第二十三章 专题特训八 旋转中常见的几何模型-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

∴ 点D,C,F 在同一条直线上. ∵ AE+CD=DE, ∴ CF+CD=DE,即DF=DE. ∵ BD=BD,BF=BE, ∴ △BDF≌△BDE. ∴ ∠BDF= ∠BDE,即 DB 平 分 ∠CDE. (第9题) 10. (1) 在 △CEN 中,∠CEN = 180°-∠DCN -∠MNO=180°- 45°-30°=105°. (2) ∵ OD 平分∠MON, ∴ ∠DON = 12 ∠MON = 1 2 × 90°=45°. ∴ ∠DON=∠D=45°. ∴ CD∥AB. ∴ ∠CEN=180°-∠MNO=180°- 30°=150°. (3) 5或17;11或23. 解析:如图①, 当CD 在AB上方时,设OM 与CD 相 交于点F.∵ CD∥MN,∴ ∠OFD= ∠M=60°.在△ODF 中,∠MOD= 180°-∠D-∠OFD=180°-45°- 60°=75°.∴ 旋转角为75°.∴ t= 75°÷15°=5.如图②,当CD 在AB 的 下方时,设直线OM 与CD 相交于 点F.∵ CD∥MN,∴ ∠DFO = ∠M=60°.在△DOF 中,∠DOF= 180°-∠D-∠DFO=180°-45°- 60°=75°.∴ 旋转角为75°+180°= 255°.∴ t=255°÷15°=17.综上所 述,在第5或17秒时,边CD 恰好与 边MN 平行.如图③,当CD 在OM 的右边时,设CD 与AB 相交于点G. ∵ CD⊥MN,∴ ∠NGC=90°- ∠MNO=90°-30°=60°.∴ ∠CON= ∠NGC-∠OCD=60°-45°=15°. ∴ 旋转角为180°-∠CON=180°- 15°=165°.∴ t=165°÷15°=11.如图 ④,当CD 在OM 的左边时,设CD 与 AB 相 交 于 点 G.∵ CD ⊥MN, ∴ ∠NGD=90°-∠MNO=90°- 30°=60°.∴ ∠AOC= ∠NGD - ∠C=60°-45°=15°.∴ 旋转角为 360°-∠AOC=360°-15°=345°. ∴ t=345°÷15°=23.综上所述,在第 11或23秒时,直线CD 恰好与直线 MN 垂直. (第10题) 专题特训八　旋转中 常见的几何模型 1. 4 2. 19 3. 14+43 解析:如图,将△ABP 绕点B 按顺时针方向旋转90°,得到 △CBP',连接PP',过点A 作AH⊥ BP,交 BP 的 延 长 线 于 点 H,则 ∠PBP'=90°,∠APB = ∠BP'C, P'B=PB=2,P'C=PA=23.由勾 股定理,得PP'2=2+2=4.∵ P'C2= (23)2=12,PC2=42=16,∴ PC2= PP'2+P'C2.∴ ∠PP'C=90°.又 ∵ 易得∠BP'P=45°,∴ ∠BP'C= 135°.∴ ∠APB=∠BP'C=135°. ∴ ∠APH =45°.∴ ∠APH = ∠PAH=45°.∴ 易得AH=PH= 2 2PA=6.∴ AB2=AH2+BH2= 6+(6+2)2=14+43.∴ 正方形 ABCD 的面积=14+43. (第3题) 4. 27 解析:如图,将△AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转60°至△A'O'B 处,连接OO',A'C.∵ 在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,∠ABC= 30°,∴ AB=4.∴ BC=23.由旋转, 得A'B=AB=4,OB=O'B,O'A'= OA.∵ 将△AOB 绕点B 按顺时针方 向旋转60°,∴ ∠A'BC=∠ABC+ 60°=30°+60°=90°,∠OBO'=60°. ∴ △OBO'为等边三角形.∴ OO'= OB.易得当C,O,A',O'四点共线时, OA+OB+OC的值最小,为A'C的长, ∴ A'C = BC2+BA'2 = (23)2+42=27.∴ OA+OB+ OC的最小值为27. (第4题) 5. ∵ AB=AC,∠ACB=30°, ∴ ∠BAC=120°. 如图,将△ABP 绕点A 按逆时针方 向旋转120°得到△ACQ,连接PQ,过 点A 作AD⊥PQ,垂足为D. 由 旋 转,得 PB =CQ = 21, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 ∠BAC = ∠PAQ =120°,PA = AQ=2. ∴ ∠APQ=∠AQP= 12 (180°- ∠PAQ)=30°,PQ=2DQ. 在Rt△ADQ 中,AQ=2, ∴ AD=12AQ=1. ∴ DQ=3. ∴ PQ=2DQ=23. ∵ PQ2+PC2=(23)2+32=21, CQ2=(21)2=21, ∴ PQ2+PC2=CQ2. ∴ △PCQ 是 直 角 三 角 形,且 ∠QPC=90°. ∴ ∠APC = ∠APQ + ∠QPC = 30°+90°=120°. (第5题) 6. (1) ∵ BC=22,CD=222 =2 , ∠ACB=90°, ∴ BD= (22)2+(2)2= 10. (2) 由题意,得△BCD≌△BEF. ∴ BD=BF= 10. 当点F 在点C 的右侧时,过点B 作 BG⊥CF 于点G. 由(1),得∠A=∠ABC=45°. ∵ CF∥AB, ∴ ∠GCB=∠ABC=45°. ∵ CG2+BG2=BC2, ∴ 2CG2=(22)2. ∴ CG=2. 在Rt△BGF 中,BF=BD= 10, BG=2, ∴ GF= (10)2-22=6. ∴ CF=CG+GF=2+6. 当点F 在点C 的左侧时,过点B 作 BG⊥CF,交FC的延长线于点G. 同理,可得GF=6,CG=2. ∴ CF=6-2. 综上 所 述,CF 的 长 为 2+ 6或 6-2. 7. ①④ 解析:过点P作PE⊥OA于 点E,PF⊥OB 于点F.∵ ∠PEO= ∠PFO=90°,∴ ∠EPF+∠AOB= 180°.∵ ∠MPN + ∠AOB=180°, ∴ ∠EPF=∠MPN.∴ ∠EPM= ∠FPN.∵ OP 平分∠AOB,PE⊥ OA,PF ⊥OB,∴ PE =PF.在 Rt△POE和Rt△POF中, OP=OP, PE=PF, ∴ Rt△POE≌Rt△POF.∴ OE= OF.在 △PEM 和 △PFN 中, ∠EPM=∠FPN, PE=PF, ∠PEM=∠PFN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PEM ≌ △PFN.∴ EM=FN,PM=PN.故 ① 正 确.∵ △PEM ≌ △PFN, ∴ S△PEM =S△PFN.∴ S四边形PMON = S四边形PEOF=定值.故④正确.∵ OM- ON=OE+EM -(OF-FN)= 2EM,EM 的长不是定值,∴ OM- ON 的 值 不 是 定 值.故 ② 错 误. ∵ OM+ON =OE+ME+OF- NF=2OE=定值,∴ △OMN 的周 长=2OE+MN.在 旋 转 过 程 中, △PMN 是等腰三角形,∵ PM 的长 是变化的,∴ MN 的长是变化的. ∴ △OMN 的周长是变化的.故③错 误.综上所述,正确的为①④. 8. (1) 2. (2) AD-DC=2BD. 如图,过点B 作BE⊥BD,交MN 于 点E,记AD 与BC交于点O. ∵ ∠ABC=∠DBE=90°, ∴ ∠ABE+∠EBC=∠CBD+∠EBC. ∴ ∠ABE=∠CBD. ∵ 易得∠BAE+∠AOB=90°,∠BCD+ ∠COD=90°,∠AOB=∠COD, ∴ ∠BAE=∠BCD. 又∵ AB=CB, ∴ △AEB≌△CDB. ∴ AE=CD,BE=BD. ∴ 易得△BDE 为等腰直角三角形, DE=2BD. ∵ DE=AD-AE=AD-CD, ∴ AD-DC=2BD. (第8题) 9. 10 10. (1) 如图①,把△ABE 绕点A 逆 时针旋转90°,至△ADG. ∴ △ABE≌△ADG. ∴ ∠1= ∠2,BE =DG,∠B = ∠ADG=90°,AB=AD,AE=AG. ∴ 易得点C,D,G 在同一条直线上. ∵ ∠EAF=45°, ∴ ∠1+∠3=45°. ∴ ∠2+∠3=45°. ∴ ∠EAF=∠GAF. 在△AEF 和△AGF 中, AE=AG, ∠EAF=∠GAF, AF=AF. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△AGF. ∴ EF=FG. ∴ EF=DG+DF=BE+DF. (2) ∠B+∠D=180°. (3) DE2=BD2+EC2. 理由:如图②,把△AEC 绕点A 顺时 针旋转90°,得到△AE'B,连接DE'. ∴ △AE'B≌△AEC. ∴ BE'=CE,AE'=AE,∠1=∠C, ∠4=∠3. 在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠2= ∠C=45°. ∴ ∠2+∠1=90°,即∠E'BD=90°. ∴ BE'2+BD2=DE'2. ∵ ∠7=45°, ∴ ∠8+∠3=45°. ∴ ∠4+∠8=45°,即∠E'AD=45°. ∴ ∠7=∠E'AD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 在△AE'D 和△AED 中,AE'=AE, ∠E'AD=∠EAD,AD=AD. ∴ △AE'D≌△AED. ∴ DE'=DE. ∴ DE2=BD2+EC2. (第10题) 23.2　中心对称 第1课时 中心对称 1. B 2. C 3. 2 10 4. ∵ △ABO 与△CDO 关于点O 成 中心对称, ∴ BO=DO,AO=CO. ∵ AF=CE, ∴ AO-AF=CO-CE. ∴ FO=EO. 在△FOD 和△EOB 中, FO=EO, ∠FOD=∠EOB, DO=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FOD≌△EOB. ∴ DF=BE. 5. D 6. C 解析:∵ 菱形ABCD 的对角线 AC,BD 交于点O,AC=4,BD=16, ∴ AC⊥BD,OC=12AC=2 ,OB= 1 2 BD = 8.∴ ∠BOC = 90°. ∵ △BOC 绕着点C 旋转180°得到 △B'O'C,∴ ∠CO'B'=∠BOC= 90°.∴ O'C=OC=2,O'B'=OB=8. ∴ AO'=6.在Rt△AO'B'中,根据勾 股定理,得AB'= AO'2+O'B'2= 10.∴ 点A 与点B'之间的距离为10. 7. 26 8. CF2+BE2=EF2. 理由:∵ D 为BC的中点, ∴ DC=DB. 如图,作△BDE 关于点D 成中心对 称的△CDG,连接FG. 由中心对称的性质,可得△BDE≌ △CDG. ∴ BE=CG,∠B=∠DCG,∠BED= ∠CGD,DE=DG. ∴ CG∥AB. ∴ ∠ACG+∠A=180°. 又∵ ∠A=90°, ∴ ∠ACG=90°. ∴ CF2+CG2=FG2. 又∵ DE⊥DF, ∴ EF=FG. ∴ CF2+BE2=EF2. (第8题) 9. (1) △FCP 如图所示. (2) ∵ △ADP 与△FCP 关于点P 成中心对称, ∴ △ADP≌△FCP. ∴ CF =AD =AE,AP =PF = 1 2AF. ∵ ∠DAP=∠CFP, ∴ CF∥AD. ∴ ∠ACF+∠DAC=180°. ∵ ∠BAC=∠DAE=90°, ∴ ∠DAC+∠BAE=180°. ∴ ∠ACF=∠BAE. ∵ AC=BA, ∴ △ACF≌△BAE. ∴ BE=AF=2AP. ∴ AP BE= 1 2. (第9题) 10. (4049,3) 解析:∵ △OA1B1 是边长为2的等边三角形,∴ 点A1 的坐标为(1,3),点B1 的坐标为(2, 0).∵ △B2A2B1与△OA1B1关于点 B1成中心对称,∴ 点A2 与点A1 关 于点B1 成中心对称.∴ 易得点A2 的坐标是(3,- 3).∵ △B2A3B3 与 △B2A2B1 关于点B2 成中心对称, ∴ 点A3 与点A2 关于点B2 成中心 对称.∴ 易得点A3 的坐标是(5,3). 同理,得点A4的坐标是(7,-3),…. ∴ 点An 的横坐标是2n-1,点A2n+1 的横坐标是2(2n+1)-1=4n+1.当 n为奇数时,点An 的纵坐标是 3;当 n为偶数时,点An 的纵坐标是- 3. ∴ 点 A2n+1 的 纵 坐 标 是 3. ∴ △B2nA2n+1B2n+1(n 是正整数)的 顶点A2n+1 的坐标是(4n+1,3). ∵ 2n+1=2025,解得n=1012, ∴ △B2024A2025B2025的顶点A2025 的 坐标是(4049,3). 11. (1) ① 如图①所示. ∵ Q 是点P 关于点M 的“转称点”, ∴ 点P,P'关于点M 对称,点P',Q 关于直线OM 对称. ∵ M(t,0),P(t+1,1), ∴ P'(t-1,-1). ∴ Q(t-1,1). 当t=2时,Q(1,1). ② PQ 的长与t的值无关. 由①,知P(t+1,1),Q(t-1,1). ∴ PQ∥x 轴,PQ=|t+1-(t- 1)|=2. ∴ PQ 的长与t的值无关. (2) 如图②,连接 OC,过点 A 作 AD⊥BC于点D,设点B 关于点C 的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 62 　　　　 专题特训八　旋转中常见的几何模型 ▶ “答案与解析”见P29 类型一 手拉手模型 1. 如图,等边三角形ABC 内有一点P,连接 AP,BP,CP.若∠BPC=150°,BP=3,AP= 5,则CP= . (第1题) (第2题) 2. 如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB= 90°,∠APC=165°,PA=3,PC= 2,则 PB= . 3. 如图,P 是正方形ABCD 内一点,且 PA=23,PB= 2,PC=4,则正 方形ABCD 的面积是 . (第3题) (第4题) 4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC=2,∠ABC=30°,O 为 Rt△ABC 内一点,连接OA,OB, OC,则OA+OB+OC的最小值为 . 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB=30°, AB=AC,P 是△ABC 内一点,且 PA=2,PB= 21,PC=3,求 ∠APC 的度数. (第5题) 6. 分类讨论思想 (2024·盐城)如图, 在△ABC 中,∠ACB=90°,AC= BC=22,D 是AC 的中点,连接 BD. (1) 求BD 的长. (2) 将△BCD 绕点B 旋转,得到△BEF,连 接CF.当CF∥AB 时,求CF 的长. (第6题) 类型二 对角互补模型 7. 如图,P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定 点,且∠MPN 与∠AOB 互补.∠MPN 在绕 点P 旋转的过程中,其两边分别与OA,OB 相交于M,N 两点.有下列结论:① PM= PN 恒 成 立;② OM -ON 的 值 不 变; ③ △OMN 的周长不变;④ 四边形PMON 的 面积不变.其中,正确的为 (填序号). (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 63 8. 如图①,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BA= BC,MN 是过点A 的直线,CD⊥MN 于点 D,连接BD. (1) 关于线段DC,AD,BD 之间的数量关 系,小明有一种思路:如图①,过点 B 作 BE⊥BD,交 MN 于点E,进而可得DC+ AD= BD. (2) 将直线MN 绕点A 按顺时针方向旋转 到如图②所示的位置,写出此时线段DC, AD,BD 之间的数量关系,并证明. (第8题) 类型三 半角模型 9. 如图,正方形ABCD 的边长为6,点M 在CB 的延长线上,BM=2,作∠MAN=45°,交DC 的延长线于点N,则MN 的长为 . (第9题) 10. 类比思想 通过类比联想、引申拓展 研究典型题目,可达到解一题知一 类的目的. (1) 如图①,点E,F 分别在正方形ABCD 的边BC,CD 上,∠EAF=45°,连接EF, 则EF=BE+DF,试证明. (2) 如图②,在四边形 ABCD 中,AB= AD,∠BAD=90°,点E,F 分别在边BC, CD 上,∠EAF=45°.若∠B,∠D 都不是直 角,则当∠B 与∠D 满足 时,仍有 EF=BE+DF. (3) 如图③,在△ABC 中,∠BAC=90°, AB=AC,点 D,E 均 在 边 BC 上,且 ∠DAE=45°.猜想BD,DE,EC 满足的等 量关系,并说明理由. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十三章　旋　转