期末压轴题特训考向三 列一元二次方程解决实际问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

7. ∵ m 是方程x2+3x-2022=0的 一个根, ∴ m2+3m-2022=0. ∴ m2+3m=2022. ∴ m3+2m2-2025m +2022= m(m2+3m-2025)-m2+2022= m(2022-2025)-m2 +2022= -3m-m2 +2022= -2022+ 2022=0. 8. 原式=aba+b. ∵ a、b 是方程 x2+x-6=0 的两 个根, ∴ a+b=-1,ab=-6. ∴ 原式=aba+b= -6 -1=6. 9. 原式= 1x+3. 解方程x2+2x-8=0,得x1=-4, x2=2. ∵ 当x=2时,原分式没有意义, ∴ x=-4. 当x=-4时,原式= 1-4+3=-1. 10. 原式= 13(a2+3a). ∵ a是一元二次方程x2+3x-1=0 的实数根, ∴ a2+3a-1=0,即a2+3a=1. ∴ 原式= 13×1= 1 3. 考向二　一元二次方程的 特殊根 1. B 解析:由题意,得42-4(m- 3)=28-4m≥0,∴ m≤7.∵ m 为正 整数,且该方程的根都是负整数, ∴ x = -4± 28-4m2 = -2± 7-m.∴ -2+ 7-m<0, -2- 7-m<0, 解得 m>3,则3<m≤7.又∵ 7-m 是 整数,∴ m 的值为6或7.∴ 符合条 件的所有正整数m 的和为13. 2. 1 3. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 x2-3x+(m+1)=0有两个不相等 的实数根, ∴ b2-4ac=(-3)2-4×1×(m+ 1)=9-4m-4=5-4m>0,解得 m<54. (2) ∵ m<54 ,m 是非负整数, ∴ m=0或1. 当m=0时,原方程可化为x2-3x+ 1=0. 解方程,得x1= 3+5 2 ,x2= 3-5 2 . ∵ 该方程的根不是整数, ∴ m=0不合题意,舍去. 当m=1时,原方程可化为x2-3x+ 2=0. 解方程,得x3=1,x4=2. ∵ 该方程的根是整数, ∴ m=1符合题意. 综上所述,m 的值为1. 4. 设方程的两个根为x1、x2(x1≥ x2),则x1+x2=6-a,x1x2=a. ∴ x1x2+x1+x2=6. ∵ x1、x2 都是整数,(x1+1)(x2+ 1)=7, ∴ x1+1=7, x2+1=1 或 x1+1=-1, x2+1=-7, 解得 x1=6, x2=0 或 x1=-2, x2=-8. ∴ a=0或16. 5. (1) 由题意,得m-3≠0,且b2- 4ac=(-m+4)2-4(m-3)× (-1)>0. ∴ m≠3,且(m-2)2>0. ∴ m 的取值范围是m≠2且m≠3. (2) 由公式法,得x= m-4± (m-2)2 2(m-3) . ∴ x=m-4± (m-2) 2(m-3) . ∴ x1=- 1 m-3 ,x2=1. ∵ 该方程有一个根是负整数,m 为整 数,且m≠2,m≠3, ∴ m-3=1. ∴ m=4. 6. (1) ∵ b2-4ac=(-2)2-4×1× (-3|m|)=4+12|m|, 又∵ |m|≥0, ∴ 4+12|m|>0. ∴ 方程总有两个不相等的实数根. (2) ∵ 方程的两个实数根分别为 α、β, ∴ α+β=2. 又∵ α+2β=5, ∴ β=3. 将β=3代入方程,得9-6-3|m|= 0,解得m=±1. 7. (1) 由题意,得m-1≠0,且b2- 4ac>0. 由m-1≠0,解得m≠1. ∵ b2-4ac=(m-2)2-4(m-1)× (-1)=m2, ∴ m2>0. ∴ m≠0. ∴ m 的取值范围是m≠0且m≠1. (2) 由公式法,得x=- (m-2)±m 2(m-1) . ∴ x1=-1,x2= 1 m-1. ∵ m 是整数,且方程有两个不相等的 整数根,由(1),得m≠0且m≠1, ∴ m=2. 考向三　列一元二次方程 解决实际问题 1. B 2. D 解析:设羊的只数为x,则头数 加只数为2x,只数减头数为0,只数 乘头数为x2,只数除头数为1.根据题 意,得x2+2x+1=100,解得x1=9, x2=-11(不合题意,舍去).∴ 羊的 只数为9. 3. 13 解析:设有x家公司出席了这 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 次交易会.依题意,得12x (x-1)= 78,解得x1=13,x2=-12(舍去). ∴ 共有13家公司出席了这次交 易会. 4. (1) 设该品牌头盔10月到12月销 售量的月增长率为x. 由题意,得2250(1+x)2=3240,解 得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合 题意,舍去). ∴ 该品牌头盔10月到12月销售量 的月增长率为20%. (2) 设增加y条生产线. 由题意,得(900-30y)(y+1)= 3900, 整理,得y2-29y+100=0,解得 y1=4,y2=25. ∵ 要节省投入, ∴ y=4. ∴ 在增加产能的同时又要节省投入 的条件下(生产线越多,投入越大),应 该增加4条生产线. 5. (1) 设购买A种材料x套,则购买 B种材料(50-x)套. 由题意,得32x+24(50-x)≤1392, 解得x≤24. ∴ 最多能购买A种材料24套. (2) 由(1),得按计划采购,最多购买 A种材料24套,则购买B种材料 26套. 由题意,得24 1+34a% ×32 1- 3 8a% +26 1-413a% ×24 1+ 1 12a% =1392+16. 化简,得58(a%)2-37a%+4=0,解 得a1%= 1 2 ,a2%= 4 29. ∵ A、B两种材料的数量均为整数, ∴ a%=429 不合题意,舍去. ∴ a=50. 6. (1) ∵ 点P、N 重合, ∴ 2x+x2=20,解得x1= 21-1, x2=- 21-1(不合题意,舍去). ∴ 当x= 21-1时,点P、N 重合. (2) 易得点P、Q、M、N 中的点N 最 先到达运动边的另一个端点. 当点N 到达点A 时,x=25,此时点 M 和点Q 还未相遇, ∴ 点Q 只能在点M 的左侧. ① 当点P 在点N 的左侧时, 由题意,易得20-(x+3x)=20- (2x+x2),解得x1=0(不合题意,舍 去),x2=2. ② 当点P 在点N 的右侧时, 由题意,易得20-(x+3x)=(2x+ x2)-20,解得x1=-10(不合题意, 舍去),x2=4. 综上所述,当x=2或x=4时,以P、 Q、M、N 为顶点的四边形是平行四 边形. 7. (1) 24. (2) 设CD=x 米(0<x≤15),则 BC=45-x-2(x-1)+1=(48- 3x)米. 依题意,得x(48-3x)=180,解得 x1=6,x2=10. 当x=6时,48-3x=30,30>27,不 合题意,舍去; 当x=10时,48-3x=18,符合题意. ∴ 边CD 的长为10米. (3) 不能. 理由:设CD=y 米(0<y≤15),则 BC=45-y-2(y-1)+1=(48- 3y)米. 依题意,得y(48-3y)=210,整理,得 y2-16y+70=0. ∵ b2-4ac=(-16)2-4×1×70= 256-280=-24<0, ∴ 该方程没有实数根. ∴ 饲养场的面积不能达到210平 方米. 考向四　圆中的最值问题 1. C 解析:如图,过点M 作MH⊥ CD,交CD 的延长线于点H.∵ 菱形 ABCD 的边长为4,M 为AD 的中点, ∴ AM=MD=2.由折叠的性质,得 A'M=AM=2,即A'M 的长为定值. ∴ 点A'在以点M 为圆心、2为半径 的半圆上(不含端点A).易得当 M、 A'、C 三点共线时,A'C 的长取最小 值.∵ 在菱形ABCD 中,AB∥CD, ∴ ∠HDM = ∠DAB = 60°. ∴ ∠HMD=30°.∵ MD=2,∴ 易 得HD=1.∴ HM= 3.∴ HC= HD+DC=5.在 Rt△HMC 中, MC= HC2+HM2=27,∴ A'C= MC-MA'=27-2. (第1题) 2. 296 解析:设P(x,y).∵ PA2= (x+2)2+y2,PB2=(x-2)2+y2, ∴ PA2+PB2=2x2+2y2+8= 2(x2+y2)+8.∵ OP2=x2+y2, ∴ PA2+PB2=2OP2+8.连接OM 并延长,交☉M 于点P'.当点P 与点 P'重合时,OP 的长取得最大值,此时 OP 的长为OM+PM= 62+82+ 2=12.∴ PA2+PB2的最大值为2× 122+8=296. 3. 5+1 解析:如图,连接OB、OP, 将OB 绕点B 逆时针旋转60°得到 O'B,连 接 O'Q.∴ OB =O'B, ∠OBO'=60°.∵ △BPQ 为等边三角 形,∴ PB =QB,∠PBQ =60°. ∴ ∠OBO'- ∠PBO'= ∠PBQ - ∠PBO',即 ∠OBP = ∠O'BQ.在 △OBP 和 △O'BQ 中, OB=OB', ∠OBP=∠O'BQ, PB=QB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OBP ≌ △O'BQ.∴ OP=O'Q.∵ AB=2,四 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 102 考向三　列一元二次方程解决实际问题 ▶ “答案与解析”见P55 1. 某校进行足球比赛,每两个班级比一场,计划 安排15场比赛,则参加比赛的班级个数为 ( ) A. 5 B. 6 C. 5或6 D. 7 2. 民歌《牧童王小良》包含着一个数学问题:牧 童王小良,放牧一群羊,问他羊几只,请你仔 细想.头数加只数,只数减头数,只数乘头数, 只数除头数,四数连加起,正好一百数.羊的 只数为 ( ) A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 3. 在一次商品交易会上,参加交易会的每两家 公司之间都要签订一份合同,会议结束后统 计共签订了78份合同,有 家公司出 席了这次交易会. 4. 新情境·日常生活 一人一盔安全守规,一人一 带安全常在.“一盔一带”安全守护行动,带动 了头盔市场的销量.某头盔经销商统计发现, 某品牌头盔10月销售2250个,12月销售 3240个,且从10月到12月销售量的月增长 率相同. (1) 求该品牌头盔10月到12月销售量的月 增长率. (2) 为了满足市场需求,某工厂建了一条头盔 生产线生产头盔,经过一段时间后,发现一条 生产线的最大产能是900个/天,但如果每增 加一条生产线,每条生产线的最大产能将减少 30个/天,该厂要保证每天生产头盔3900个, 在增加产能的同时又要节省投入的条件下(生 产线越多,投入越大),应该增加几条生产线? 5. 某校对活动中所需物品进行统一采 购,其中某活动需要A、B两种材料, 已知A种材料每套的价格为32元, B种材料每套的价格为24元,活动需要A、B 两种材料共50套,计划购买A、B两种材料 的总费用不超过1392元. (1) 若按计划采购,最多能购买A种材料多 少套? (2) 在实际采购过程中,受多方面因素的影 响,与(1)中最多购买A种材料的计划相比, 实际采购A种材料的数量增加了34a% ,B种 材料的数量减少了4 13a% (A、B两种材料的 数量均为整数),实际采购A种材料每套的 价格减少了3 8a% ,B种材料每套的价格增加 了1 12a% ,且实际总费用比按(1)中最多购买 A种材料的总费用多了16元,求a的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 103 6. 如图,在矩形ABCD 中,BC=20cm,点P、 Q、M、N 分别从点A、B、C、D 出发,沿AD、 BC、CB、DA 方向在矩形的边上同时运动, 当有一个点先到达所在运动边的另一个端点 时,所有点均停止运动.已知在相同时间内, 若BQ=xcm(x>0),则AP=2xcm,CM= 3xcm,DN=x2cm. (1) 当x为何值时,点P、N 重合? (2) 当x为何值时,以P、Q、M、N 为顶点的 四边形是平行四边形? (第6题) 7. 如图,某农场要建一个饲养场(矩形 ABCD),两面靠墙(边AD 所靠墙 的最大可用长度为27米,边AB所靠 墙的最大可用长度为15米),另两边用木栏围 成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处 通道,并在如图所示的三处各留1米宽的门 (不用木栏).建成后木栏总长为45米. (1) 若饲养场(矩形ABCD)的一边CD 的长 为8米,则另一边BC= 米. (2) 若饲养场(矩形ABCD)的面积为180平 方米,求边CD 的长. (3) 饲养场的面积能达到210平方米吗? 若 能达到,求出边CD 的长;若不能达到,请说 明理由. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训