（，）　． 15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连结OE交BC于点F.已知AB＝2，BC＝8，CE＝1，则CF＝　2　． 过O作OM∥AB交BC于点M， ∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD， ∴OA＝OC，OM∥CD，∴OM＝CD＝1，BM＝MC＝BC＝4，∠OMF＝∠FCE. 在△OFM和△EFC中， ∴△OFM≌△EFC(A.A.S.)， ∴MF＝FC＝MC＝2. 16.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.点P，Q分别在AE，CG上，满足PF∥AB∥HQ，若EH＝2PE，则的值是　　，的值是　　． 设PE＝1，则EH＝2PE＝2.设AP＝x，则BF＝AE＝1＋x. ∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥FG，EF＝EH＝FG＝HG＝2， ∴BE＝EF＋BF＝3＋x. ∵PF∥AB，∴△PEF∽△AEB，∴＝＝， ∴＝，解得x＝1，∴＝. 设PQ与BE交于点M， 由全等可知DH＝AE＝CG＝1＋x＝2，∴DG＝4.∵GH＝DH，HQ∥CD， ∴GQ＝CQ＝CG＝1，∴FQ＝3.∵PH∥FG，∴△PME∽△QMF， ∴＝＝＝，∴EM＝FM，PM＝MQ，∴EM＝EF＝， ∴PM＝＝，∴MQ＝，∴PQ＝2，∴＝. 三、解答题（本大题满分72分） 17.（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)、B(3，2)、C(2，3). (1)△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标； (2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A2B2C2并写出点B2的坐标． (1)如图，△A1B1C1为所作，A1(－1，－1)； (2)如图，△A2B2C2为所作，B2(6，4). 18.（10分）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）.已知小明的眼睛离地面的距离AB＝1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD＝4米，小明到凉亭的距离BD＝10米，凉亭离城楼底部的距离DF＝30米，小亮身高1.7米，B、D、F三点在同一水平线上．请根据以上数据求出城楼的高度． 如图，过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N. 依题意，得AN＝10，CN＝4－1.6＝2.4，MN＝30， ∴AM＝AN＋MN＝40.∵CN∥EM， ∴△ACN∽△AEM，∴＝，即＝，解得EM＝9.6. ∵MF＝AB＝1.6，∴城楼的高度为9.6＋1.6－1.7＝9.5（米）. 19.（10分）如图，AF、AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG. (1)求证：△ABC∽△ADE； (2)若DE＝3，＝，求BC的长． (1)∵AF、AG分别是△ABC和△ADE的高， ∴AF⊥BC，AG⊥DE， ∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°， ∴∠BAF＋∠B＝90°，∠DAG＋∠ADG＝90°， ∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG， 又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE； (2)∵△ADE∽△ABC，∴＝， ∵＝，DE＝3，∴＝，∴BC＝. 20.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0<t<2)，连结PQ. (1)请用含t的代数式表示：BP＝　5t cm　，BQ＝　(8－4t) cm　； (2)求当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？ (1)根据题意，知BP＝5t cm，BQ＝(8－4t) cm； (2)∵∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，∴AB＝＝＝10(cm). 分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，＝， ∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，∴＝，解得t＝1； ②当△BPQ∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝，∴t＝1或t＝时，△BPQ与△ABC相似． 21.（15分）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB. 求证：(1)∠CAE＝∠BAF； (2)CF·FQ＝AF·BQ. (1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∵CF＝BE，∴CF－EF＝BE－EF，即CE＝BF， 在△ACE和△ABF中， ∴△ACE≌△ABF(S.A.S.)，∴∠CAE＝∠BAF. (2)∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF， ∵AE2＝AQ·AB，AC＝AB，∴＝， ∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC＝∠AQF， ∴∠AEF＝∠BQF， ∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠BQF＝∠AFE， ∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ， ∴＝，即CF·FQ＝AF·BQ. 22.（15分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连结DE，交AC于点F. 　　 (1)如图1，当＝时，求的值； (2)如图2，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG. (1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD， ∵＝，∴＝，∴＝， ∵CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，∴＝＝， ∵△CEF与△CDF在EF，DF边上的高相等， ∴＝＝，∴的值是. (2)∵E是BC的中点，∴CE＝BE＝BC＝AD， ∵CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，∴＝＝， ∵FG⊥BC于点G， ∴∠FGC＝∠ABC＝90°，∴FG∥AB，∴＝＝， ∴CG＝BG. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第 23 章 图形的相似 （满分：120分　考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的） 1.下列各组图中，是位似图形的是( ) 2.已知两个相似三角形的面积之比为4∶9，这两个三角形的周长的和是100 cm，那么较小的三角形的周长为( ) A．20 cm B．30 cm C．40 cm D．60 cm 3.下列各组不同长度的线段中，是成比例线段的是( ) A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cm D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm 4.如图，AD∥BE∥CF，点B、E分别在AC、DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，则EF长为( ) A．4 B．2 C． D． 　　　　　　　　 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB平移得到线段MN，若点A(－1，3)的对应点为M(2，5)，则点B(－3，－1)的对应点N的坐标是( ) A．(1，0) B．(0，1) C．(－6，0) D．(0，－6) 6.如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( ) A．OA·OC＝OD·OB B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．＝ 7.如图，嘉嘉在A时测得一棵4 m高的树的影长DF为8 m，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长DE为( ) A．2 m B．2 m C．4 m D．4 m 8.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( ) A．5 B．6 C． D． 　　　　　　　　　 9.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5.①以点B为圆心，适当长为半径作弧分别交AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点Q；③作射线BQ交AD于点P，交CD的延长线于点E，则AB∶DE＝( ) A．2∶1 B．2∶5 C．4∶3 D．3∶2 10.如图，等边△ABC的顶点B恰好落在等边△ADE的边DE上，BC，AE交于点F.若AC＝8，AD＝9，则EF的长为( ) A．3 B． C． D． 11.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12.如图，在平面直角坐标系中，一动点从点(1，0)出发，其顺序按图中“→”方向排列，如：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，按照这样的运动规律，第2 025个点的坐标是( ) A．(45，1) B．(46，1) C．(45，0) D．(46，0) 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13.如图，∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 第13题图 　　　　　　　　　　 第14题图 14.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是 ． 15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连结OE交BC于点F.已知AB＝2，BC＝8，CE＝1，则CF＝ ． 16.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.点P，Q分别在AE，CG上，满足PF∥AB∥HQ，若EH＝2PE，则的值是 ，的值是 ． 三、解答题（本大题满分72分） 17.（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)、B(3，2)、C(2，3). (1)△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标； (2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A2B2C2并写出点B2的坐标． 18.（10分）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）.已知小明的眼睛离地面的距离AB＝1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD＝4米，小明到凉亭的距离BD＝10米，凉亭离城楼底部的距离DF＝30米，小亮身高1.7米，B、D、F三点在同一水平线上．请根据以上数据求出城楼的高度． 19.（10分）如图，AF、AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG. (1)求证：△ABC∽△ADE； (2)若DE＝3，＝，求BC的长． 20.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0<t<2)，连结PQ. (1)请用含t的代数式表示：BP＝ ，BQ＝ ； (2)求当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？ 21.（15分）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB. 求证：(1)∠CAE＝∠BAF； (2)CF·FQ＝AF·BQ. 22.（15分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连结DE，交AC于点F. 　　 (1)如图1，当＝时，求的值； (2)如图2，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG. 学科网（北京）股份有限公司 $$