精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校 八年级（下）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分）. 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，使不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是( ) A. += B. C. D. 5. 如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.3 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为 1.7 米的学生 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米处时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离 AD 等于是（ ） A. 1.0 米 B. 1.25 米 C. 1.2 米 D. 1.5 米 7. 化简（）2022•（）2023的结果为（　　） A. ﹣﹣2 B. ﹣2 C. +2 D. ﹣1 8. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　） A. 100° B. 120° C. 130° D. 150° 9. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题3分） 11. 计算：____． 12. 如图，，则在数轴上点表示的实数是______． 13. 已知，则______． 14. 如果成立，那么x的取值范围是_____________. 15. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 16. 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，点在边上，沿翻折后点恰好落在轴上点处，若为等腰三角形，点的坐标为____________． 三．解答题（一）（共3小题，每小题6分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明． 四．解答题（二）（共3小题，每小题8分） 20. 阅读：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与；这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子，分母同乘以分母的有理化因式． 如：；； （1）请你写出的有理化因式： ． （2）已知：，求的值． （3）化简：. 21. 如图，在边长为6的正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若时，求线段的长． 22. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 五．解答题（三）（共3小题，每小题10分） 23. 如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC． （1）求证：BD=EC． （2）探究线段BD，DC，AD之间的数量关系并说明理由． （3）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=8，CD=4，求AD的长． 24. 已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点在线段上，且，．请回答下列问题： ①线段______，______； ②猜想：，，三者之间的数量关系为______．（提示：连接 （2）如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立吗？若成立，请你给出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）若动点在线段上，满足，求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与重合），点在边上移动（不与重合），在移动的过程中保持． （1）连接，____________________°； （2）求周长的最小值及此时点的坐标； （3）在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校 八年级（下）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分）. 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形， 选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形． 故选D． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项逐一分析即可． 【详解】解：A． 不是最简二次根式，故A不符合题意； B． ，被开方数不含有能开得尽方的因式，是最简二次根式，故B符合题意； C．，被开方数中含有分母，故C不符合题意； D． ，分母中含有二次根式，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于熟记最简二次根式的概念． 3. 下列条件中，使不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及根据角的比例算出最大的角与90°作比较逐一判断即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，故是直角三角形，故A不符合题意； 由题意：令，则，， ∴，，， ∴，故是直角三角形，故B不符合题意； ，故是直角三角形，故C不符合题意； 由，则： 最大的角，故不是直角三角形，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理来判断直角三角形及直角三角形的定义是解题的关键． 4. 下列运算中正确的是( ) A. += B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加法、混合运算以及二次根式的化简等知识逐一进行分析即可得. 【详解】A. +=2+3=5，故A选项错误； B. =2，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，正确， 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简等知识，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键. 5. 如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键．根据题意可求出，即推出．在中，利用含角的直角三角形的性质即可求出长． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，，． ∴． 故选：B． 6. 为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.3 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为 1.7 米的学生 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米处时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离 AD 等于是（ ） A. 1.0 米 B. 1.25 米 C. 1.2 米 D. 1.5 米 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，先证明四边形BEDC是矩形，求出DE和AE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝∠BED＝90°， 由题意知，∠DCB＝∠B＝90°， ∴四边形BEDC是矩形， ∴BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米， ∵AB＝2.3米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到： AD＝（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 7. 化简（）2022•（）2023的结果为（　　） A. ﹣﹣2 B. ﹣2 C. +2 D. ﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除运算以及积的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：原式＝[（﹣2）（+2）]2022•（+2） ＝（3﹣4）2022•（+2） ＝1×（+2） ＝+2， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型． 8. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　） A. 100° B. 120° C. 130° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到PE= AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点， ∴PE=AD，PF=BC， ∵AD=BC， ∴PE=PF， ∴∠PFE=∠PEF=25°， ∴∠EPF=130°， 故选C． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 9. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连接，下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据平分，可得， 从而得到，进而得到，可得①符合题意；然后证明，可得，从而得到，故②符合题意；再证得，可得③符合题意；再根据，可得，故④符合题意； 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； 在和中， ∵ ，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴，故③符合题意； ∵，，， ∴， ∴，故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分） 11. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再相减． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 12. 如图，，则在数轴上点表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，求出长是解题的关键． 先由勾股定理求解，再由即可求解数轴上点表示的实数． 【详解】解：， ， 点在原点的左侧，到原点的距离是， 点表示的实数是． 故答案为：． 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式，分别求出、，根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：根据二次根式有意义得， 解得， ， 解得， ， 故答案为：． 14. 如果成立，那么x的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，根据二次根式的性质，通过列一元一次不等式组并求解，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组等，解题的关键是牢记二次根式中根号里的式子要大于或等于零． 15. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【答案】135 【解析】 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 16. 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，点在边上，沿翻折后点恰好落在轴上点处，若为等腰三角形，点的坐标为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】解：如图，为等腰三角形，当，，可得，从而可得答案；当时，如图，则，，从而可得答案；当时，如图，设，，建立方程，从而可得答案． 【详解】解：如图，为等腰三角形，当，， ∴，， ∴， ∴， 当时，如图，则， ∴， ∴； 当时，如图，设， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 三．解答题（一）（共3小题，每小题6分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别计算零次幂，化简绝对值，二次根式的除法运算，再合并即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是化简绝对值，零次幂的含义，二次根式的除法运算，二次根式的加减运算，熟记基础的运算法则是解本题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算分式的乘法运算，再计算减法运算，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 19. 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明． 【答案】BE∥DF，BE＝DF, 证明：如图1 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，∠1＝∠2， 又∵CE＝AF， ∴△BCE≌△DAF． ∴BE＝DF，∠3＝∠4． ∴BE∥DF． 【解析】 【分析】证明△BCE≌△DAF，得到BE＝DF，∠3＝∠4，问题得解. 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 四．解答题（二）（共3小题，每小题8分） 20. 阅读：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与；这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子，分母同乘以分母的有理化因式． 如：；； （1）请你写出的有理化因式： ． （2）已知：，求的值． （3）化简：. 【答案】（1）（答案不唯一） （2）14 （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）先求出，从而得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （3）先求出，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴是的有理化因式， 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，完全平方公式的变形求值，熟知分母有理化的计算法则是解题的关键． 21. 如图，在边长为6的正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若时，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ∴， 又AG平分， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由平分得，得出，从而得出，再根据等腰三角形的判定得出结论； （2）先求出，再根据勾股定理求出及的长，最后可得的长； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 五．解答题（三）（共3小题，每小题10分） 23. 如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC． （1）求证：BD=EC． （2）探究线段BD，DC，AD之间的数量关系并说明理由． （3）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=8，CD=4，求AD的长． 【答案】（1）证明：由题意得：∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE， ∴在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE，∴BD=EC． （2），理由如下： 如图，连结DE， 由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B， ∴∠DCE＝90°， ∴， 又在Rt△ADE中， ， ∵AD＝AE， ∴； （3）AD= 【解析】 【分析】（1）由题意可以得到△BAD≌△CAE，所以由三角形全等的性质即可得到BD=EC； （2）连结DE，由（1）可得△BAD≌△CAE，所以得到∠ACE＝∠B，∠DCE＝90°，最后结合勾股定理可以得到； （3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，则同（1）可得△BAD≌△CAE，从而CE=8，又由已知可得∠EDC＝90°，所以结合CD可得DE的值，最后由△DAE是直角三角形可以得到AD的长度． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE， ∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∴在△BAD与△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴CE＝BD＝8， ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°， ∴∠EDC＝90°， ∴DE＝， ∵∠DAE＝90°， ∴AD＝AE＝． 【点睛】本题考查三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、直角三角形的判定和性质、勾股定理并综合运用是解题关键． 24. 已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点在线段上，且，．请回答下列问题： ①线段______，______； ②猜想：，，三者之间的数量关系为______．（提示：连接 （2）如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立吗？若成立，请你给出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）若动点在线段上，满足，求的值． 【答案】（1）①；； ②， 证明：如图1，过作于点， 则是等腰直角三角形， 为等腰直角三角形，， ， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ． 故答案为：． （2）成立，证明：如图2，过作于点． △为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在中，由勾股定理可得，， ， （3） 【解析】 【分析】（ 1）①在中，利用勾股定理可求得，由可求得； ②如图1，过作于点，则△是等腰直角三角形，△为等腰直角三角形，，把和都用和表示出来，从而可得到，，三者之间的数量关系； （ 2）过作于点，把和都用和表示出来，从而可证得结论； （ 3）当点在线段上，在和中，利用勾股定理可分别得到、和的关系，从而可求解． 【小问1详解】 解：①： 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：；； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，如图3，当点在线段上时， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理可得， ． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的加减运算，分母有理化．在（2）中注意分别用和表示出和是解题的关键，在（3）中确定出P点的位置，再结合条件找到、与的关系是解题的关键．本题涉及内容不广，但综合性较强． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与重合），点在边上移动（不与重合），在移动的过程中保持． （1）连接，____________________°； （2）求周长的最小值及此时点的坐标； （3）在（2）的结论下，若为平面内一点，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，与为等边三角形，，可得，再利用全等三角形的性质可得答案； （2）证明为等边三角形；可得，则当时，周长有最小值，结合为等边三角形，，，再结合中点坐标的含义可得答案； （3）设，而，，；分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，， ∴，与为等边三角形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴为等边三角形； ∴， 当时，周长有最小值， ∵为等边三角形， ∴，， ∴的周长最小值为，， ∴， ∴为的中点， ∴． 【小问3详解】 设，而，，； 当为对角线时， ∴，解得：， ∴， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴， 当为对角线时， ∴，解得：， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的含义，平行四边形的判定与性质，中点坐标公式的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $