专题12 图形的旋转的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册

专题12 图形的旋转的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、找旋转中心、旋转角、对应点 类型二、求绕某点旋转90°点的坐标 类型三、平面直角坐标系中旋转作图 类型四、坐标与旋转规律问题 类型五、旋转综合题——几何变换 压轴专练 类型一、找旋转中心、旋转角、对应点 知识点：1. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、对应点，对应点连线被旋转中心平分，对应点到中心距离相等。2. 旋转性质：对应线段、对应角相等，旋转前后图形全等。 解题技巧：1. 找旋转中心：作两组对应点连线的垂直平分线，交点即为中心。2. 求旋转角：连接中心与一组对应点，夹角即为旋转角，或用对应线段夹角表示。 例1．是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　）    A．旋转中心是点C B． C． D．点D是中点 【变式1-1】如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 【变式1-2】如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 【变式1-3】如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． (1)指出旋转中心； (2)若，，求出旋转的度数； (3)若，，则的长是多少？为什么？ 类型二、求绕某点旋转90°点的坐标 知识点：1. 平面直角坐标系坐标表示：点(x,y)的横、纵坐标含义。2. 旋转90°的几何性质：对应点到旋转中心距离相等，连线夹角为90°。 解题技巧：1. 中心在原点：顺时针旋转后为(y,-x)，逆时针为(-y,x)。2. 中心为(a,b)：先平移点至(x-a,y-b)，旋转后再平移回(a+(y-b),b-(x-a))或对应形式。 例2．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【变式2-2】如图，在直角坐标系中，已知，．将线段绕点A顺时针旋转得到，则点B的坐标是 ． 【变式2-3】如图，的顶点坐标分别为，，．如果将绕点顺时针旋转，得到△，那么点的对应点的坐标为 ．    类型三、平面直角坐标系中旋转作图 知识点：1. 旋转的基本性质：对应点到旋转中心距离相等，对应点与中心连线的夹角等于旋转角，对应线段、对应角相等。2. 平面直角坐标系的坐标特征：点的坐标与位置的对应关系，平移与坐标变换的联系。 解题技巧：1. 单一点旋转：以旋转中心为顶点，通过作等角、等距线段确定对应点。2. 图形旋转：先确定图形关键点（顶点、端点）的对应点，再按原图形连接方式顺次连接各对应点，形成旋转后图形。 例3．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的，并写出，，的坐标； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出，并写出，，的坐标． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)将以点B为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕点C顺时针旋转得到（点B的对应点是点），则的坐标为 　； (2)请画出绕原点O顺时针旋转后得到的（点A，B，C的对应点分别是点，，）． 类型四、坐标与旋转规律问题 知识点：1. 旋转的代数表达：旋转角与坐标变换的函数关系，体现几何性质的代数化。2. 坐标平移与旋转的关联：图形先平移至旋转中心为原点，简化计算后再还原的转化思想。 解题技巧：1. 原点为中心：总结90°、180°、270°旋转的坐标公式（如90°逆时针：(x,y)→(-y,x)），直接套用。2. 非原点为中心：通过坐标减法平移图形至中心为原点，应用旋转公式后，再用加法还原坐标，分步简化计算。 例4．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为 ． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，……，绕点连续旋转24次得到线段，那么线段的长度为 ． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转的位置，点在x轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为 ． 【变式4-3】将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 类型五、旋转综合题——几何变换 知识点：1. 旋转与其他变换的联系：旋转常与平移、轴对称结合，共同体现图形变换的不变性（如全等性）。2. 几何图形性质的综合应用：三角形（含等腰、直角三角形）、四边形（含特殊四边形）的性质在旋转中的体现，如等腰三角形旋转产生全等三角形。 解题技巧：1. 识别旋转特征：抓住对应点、旋转中心、旋转角，通过“等线段、等角”标记隐含条件。2. 构造辅助线：遇复杂图形，通过旋转关键点或线段，将分散条件集中，转化为熟悉的全等或特殊三角形问题求解。 例5．如图，中，，，点是边上一点，连接，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【变式5-1】如图①，将一副直角三角尺中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住直角三角尺不动，将直角三角尺绕点按顺时针方向旋转，图②为旋转过程中的某一位置，当三点再一次共线时停止旋转，记． (1)当时，求直线与直线相交所成角的大小； (2)当时，求k的值； (3)当时，求k的值． 【变式5-2】【基础回顾】 （1）如图1，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到，若连接，则的形状为 ； 【类比探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】 （3）如图3，在中，，，点P在上，求，， 之间存在的数量关系． 一、单选题 1．如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，以点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接交y轴于点P，已知．将向左平移，当点B的对应点落在y轴上时，点P的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，将绕点A逆时针转得到，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 6．将点顺时针旋转得到点，则的值是 ． 7．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点B恰好落在BC边上，和CD交于点P，则的度数是 ． 8．如图所示，E为正方形内一点，将三角形绕点B顺时针旋转至三角形处，若，则 ， ． 9．如图所示，中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则与的面积比为 ． 10．中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为等腰三角形时，的值为 ． 三、解答题 11．如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转度后，得到，点D刚好落在边上． (1)求n的值； (2)若，求的长． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出绕点逆时针旋转的图形，并直接写出点坐标； (2)求的面积． 13．如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 14．如图，在直角中，，，将绕B点逆时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． (1)如图，若P点为射线与线段交点时， ①求的度数； ②证明：； (2)当时，求的长． 15．在中，，将绕点O逆时针旋转得到，点分别是的中点，连接． （1）【证明与推断】如图，当时，求证：；推断：是_______三角形； （2）【类比探究】如图，当时，判断的形状，并加以证明； （3）【拓展运用】在（）的条件下，当点在上时（如图），设相交于点，若，，求线段的长． 16．【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度点的对应点分别为． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，①请判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． (3)在旋转过程中，直接写出线段的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 图形的旋转的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、找旋转中心、旋转角、对应点 类型二、求绕某点旋转90°点的坐标 类型三、平面直角坐标系中旋转作图 类型四、坐标与旋转规律问题 类型五、旋转综合题——几何变换 压轴专练 类型一、找旋转中心、旋转角、对应点 知识点：1. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、对应点，对应点连线被旋转中心平分，对应点到中心距离相等。2. 旋转性质：对应线段、对应角相等，旋转前后图形全等。 解题技巧：1. 找旋转中心：作两组对应点连线的垂直平分线，交点即为中心。2. 求旋转角：连接中心与一组对应点，夹角即为旋转角，或用对应线段夹角表示。 例1．是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（　　）    A．旋转中心是点C B． C． D．点D是中点 【答案】D 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】此题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：∵是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上， ∴旋转中心是点C，，，点D不一定的中点， ∴A、B、C结论正确． 故选：D． 【变式1-1】如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到， 旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； （2）将绕点顺时针旋转一定角度得到， ，，， ， ． 【变式1-2】如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角的度数为； (2)，． 【知识点】用勾股定理解三角形、找旋转中心、旋转角、对应点、全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 【变式1-3】如图，三角形逆时针旋转一定角度后与三角形重合，且点在上． (1)指出旋转中心； (2)若，，求出旋转的度数； (3)若，，则的长是多少？为什么？ 【答案】(1)旋转中心为点 (2) (3)，理由见解析 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】（）结合图形找到旋转中心即可； （）根据题意求得的度数即可求得旋转角； （）利用旋转的性质得到，即可求得答案； 本题考查了旋转，三角形内角和定理，根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，旋转中心为点； （2）解：∵，， ∴， ∴旋转的度数为； （3）解：由旋转性质知：，， ． 类型二、求绕某点旋转90°点的坐标 知识点：1. 平面直角坐标系坐标表示：点(x,y)的横、纵坐标含义。2. 旋转90°的几何性质：对应点到旋转中心距离相等，连线夹角为90°。 解题技巧：1. 中心在原点：顺时针旋转后为(y,-x)，逆时针为(-y,x)。2. 中心为(a,b)：先平移点至(x-a,y-b)，旋转后再平移回(a+(y-b),b-(x-a))或对应形式。 例2．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质说明线段或角相等、用勾股定理解三角形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，再证明，于是可得，，从而求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，点到轴的距离为4， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，画出的中垂线，得到点的横坐标，设出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵由绕点旋转得到， ∴， ∵， ∴点的横坐标为：， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：． 【变式2-2】如图，在直角坐标系中，已知，．将线段绕点A顺时针旋转得到，则点B的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，由旋转的性质可得，，进而可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式2-3】如图，的顶点坐标分别为，，．如果将绕点顺时针旋转，得到△，那么点的对应点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过点C作轴，分别过作直线的垂线，垂足分别为D、E，则，由旋转的性质可得，则可证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴，分别过作直线的垂线，垂足分别为、， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    类型三、平面直角坐标系中旋转作图 知识点：1. 旋转的基本性质：对应点到旋转中心距离相等，对应点与中心连线的夹角等于旋转角，对应线段、对应角相等。2. 平面直角坐标系的坐标特征：点的坐标与位置的对应关系，平移与坐标变换的联系。 解题技巧：1. 单一点旋转：以旋转中心为顶点，通过作等角、等距线段确定对应点。2. 图形旋转：先确定图形关键点（顶点、端点）的对应点，再按原图形连接方式顺次连接各对应点，形成旋转后图形。 例3．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的，并写出，，的坐标； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出，并写出，，的坐标． 【答案】(1)见解析，，，； (2)见解析，，， 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求绕原点旋转90度的点的坐标、画旋转图形 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换、旋转变换，掌握变换规律是解题的关键． （1）由轴对称的性质先确定的坐标，然后再描点、连线即可，再写出，，的坐标； （2）由旋转的性质先确定，，的坐标，然后再描点、连线即可，再写出，，的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求；，，   （2）解：如图，即为所求；，，． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)将以点B为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； (2)平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查坐标与图形的变换—旋转与平移： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据平移的性质，画出即可； （3）根据旋转的性质，确定旋转中心即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵A的对应点的坐标为， 故将沿着轴，向上平移4个单位得到； 如图，即为所求； （3）如图，点即为旋转中心坐标为：． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕点C顺时针旋转得到（点B的对应点是点），则的坐标为 　； (2)请画出绕原点O顺时针旋转后得到的（点A，B，C的对应点分别是点，，）． 【答案】(1) (2)画图见解析 【知识点】画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查的是画旋转图形，求解旋转对应点的坐标； （1）先画出绕点C顺时针旋转得到，再写出其坐标即可； （2）分别确定绕原点O顺时针旋转后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为旋转后的线段， ∴． （2）解：如图，即为所求： 类型四、坐标与旋转规律问题 知识点：1. 旋转的代数表达：旋转角与坐标变换的函数关系，体现几何性质的代数化。2. 坐标平移与旋转的关联：图形先平移至旋转中心为原点，简化计算后再还原的转化思想。 解题技巧：1. 原点为中心：总结90°、180°、270°旋转的坐标公式（如90°逆时针：(x,y)→(-y,x)），直接套用。2. 非原点为中心：通过坐标减法平移图形至中心为原点，应用旋转公式后，再用加法还原坐标，分步简化计算。 例4．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，……，绕点连续旋转24次得到线段，那么线段的长度为 ． 【答案】3 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】根据旋转的性质，得到线段每旋转4次，回到初始位置，即可求出旋转24次线段的位置，即可求解， 本题考查了，旋转的性质，坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． 【详解】解：由题意可得，线段每旋转4次，回到初始位置， ∵， ∴线段与线段重合，点与点重合， ∴， 故答案为：3． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转的位置，点在x轴上……依次进行下去．若点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、坐标与旋转规律问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、，由图象可知点在轴上，，根据这个规律可以求得的坐标． 【详解】解：由图象可知点在轴上， ，，， ， ，，，， ，， ， ， ． 故答案为:． 【变式4-3】将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，掌握题中规律是解题的关键．根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第2025次旋转结束时，相当于由此位置旋转，进而可求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，相当于由此位置旋转， ∴第2025次旋转结束时，点对应点与点A关于原点对称， ∴点对应点的坐标为． 故答案为：． 类型五、旋转综合题——几何变换 知识点：1. 旋转与其他变换的联系：旋转常与平移、轴对称结合，共同体现图形变换的不变性（如全等性）。2. 几何图形性质的综合应用：三角形（含等腰、直角三角形）、四边形（含特殊四边形）的性质在旋转中的体现，如等腰三角形旋转产生全等三角形。 解题技巧：1. 识别旋转特征：抓住对应点、旋转中心、旋转角，通过“等线段、等角”标记隐含条件。2. 构造辅助线：遇复杂图形，通过旋转关键点或线段，将分散条件集中，转化为熟悉的全等或特殊三角形问题求解。 例5．如图，中，，，点是边上一点，连接，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是： （1）根据旋转的性质得出，则，结合可得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，则可求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，则，根据等角对等边可得出，然后根据三线合一即可得证。 【详解】（1）解：∵将绕点旋转得到， ∴. ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∴. （2）证明：∵， ∴，. ∵， ∴， ∴. ∵中，，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 【变式5-1】如图①，将一副直角三角尺中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住直角三角尺不动，将直角三角尺绕点按顺时针方向旋转，图②为旋转过程中的某一位置，当三点再一次共线时停止旋转，记． (1)当时，求直线与直线相交所成角的大小； (2)当时，求k的值； (3)当时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角板中角度计算问题、根据旋转的性质求解、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，三角形外角的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质，角的和差计算是解题的关键． （1）当时，，设直线与直线交于点，则有，根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当在的左侧时，，；当在的右侧时，，不符合题意；由此即可求解； （3）当在的左侧时，与相交，所以当时，在的右侧， 则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，，设直线与直线交于点， 则直线与直线相交所成的锐角为， ∵， ∴． （2）解：当在的左侧时， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； 当在的右侧时，， ∵当三点再一次共线时停止旋转， ∴该种情况不符合题意． （3）解：当在的左侧时，与相交， ∴当时，在的右侧， 则， ∴， ∴，即． 【变式5-2】【基础回顾】 （1）如图1，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到，若连接，则的形状为 ； 【类比探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】 （3）如图3，在中，，，点P在上，求，， 之间存在的数量关系． 【答案】（1）等腰直角三角形；（2），证明见解析；（3） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由旋转的性质得到，，结合正方形性质得到，即可解题； （2）结合旋转的性质证明，利用全等三角形性质即可证明与的数量关系； （3）将逆时针旋转后得到，连接，得到是等腰直角三角形．再结合旋转的性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知，，， 四边形为正方形， ， ， 的形状为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）答： ， 证明：将顺时针旋转后得到， ，． 又， ． ． （3）将逆时针旋转后得到，连接， 则是等腰直角三角形． 由旋转的性质可知：，． ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 一、单选题 1．如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 2．如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，以点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接交y轴于点P，已知．将向左平移，当点B的对应点落在y轴上时，点P的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移，旋转，含角的直角三角形，邻补角的定义，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点B作轴 C，先求出，，继而可得，，由向左平移个单位长度得到，则也向左平移个单位长度得到，即可解答． 【详解】解：过点B作轴 于点C，如图，有 ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由向左平移个单位长度得到，则也向左平移个单位长度得到． 故选B． 4．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形的变化—旋转规律性问题，得出规律是解此题的关键．首先确定点的坐标，得出每4次一个循环，计算出，由此即可得出答案． 【详解】解：正六边形的边长为2，中心与原点重合，轴，交轴于点， ，，， ， 点的坐标为， 第1次旋转结束时，点旋转到第四象限，坐标为， 第2次旋转结束时，点旋转到第三象限，坐标为， 第3次旋转结束时，点旋转到第二象限，坐标为， 第4次旋转结束时，点的坐标为， 每4次一个循环， ， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：C． 5．如图，在中，，，将绕点A逆时针转得到，以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定与性质，根据旋转的性质可得，，，，由此即可判断结论①和③正确；根据角的和差可得，再根据平行线的判定即可判断结论②正确；假设，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，这与相矛盾，由此即可判断结论④错误． 【详解】解：∵将绕点A逆时针转得到， ∴，，，， ∴①和③正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴②正确，符合题意； 假设，则， ∴是等边三角形， ∴，这与相矛盾， ∴假设不成立，④错误，不符合题意； 综上所述，结论正确的有①②③， 故选：A． 二、填空题 6．将点顺时针旋转得到点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点的坐标，点到坐标轴的距离． 根据旋转的性质， 可推导出，再证明，则，求出点的坐标为，即可解答． 【详解】解：设为点A，连接， 过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，如图 ∴，， ∴， 由旋转，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 即． 故答案为：． 7．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点B恰好落在BC边上，和CD交于点P，则的度数是 ． 【答案】42°/42度 【分析】本题考查了图形的旋转以及三角形的内角和，求出的度数是解决本题的关键． 先由图形旋转，边长不变，角度不变，可得，再结合三角形的内角和的度数求解即可． 【详解】解：平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转，得到平行四边形， ，，，， ， ，， ， ， 故答案为： 8．如图所示，E为正方形内一点，将三角形绕点B顺时针旋转至三角形处，若，则 ， ． 【答案】 /90度 10 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据正方形的性质和旋转的性质即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ∵绕点B顺时针旋转与重合， ∴，， ∴， ． 故答案为：，10． 9．如图所示，中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，利用面积法求的长是解决本题的关键． 过点作于点，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的性质可得的长，根据，可得的长，根据勾股定理可得的长，根据旋转的性质进一步可得的长，即可判断出面积比． 【详解】过点作于点，如图所示： ，，， ∴， ∵是斜边的中点， ∴，， ， 即 解得 在中 根据勾股定理，， 根据旋转的性质，可得， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵与的高为， ∴与的面积比为． 故答案为． 10．中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题．分三种情形讨论①如图1中，当时，②如图2中，当时，③如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中， ， ， ①如图1中， 当时， 在和中， ， ， ． ②如图2中，当时，同理可证， ， ． ③如图3中，当时，同理可证， ， 故答案为或或． 三、解答题 11．如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转度后，得到，点D刚好落在边上． (1)求n的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转的性质，证明是等边三角形，即可求得旋转角n的度数； （2）易得是含角的直角三角形，则可求得． 【详解】（1）解：∵将绕点C按逆时针方向旋转n度后得到， ∴， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出绕点逆时针旋转的图形，并直接写出点坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)图见详解， (2)2 【分析】本题考查旋转的知识，解题时注意旋转方向和旋转角度，掌握以上知识是解题的关键； （1）将三个顶点分别绕点逆时针旋转后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得到旋转后的图形，然后可以得到的坐标； （2）在一个的长方形中，求出长方形的面积减去 3 个小三角形面积即可得到的面积； 【详解】（1）解：如图，即为所求，． （2）解：∵在一个的长方形中， ． 13．如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 【答案】(1)旋转中心是点A． (2)逆时针旋转了． (3)点M到了的中点处． 【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质，等边三角形的性质和判定，关键在于明确旋转中心，旋转角度和旋转位置． （1）观察图形，经旋转后到达的位置，可得出旋转中心； （2）观察图形，线段旋转后，对应边是就是旋转角，可得出旋转角； （3）因为旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点． 【详解】（1）解：∵经旋转后到达，它们的公共顶点为， ∴旋转中心是点； （2）解：∵ ∴是等边三角形 ∴ 线段旋转后，对应边是就是旋转角，也是等边三角形的内角，是， ∴逆时针旋转了； （3）解：旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点， ∴点转到了的中点． 14．如图，在直角中，，，将绕B点逆时针旋转得到，连接，，直线与直线相交于点． (1)如图，若P点为射线与线段交点时， ①求的度数； ②证明：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)；见解析 (2)或 【分析】（1）①如图所示，延长到点G使，连接，证明，得到是等边三角形，得，，，，故和都是等腰三角形，得，故； ②延长至H，使，连接、．由，得，，，设，得，，故，由，得，，故； （2）根据题意分两种情况讨论，当旋转角为时，过A作由，，得，故，，故为等腰直角三角形，得到，由旋转得，故为等腰直角三角形，得，，勾股定理得，故，当旋转角为时，同理求解即可． 【详解】（1）①解：如图所示，延长到点G使，连接 ，， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ 由旋转的性质得 ，， 和都是等腰三角形， ， ； ②证明：延长至H，使，连接、 ， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图所示，当旋转角为时，过A作， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ； 如图所示，当旋转角为时，过A作， ，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 由旋转， 为等腰直角三角形， ， ， ∴ ∵ ∴ ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识， 15．在中，，将绕点O逆时针旋转得到，点分别是的中点，连接． （1）【证明与推断】如图，当时，求证：；推断：是_______三角形； （2）【类比探究】如图，当时，判断的形状，并加以证明； （3）【拓展运用】在（）的条件下，当点在上时（如图），设相交于点，若，，求线段的长． 【答案】（）见解析；等腰直角；（）是等腰直角三角形，证明见解析；（）． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）由旋转的性质可得，，，，再通过中点定义可得，最后证明；  由全等三角形性质可得，，可得，从而求解； （）同（）可证得，则，，可得，从而求解； （）由（）可知，是等腰直角三角形，则，即，设，则，即，又点是的中点，，则，由勾股定理得，即，求出的值即可． 【详解】（）证明：由旋转的性质可得，，，， ∵点分别是的中点， ∴， ∴，    ∵，，， ∴；   解：∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角； （）解：是等腰直角三角形，理由如下：     由旋转的性质可得，，，，， 同（）可证得，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形．   （）解：由（）可知，是等腰直角三角形， ∴，即， 设，则， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴． 16．【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度点的对应点分别为． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，①请判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． (3)在旋转过程中，直接写出线段的取值范围． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，理由见详解② (3) 【分析】本题考查了以下核心知识点：正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，特殊四边形的判定以及线段取值范围的确定，对这些概念的理解程度是解题的关键． （1）先通过勾股定理求正方形的边长，再结合正方形对角线性质求，最后利用旋转后的性质，通过线段差计算． （2）①由旋转得且，结合已知推出四边形有三个直角，先判定为矩形，再通过邻边相等判定为正方形． ②通过作垂线构造直角三角形，利用“同角的余角相等”找到全等条件，证明，得到对应边长度，再用勾股定理求． （3）将A视为定点，为定长，则的轨迹是以A为圆心、为半径的圆；结合为定长，通过“点C到圆上点E'的距离范围确定取值范围． 【详解】（1）解：在中，因为，，， 所以， 由于四边形是正方形， 所以，， 那么， 由旋转性质可知， 所以． （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质可得，， 因为， 又因为， 所以四边形是正方形． ②过点作于点，则， 因为， 所以， 在和中， ， 可得， 所以，， 则， 在中，根据勾股定理． （3）解：因为的轨迹是以A为圆心、为半径的圆， 点到圆心的距离为， 所以最短为， 当落在的延长线上时，，， 最长为， 所以线段的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$