第二十三章 旋转 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

72 第二十三章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P34 考点一 旋转性质的应用 (典例1图) 典例1 如图,△ABC 是边长为 6的等边三角形,E 为高BD 上 的动点,连接CE,将CE 绕点C 按顺时针方向旋转60°得到CF, 连接AF,EF,DF,则△CDF 周 长的最小值是 . 分 析 已 知,可 证 明 △BCE ≌ △ACF,得 ∠CBE=∠CAF=30°,可知点F 在△ABC 外,满足 ∠CAF=30°,根据将军饮马模型,求得CF+DF 的 最小值是解决本题的关键. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 73 [变式]如图,在▱ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点F,AC⊥BD,且AC=8,BD=83.若 P 是对角线BD 上一动点,连接AP,将AP 绕 点A 按 逆 时 针 方 向 旋 转 至 AE 处,使 得 ∠PAE=∠BAD,连接PE,取AD 的中点O, 连接OE.在点P 的运动过程中,线段OE 长的 最小值为 . 考点二 中心对称和中心对称图形 典例2 如图,在平面直角坐标系中,▱OABC 的顶点A 的坐标为(4,0),点B 的坐标为(6,2). (1) ▱OABC 的中心P 的坐标为 . (2) 求点A,P 所在直线对应的函数解析式. (3) 求证:不论k 取何值,▱OABC 都被直线 y=kx+1-3k分成面积相等的两部分. (典例2图) [变式]如图,正方形OABC 的顶点B 的坐标为 (2,-2),D(m,0)(m>2)为x 轴上的一个动 点,以BD 为边作正方形BDEF,点E 在第四 象限. (1) 线段CD 的长为 (用含m 的代数 式表示). (2) 试判断线段AD 与CF 之间的数量关系,并 说明理由. (3) 设正方形BDEF 的对称中心为点M,直线 CM 交y轴于点G,随着点D 的运动,点G 的位 置是否会发生变化? 若保持不变,请求出点G 的坐标;若发生变化,请说明理由. 考点三 平面直角坐标系内的旋转 典例3 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐 标为(-8,0),点B 的坐标为(-4,3),将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转得到△OCD,点A 的 对应点C 刚好落在AB 的延长线上,则点B 的 对应点D 的坐标为 . (典例3图) [变式] 分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系 中,矩形OABC 的顶点坐标分别为O(0,0), A(0,6),B(8,6),C(8,0).点D(0,3)在OA 上, 点E(4,0)在OC 上,连接DE.若将△DOE 绕 点O 逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<360°),得 到△D'OE',连接AD',当∠AD'O=90°时. (1) α= . (2) 求点D',E'的坐标. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十三章　旋　转 74 1. ★(2024·湖北)如图,在平面直角坐标系中, 点A 的坐标为(-4,6),将线段OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°,则点A 的对应点A' 的坐标为 ( ) (第1题) A. (4,6) B. (6,4) C. (-4,-6) D. (-6,-4) 2. 在下列图形中,属于中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 如图,在△ABC 中,AC=BC,AB=12,把 △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转60°得到 △ADE,连接CD.当CD=23时,AC 的 长为 ( ) A. 43 B. 10 C. 221 D. 21 (第3题) (第4题) 4. 如图,正方形ABCD 的边长为4,∠EAF= 45°,将△ABE 绕点A 按顺时针方向旋转90° 得到△ADG.若BE=1,则DF的长为( ) A. 3 B. 7 C. 12 5 D. 4 5. 如图,在△ABC 中,∠BAC=30°, AB=1,AC=3,以BC 为边向右作 等边三角形BCD,连接AD,则线段 AD 的长为 . (第5题) 6. 如图,在△BDE 中,∠BDE=90°,BD=4,点 D 的坐标是(6,0),∠BDO=15°,将△BDE 旋转到△ABC 的位置,C 是BD 的中点,则 旋转中心的坐标为 . (第6题) 7. 如图,在矩形ABCD 中,AB=4,AD=6,点 P,M,N 分别在边AB,AD,BC 上运动,且 线段 MN 始终经过矩形的对称中心,则 △PMN 周长的最小值为 . (第7题) 8. (2024· 北 京)已 知∠MAN =α (0°<α<45°),点B,C 分别在射线 AN,AM 上,将线段BC 绕点B 按 顺时针方向旋转180°-2α得到线段BD,过 点D 作AN 的垂线,交射线AM 于点E. (1) 如图①,当点D 在射线AN 上时,求证: C 是AE 的中点. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 75 (2) 如图②,当点D 在∠MAN 内部时,作 DF∥AN,交射线AM 于点F,试探究线段 EF 与AC 之间的数量关系,并证明. (第8题) 9. 新考法·综合与探究题 (2024·牡丹江) 在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°, ∠BAC=30°,点D 在直线BC 上, 将线段AD 绕点A 按顺时针方向旋转60°, 得到线段AE,过点E 作EF∥BC,交直线 AB 于点F. (1) 如图①,当点D 在线段BC 上时,求证: BD+EF=AB.某同学在思考这道题时,想 利用AD=AE 构造全等三角形,便尝试着在 AB 上截取AM=EF,连接DM,通过证明两 个三角形全等,最终证明结论.请写出后面的 证明过程. (2) 如图②,当点D 在线段BC 的延长线上 时,请判断线段BD,EF,AB 之间的数量 关系. (3) 如图③,当点D 在线段CB 的延长线上 时,请判断线段BD,EF,AB 之间的数量 关系. (4) 若AC=63,CD=2BD,则EF 的长为 . (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十三章　旋　转 ∴ PA2+PB2=PC2. ② 如图②,将△APB 绕点A 按逆时 针方向旋转60°,得到△AP'C,连 接PP'. ∴ △APP'是等边三角形,∠AP'C= ∠APB=360°-90°-120°=150°. ∴ PP'=AP,∠AP'P=∠APP'= 60°. ∴ ∠PP'C=90°,∠P'PC=30°. ∴ 易得PP'=32PC ,即AP=32PC. ∵ ∠APC=90°, ∴ AP2+PC2=AC2,即 3 2PC 2 + PC2=(14)2. ∴ PC=22. ∴ AP=6. ∴ S△APC= 1 2AP ·PC=12× 6× 22=23. (第11题) 第二十三章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 3+33 解析:∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC=BC=6, ∠ABC=∠BCA=60°.由题意,得 ∠ECF=60°,∴ ∠BCE =60°- ∠ECA = ∠ACF.∵ CE =CF, ∴ △BCE≌ △ACF.∴ ∠CBE = ∠CAF.∵ △ABC 是等边三角形, BD 是高,∴ ∠CBE=12∠ABC= 30°,CD=12AC=3. 如图,过点C 作 CG⊥AF,交AF 的延长线于点G,延 长CG 到点H,使得GH=CG,连接 AH,FH,DH,DH 与AG 交于点I, 连接CI.∵ ∠CAF=30°,∴ ∠ACG= 60°,CG=GH=12AC=3.∴ CH= AC=6.∴ △ACH 为等边三角形. ∴ DH ⊥AC.由 勾 股 定 理,易 知 DH=33.∵ AG 垂直平分CH, ∴ CI=HI,CF=FH.∴ CI+DI= HI+DI=DH=33,CF+DF= HF+DF≥DH.∴ 当点F 与点I重 合,即D,F,H 三点共线时,CF+DF 有最 小 值,为 DH 的 长,为3 3. ∴ △CDF 周长的最小值为3+33. (典例1图) [变式] 2 解析:连接ED.∵ 四边 形ABCD 是平行四边形,AC⊥BD, ∴ 四边形ABCD 是菱形.∵ AC=8, BD=83,∴ AF=12AC=4 ,DF= 1 2BD=4 3 ,BA=DA.∴ AD= AF2+DF2=8.∴ 易得∠ADB= ∠ABD=30°.∵ 将AP 绕点A 按逆 时 针 方 向 旋 转 至 AE 处,使 得 ∠PAE = ∠BAD,∴ AP =AE, ∠BAP = ∠DAE.在 △BAP 和 △DAE 中, BA=DA, ∠BAP=∠DAE, AP=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAP≌△DAE.∴ ∠ABP= ∠ADE = 30°.∴ DE 是 满 足 ∠ADE=30°的线段.当OE⊥DE 时, OE 的长最小,∵ O 是AD 的中点, ∴ OD=12AD= 1 2×8=4.∴ OE= 1 2OD= 1 2×4=2.∴ 在点P 的运动 过程中,线段OE 长的最小值为2. 典例2 (1) (3,1). (2) 设点A,P 所在直线对应的函数 解析式为y=mx+b,则 4m+b=0, 3m+b=1, ∴ m=-1, b=4. ∴ 点A,P 所在直线对应的函数解析 式为y=-x+4. (3) 对于直线y=kx+1-3k,当x= 3时,y=3k+1-3k=1, ∴ 直线y=kx+1-3k经过点P(3,1). ∴ 不论k取何值,▱OABC 都被直线 y=kx+1-3k分成面积相等的两部分. [变式] (1) m-2. (2) AD=CF. 理由:∵ 四边形 OABC 和四边形 BDEF 都是正方形, ∴ AB=CB,BD=BF,∠ABC= ∠FBD=90°. ∴ ∠ABD=∠CBF. ∴ △ABD≌△CBF. ∴ AD=CF. (3) 点G 的位置保持不变. 如图,过点F 作FH⊥CB,交CB 的 延长线于点 H,过点 M 作 MN⊥ x轴,垂足为N. ∵ ∠BCD=∠DBF=∠H=90°, ∴ ∠CBD+∠FBH=90°,∠FBH+ ∠HFB=90°. ∴ ∠CBD=∠HFB. ∵ BD=FB, ∴ △BCD≌△FHB. ∴ CD=HB=m-2,BC=FH=2. ∴ F(4,-m). ∵ D(m,0),点 M 是正方形BDEF 的对称中心, ∴ M 2+m2 ,-m2 . 在△CMN 中,MN=m2 ,CN=m2 , ∴ △CMN 是等腰直角三角形. ∴ ∠OCG=∠NCM=45°. ∴ △OCG 也是等腰直角三角形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 ∴ OG=OC=2. ∴ G(0,2). 典例3 (4,3) 解析:如图,连接 BD,交y 轴于点E,过点B 作BF⊥ x轴于 点F.由 旋 转,得∠AOC= ∠BOD,OC = OA,OD = OB. ∴ ∠OAC= ∠OCA = 12 (180°- ∠AOC), ∠OBD = ∠ODB = 1 2 (180°- ∠BOD).∴ ∠OAC = ∠OBD.∵ A(-8,0),B(-4,3), ∴ OA=8,OF=4.∴ AF=OA- OF=4.∴ AF=OF=4.∴ BF 垂直 平分OA.∴ AB=OB.∴ ∠OAC= ∠AOB. ∴ ∠AOB = ∠OBD. ∴ BD∥x轴.∴ OE⊥BD.∴ DE= BE.∵ B(-4,3),∴ BE=4,OE= 3.∴ DE=4.∴ 点D 的坐标为(4,3). (典例3图) [变式] (1) 60°或300°. 解析:如 图①,连接DD'.当∠AD'O=90°时, DD'=AD =DO = 12AO =3. ∵ DO=D'O=3,∴ DO=D'O= DD'.∴ ∠DOD'=60°.∴ α=60°.如 图②,连接DD'.当∠AD'O=90°时, DD'=AD =DO = 12AO =3. ∵ DO=OD',∴ DO=OD'=DD'. ∴ ∠DOD'=60°.∴ α=360°-60°= 300°.综上所述,α=60°或300°. (2) 如图①,作D'F⊥x 轴于点F, E'H⊥x轴于点H. ∵ ∠AD'O=90°,∠AOD'=60°, ∴ ∠D'AO=30°,∠D'OF=30°. ∴ ∠E'OH=60°. ∵ OD'=OD=3,OE'=OE=4, ∴ 易得D'F=32 ,FO=332 ,OH= 2,E'H=23. ∴ D' -332 ,3 2 ,E'(2,23). 如图②,同理,易得 D' 33 2 ,3 2 , E'(2,-23). 综上所述,D' -332 ,3 2 ,E'(2, 23)或D'33 2 ,3 2 ,E'(2,-23). ［综合素能提升］ 1. B 在平面直角坐标系中,点P(a, b)绕原点旋转90°,得到的点P'的 坐标为(±|b|,±|a|)(根据点P' 所在象限确定横、纵坐标的符号). 2. D 3. C 4. C 5. 10 解析:如图,将△ABC 绕点 C 按 逆 时 针 方 向 旋 转 60°得 到 △EDC,连接AE,则△ACE 是等边 三角形.∴ ∠CEA=60°,∠DEC= ∠BAC=30°,DE=BA=1,AE= AC=CE=3.∴ ∠AED=∠AEC+ ∠DEC = 60° + 30° = 90°.在 Rt△AED 中,AD= DE2+AE2= 12+32= 10. (第5题) 6. (6- 2,6) 解析:如图,AB 与 BD 的垂直平分线的交点P 即为旋转 中心,连接PD,过点P 作PF⊥x 轴 于点F.∵ C 是BD 的中点,∴ 易得 点P 到AB,BD 的距离相等,都是 1 2BD 的长,即1 2×4=2.∴ 易得 ∠PDB=45°,PD= 2×2=2 2. ∵ ∠BDO=15°,∴ ∠PDO=45°+ 15°=60°.∴ ∠DPF=30°.∴ DF= 1 2PD= 1 2×22=2.∵ 点D 的坐 标是(6,0),∴ OF=OD-DF=6-2. 由勾股定理,得PF= PD2-DF2= 6.∴ 旋转中心的坐标为(6-2,6). (第6题) 7. 2 13+4 解析:如图,点O 是矩 形的对称中心,取MP 的中点Q,连接 AQ,OQ,AC,过点O 作OG⊥BC,垂 足为G,则AQ=PQ=QM=12PM. ∵ 线段MN 始终经过矩形的对称中 心,∴ O 是 MN 的中点.∴ MO= ON=12MN ,OQ=12PN. 易知点O 在AC上,且AO=12AC.∵ AB=4, BC=AD=6,∴ AC= 42+62 = 2 13.∴ AO= 13.∴ C△PMN = PM+PN +MN =2AQ+2OQ+ 2ON=2(AQ+OQ+ON)≥2(AO+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 OG)=2(13+2)=2 13+4. ∴ △PMN 周长的最小值为2 13+4. (第7题) 8. (1) 如图①,连接CD. 由题 意,得 BC =BD,∠CBD = 180°-2α. ∴ ∠BDC=∠BCD= 12 [180°- (180°-2α)]=α. ∴ ∠BDC=∠A. ∴ CA=CD. ∵ DE⊥AN, ∴ ∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°. ∴ ∠1=∠2. ∴ CD=CE. ∴ CA=CE. ∴ C是AE 的中点. (2) EF=2AC. 如图②,在射线AM 上取点H,连接 BH,使得BH=BA,取EF 的中点 G,连接DG,DH. ∵ BH=BA, ∴ ∠A=∠BHA=α. ∴ ∠ABH=180°-2α=∠CBD. ∴ ∠ABH - ∠CBH = ∠CBD - ∠CBH,即∠ABC=∠HBD. 又∵ BC=BD, ∴ △ABC≌△HBD. ∴ AC=HD,∠A=∠BHD=α. ∴ ∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α. ∵ DE⊥AN, ∴ ∠3=90°. ∵ DF∥AN, ∴ ∠EFD = ∠A =α,∠EDF = ∠3=90°. ∵ G 是EF 的中点, ∴ GF=GD,EF=2GD. ∴ ∠GFD=∠GDF=α. ∴ ∠HGD=2α. ∴ ∠HGD=∠FHD. ∴ DG=DH. ∵ AC=DH, ∴ DG=AC. ∴ EF=2AC. (第8题) 9. (1) 由题意,可知∠B=90°- ∠BAC=90°-30°=60°,AE=AD, ∠EAD=60°. ∵ EF∥BC, ∴ ∠EFB=∠B=60°. 又∵ ∠EAD=60°, ∴ ∠EFB=∠EAD. 又∵ ∠DAM =∠EAD-∠EAF, ∠AEF=∠EFB-∠EAF, ∴ ∠DAM=∠AEF. 又∵ AD=EA,AM=EF, ∴ △DAM≌△AEF. ∴ DM=AF. ∴ ∠AMD = ∠EFA = 180°- ∠EFB=180°-60°=120°. ∴ ∠BMD=180°-∠AMD=180°- 120°=60°. ∵ ∠B=60°, ∴ ∠BMD=∠B=∠BDM=60°. ∴ △BMD 是等边三角形. ∴ BD=BM=DM. ∵ AB=AM+BM, ∴ AB=EF+BD. (2) 如图①,在 BD 上取点 H,使 BH=AB,连接AH 并延长到点G, 使AG=AF,连接DG. ∵ ∠ABC=60°, ∴ △ABH 是等边三角形. ∴ ∠BAH=∠AHB=60°. ∵ 将线段AD 绕点A 按顺时针方向 旋转60°,得到线段AE, ∴ ∠DAE=60°,AE=AD. ∴ ∠BAH=∠DAE. ∴ ∠BAH - ∠EAH = ∠DAE- ∠EAH,即∠FAE=∠GAD. 又∵ AF=AG, ∴ △FAE≌△GAD. ∴ EF=DG,∠F=∠G. ∵ BD∥EF, ∴ ∠ABC=∠F=∠G=60°. ∵ ∠DHG=∠AHB=60°, ∴ △DHG 是等边三角形. ∴ DH=DG=EF. ∴ AB=BH=BD-DH=BD-EF. (3) 如图②,在 EF 上取点 H,使 AH=AF. ∵ EF∥BC, ∴ ∠F=∠ABC=60°. ∴ △AHF 是等边三角形. ∴ AH=FH,∠AHF=∠HAF=60°. ∴ ∠AHE=120°. ∵ 将线段AD 绕点A 按顺时针方向 旋转60°,得到线段AE, ∴ AD=AE,∠DAE=60°. ∴ ∠DAB + ∠EAH = 180°- ∠DAE-∠HAF=60°. ∵ ∠D+∠DAB=∠ABC=60°, ∴ ∠D=∠EAH. ∵ ∠DBA=180°-∠ABC=120°= ∠AHE,AD=EA, ∴ △ADB≌△EAH. ∴ BD=HA,AB=EH. ∵ AH=FH, ∴ BD=FH. ∴ AB=EH=EF-FH=EF-BD. (4) 10或18. 解析:当点D 在线段 BC上时,∵ ∠BAC=30°,∠C=90°, ∴ 易得 AB=2BC,AB2=BC2+ AC2.∴ (2BC)2=BC2+(6 3)2. ∴ BC =6.∴ AB =2BC =12. ∵ CD =2BD,BC =BD +CD, ∴ BD=13BC=2. 由(1)可知,BD+ EF=AB,∴ EF=AB-BD=12- 2=10.当点D 在线段BC的延长线上 时,∵ CD<BD,与CD=2BD 矛盾, ∴ 不符合题意.当点D 在线段CB 的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 延长线上时,∵ CD=2BD=BD+ BC,BC=6,∴ BD=BC=6.由(3)可 知,AB=EF-BD.∵ AB=2BC= 12,∴ EF=AB+BD=12+6=18. 综上所述,EF 的长为10或18. (第9题) 第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 第1课时 圆 1. B 2. A 3. 56° 4. 由题意可知,小狗在地面上活动的 区域为圆,半径为 2.52-1.52 = 2.0(m). ∴ 小狗活动最大区域的面积为π× 22=4π(m2). 5. C 6. D 7. a=b=c 8. 66° 9. 连接ME,MD. ∵ BD,CE 是△ABC 的高,M 为BC 的中点, ∴ ME=MD=MC=MB=12BC. ∴ 点B,C,D,E 在以点M 为圆心的 同一个圆上. 10. 连接OF. ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ CD=AB. ∵ OD=OA,OC= OD2-CD2, OB= OA2-AB2, ∴ OB=OC. 设OB=x,则OE=x+4,AB=2x. 在Rt△AOB 中,OA2=OB2+AB2= x2+(2x)2=5x2;在Rt△OEF 中, OF2=OE2+EF2=(x+4)2+42. ∵ OA=OF, ∴ 5x2=(x+4)2+42. 整理,得x2-2x-8=0,解得x1=4, x2=-2(不合题意,舍去). ∴ OA=5x=45,即该半圆的半径 是45. 11. 54° 解 析:连 接 EC,ED. ∵ DE=DB,∴ ∠DEB=∠ABC= 24°.∴ ∠EDC=∠DEB+∠ABC= 48°.∵ EC =ED,∴ ∠ECD = ∠EDC=48°.∴ ∠CED=180°- ∠ECD-∠EDC=84°.∴ ∠CEA= 180°- ∠CED - ∠DEB =72°.又 ∵ EA =EC,∴ ∠CAB = 12 × (180°-∠CEA)=54°. 12. (1) 设∠QPO=x. ∵ QP=QO, ∴ ∠QOP=∠QPO=x. ∴ ∠Q=180°-2x. ∵ OQ=OC, ∴ ∠OCP=∠Q=180°-2x. ∵ ∠QPO=∠OCP+∠POC, ∴ x=180°-2x+30°,解得x=70°. ∴ ∠OCP=180°-2×70°=40°. (2) 存在. 如图①,设∠QOC=x,则∠QOP= x+30°. ∵ QP=QO, ∴ ∠QPO=∠QOP=x+30°. ∴ ∠QCO=∠COP+∠CPO=30°+ x+30°=x+60°. ∵ OQ=OC, ∴ ∠OQC=∠QCO=x+60°. ∴ x+x+60°+x+60°=180°,解得 x=20°. ∴ ∠OCP=∠QOC+∠OQC=20°+ 20°+60°=100°. 如图②,设∠QPO=y. ∵ QP=QO, ∴ ∠QOP=∠QPO=y. ∴ ∠CQO=2y. ∵ OC=OQ, ∴ ∠OCP=∠CQO=2y. ∵ ∠AOC=∠APC+∠OCP, ∴ y+2y=30°,解得y=10°. ∴ ∠OCP=2y=20°. 综上所述,∠OCP=100°或20°. (第12题) 第2课时 垂直于弦的直径 1. B 2. 45 垂径定理在基本图形计算中的 “四变量”“两关系” (1) 四变量:设弦长为a,圆心 到弦的距离(弦心距)为d,半径为 r,弧的中点到弦的距离(弓形高) 为h,这四个变量知其中任意两个 即可求其他两个. (2) 两关系:① a 2 2 +d2= r2;② h+d=r. 3. 过点E 作EG⊥AB 于点G,连接 OE,则 OE =OA = 12AB =5 , ∠EGO=∠EGA=90°. ∵ 四边形ACDE 是平行四边形, ∴ DE=AC=8,DE∥AB. ∵ OF⊥DE,即∠OFE=90°, ∴ EF=12DE=4 ,∠FOG=90°. ∴ 四边形OFEG 是矩形. ∴ OG=EF=4. ∴ AG=5-4=1. 在Rt△OEG 中,EG= OE2-OG2= 52-42=3. ∴ 在 Rt△AGE 中, AE = AG2+EG2= 12+32= 10. 4. C 解 析:∵ OD ⊥ AC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73