第2章 对称图形——圆 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(苏科版)

71 第2章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P43 考点一 垂径定理 典例1 如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度 AB=60米,拱高PD=18米,点O 是圆弧所在 圆的圆心. (1) 求圆弧所在的圆的半径. (2) 当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧 急措施.当拱顶离水面只有4米,即PE=4米 时,是否要采取紧急措施? (典例1图) [变式]如图所示为某座圆弧形蔬菜棚,跨度 AB=3.2m,拱高DC=0.8m(C 为AB 的中 点,D 为AB ︵ 的中点). (1) 求该圆弧所在圆的半径. (2) 在距蔬菜棚的一端0.4m处竖立支撑杆 EF,求支撑杆EF 的高度. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 72 考点二 圆心角与圆周角、圆内接四边形 典例2 如图,BD 是☉O 的直径,AB ︵ =AD ︵,C 是☉O 上的一动点,且与点A 分别在BD 的两 侧,连接AB、AD、BC、CD、AC. (1) 若CD ︵ =5BC ︵,BD=4,求AC 的长. (2) 求证:CD+BC=2AC. (典例2图) [变式](2024·牡丹江)如图,四边形ABCD 是 ☉O 的内接四边形,AB 是☉O 的直径.若 ∠BEC=20°,则∠ADC 的度数为 ( ) A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 考点三 直线与圆的位置关系 典例3 (2024·济宁)如图,△ABC 内接于 ☉O,D 是BC 上一点,AD=AC.E 是☉O 外一 点,∠BAE = ∠CAD,∠ADE = ∠ACB,连 接BE. (1) 若AB=8,求AE 的长. (2) 求证:EB 是☉O 的切线. (典例3图) [变式](2024·镇江)如图,将△ABC 沿过点A 的直线翻折,点C 的对应点C'落在边AB 上,折 痕为AD,点O 在边AB 上,☉O 经过点A、D. 若∠ACB=90°,试判断BC 与☉O 的位置关系, 并说明理由. 考点四 与正多边形、扇形的面积、圆锥的 侧面积有关的计算 典例4 如图,扇形OAB 从位置①无滑动地旋 转到位置②,再由位置②无滑动地旋转到位置 ③,∠BOA=60°,OA=1.求: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 73 (1) 点O 运动的路径长. (2) 点O 运动的路径与直线l围成的图形的 面积. (典例4图) [变式]如图,正方形剪去四个角后成为一个正 八边形. (1) 若正八边形的边长为2,求剪去的四个角的 面积和. (2) 若正方形的边长为2,求正八边形的边长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 如 图,A、B、C、D 四 点 均 在 ☉O 上, ∠AOB=30°,∠BCD=80°,OA∥BC,则 ∠D-∠CAD 的度数为 ( ) A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° (第1题) (第2题) (第3题) 2. 如图所示为某工件槽的正面示意图,两个底 角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内.若 铁球与工件槽同时具有A、B、E 三个接触点, 则该铁球的半径是 ( ) A. 8cm B. 6cm C. 12cm D. 10cm 3. 如图,在☉O 中,弦AB⊥CD,垂足为E,F 为CBD ︵ 的中点,连接AF、BF、AC、CF,AF 交CD 于点M,过点F 作FH⊥AC,垂足为 G,连接CH.有下列结论:① CF ︵ =DF ︵; ② HC=BF;③ MF=FC;④ DF ︵ +AH ︵ = BF ︵ +AF ︵ .其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第4题) 4. 如图,☉O 的弦AB=8,以AB 为边作正方形ABCD,边CD 与☉O 相切,切点为E,则☉O 的半径为 ( ) A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 5. 若一个等边三角形的边长是6,则这个等边三 角形的内切圆的半径是 . 6. 如图,AB 为☉O 的直径,C 为☉O 上一点,AD⊥CD,AD 交☉O 于点 E,且C 为BE ︵ 的中点,连接AC. (1) 求证:CD 为☉O 的切线. (2) F 为☉O 上一点,连接AF,若AF∥CD, AC=10,AF=12,求☉O 的半径. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 第2章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 (1) 设圆弧所在的圆的半径 为r米. 如图,连接OA. 由题 意,得 AD= 12AB=30 米, OD=(r-18)米. 在Rt△ADO 中,由勾股定理,得r2= 302+(r-18)2,解得r=34. ∴ 圆弧所在的圆的半径为34米. (2) 如图,连接OA'. ∵ OE=OP-PE=30米, ∴ 在Rt△A'EO 中,由勾股定理,得 A'E2=A'O2-OE2. ∴ A'E= 342-302=16(米). ∴ A'B'=2A'E=32米. ∵ 32>30, ∴ 不需要采取紧急措施. (典例1图) [变式] (1) 如图,设AB︵ 所在圆的 圆心为点O,易得点O 在射线DC上, 延长DC到点O,连接OB. ∵ C为AB 的中点, ∴ BC=12AB= 1 2×3.2=1.6 (m). 设☉O 的半径为Rm,则OC=(R- 0.8)m. ∵ 易得OD⊥AB, ∴ 在Rt△OBC 中,由勾股定理,得 OB2=OC2+BC2. ∴ R2=(R-0.8)2+1.62,解得 R=2. ∴ 该圆弧所在圆的半径为2m. (2) 如图,过点O 作OH⊥FE,交FE 的延长线于点H,连接OF. 根据题意,得BE=0.4m. ∵ 易得四边形OCEH 为矩形, ∴ OH=CE=BC-BE=1.2m, HE=OC=OD-DC=1.2m. ∴ 在 Rt△OHF 中, HF = OF2-OH2=1.6m. ∴ EF=HF-HE=0.4m,即支撑 杆EF 的高度为0.4m. 典例2 (1) 如图①,连接CO 并延 长,交☉O 于点E,连接AE. ∵ BD 是☉O 的直径, ∴ ∠BAD=90°. ∵ AB︵=AD︵, ∴ AB=AD. ∴ ∠ABD=∠ADB=45°. ∵ CD︵=5BC︵, ∴ ∠BOC=15∠COD. ∴ ∠BOC=16∠BOD=30°. ∴ ∠BDC=12∠BOC=15°. ∴ ∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°. ∴ ∠AEC=∠ADC=60°. ∵ CE 是☉O 的直径, ∴ ∠CAE=90°. ∵ CE=BD=4, ∴ 易得AE=2,AC=23. (2) 如图②,过点A 作AF⊥AC,交 CD 的延长线于点F. ∴ ∠CAF=90°. ∵ ∠BAD=90°, ∴ ∠BAD - ∠CAD = ∠CAF - ∠CAD,即∠BAC=∠DAF. ∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形, ∴ ∠ABC+∠ADC=180°. ∵ ∠ADC+∠ADF=180°, ∴ ∠ABC=∠ADF. 又∵ AB=AD,∠BAC=∠DAF, ∴ △ABC≌△ADF. ∴ AC=AF,BC=DF. ∴ △ACF 是等腰直角三角形. ∴ 易得CF=2AC. ∵ CF=CD+DF=CD+BC, ∴ CD+BC=2AC. (典例2图) [变式] B 解析:如图,连接AC. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°.∵ ∠BEC=20°,∴ ∠CAB= ∠BEC=20°.∴ ∠ABC =90°- ∠BAC=70°.∵ 四边形 ABCD 是 ☉O 的 内 接 四 边 形,∴ ∠ADC= 180°-∠ABC=110°. 典例3 (1) ∵ ∠BAE=∠CAD, ∴ ∠BAE + ∠BAD = ∠CAD + ∠BAD,即∠EAD=∠BAC. 又∵ ∠ADE=∠ACB,AD=AC, ∴ △ADE≌△ACB. ∴ AE=AB. ∵ AB=8, ∴ AE=8. (2) 如图,连接BO 并延长,交☉O 于 点F,连接AF. ∵ BF 是☉O 的直径, ∴ ∠BAF=90°. ∴ ∠AFB+∠ABF=90°. ∵ ∠AFB=∠ACB, ∴ ∠ACB+∠ABF=90°. 在△ADC中,AD=AC, ∴ ∠ACB=∠ADC. ∴ 2∠ACB+∠CAD=180°. 由(1),知AE=AB, ∴ ∠AEB=∠ABE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 ∴ 2∠ABE+∠BAE=180°. ∵ ∠BAE=∠CAD, ∴ ∠ACB=∠ABE. ∴ ∠ABE + ∠ABF = 90°,即 ∠OBE=90°. ∴ OB⊥BE. ∵ OB 为☉O 的半径, ∴ EB 是☉O 的切线. (典例3图) [变式] BC与☉O 相切. 理由:如图,连接OD. ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ODA. 由折叠的性质,得∠CAD=∠OAD, ∴ ∠CAD=∠ODA. ∴ AC∥OD. ∴ ∠ODB=∠ACB=90°. ∴ OD⊥BC. ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ BC与☉O 相切. 典例4 (1) 点O 运动的第一段路径 为弧,长90π×1 180 = π 2 ,第二段路径为 线段,长60π×1 180 = π 3 ,第三段路径为 弧,长90π×1 180 = π 2 ,即点O 运动的路 径长为π 2+ π 3+ π 2= 4π 3. (2) 由题意,得点O 运动的路径与直 线l围成的图形的面积为90π×1 2 360 + 1×π3+ 90π×12 360 = π 4+ π 3+ π 4= 5π 6. [变式] (1) ∵ 正方形剪去四个角 后成为一个正八边形,正八边形每个 内角为135°, ∴ ∠CAB=∠CBA=45°. 易得剪去的四个角是四个全等三角形. 设AC=BC=x. 在 Rt△ABC 中,由 勾 股 定 理,得 AC2+BC2=AB2,即x2+x2=4,解 得x=2或x=-2(不合题意,舍去). ∴ 剪 去 的 四 个 角 的 面 积 和 = 4S△ABC=4× 1 2×2×2=4. (2) 设正八边形的边长为y,则易得 剪掉的等腰直角三角形的直角边长为 2 2y. ∵ 正方形的边长为2, ∴ 2 2y+y+ 2 2y=2 ,解得y= 22-2. ∴ 正八边形的边长为22-2. ［综合素能提升］ 1. B 解析:如图,连接OC.∵ OA∥ BC,∠AOB =30°,∴ ∠OBC = ∠AOB = 30°.∵ OC = OB, ∴ ∠OCB = ∠OBC = 30°. ∴ ∠BOC=120°.∴ ∠AOC=120°+ 30°=150°.∴ ∠D=12∠AOC=75°. ∵ ∠AOB = 30°,∴ ∠ACB = 1 2∠AOB=15°.∵ ∠BCD =80°, ∴ ∠ACD = ∠BCD - ∠ACB = 80°-15°=65°.∴ ∠CAD=180°- ∠D-∠ACD=180°-75°-65°=40°. ∴ ∠D-∠CAD=75°-40°=35°. (第1题) 2. D 解析:如图,设圆心为点O,连 接OA、AB、OE,OE 交AB 于点C.由 题意,易得AB=16cm,CE=4cm,E 为AB︵ 的中点.∴ 易得 OE⊥AB. ∴ AC=BC=12AB=8cm. 设☉O 的半径为Rcm,则OC=(R-4)cm. 在Rt△OAC 中,由 勾 股 定 理,得 OA2=AC2+OC2,即R2=82+(R- 4)2,解得R=10.∴ 该铁球的半径是 10cm. (第2题) 3. C 解析:∵ F 为CBD︵ 的中点, ∴ CF︵=DF︵.故①正确.∴ ∠FCM= ∠FAC.∵ ∠FCG = ∠ACM + ∠FCM, ∠AME = ∠FMC = ∠ACM + ∠FAC,∴ ∠AME = ∠FMC=∠FCG>∠FCM.∴ FC≠ MF.故③错误.∵ AB⊥CD,FH⊥ AC,∴ ∠AEM = ∠CGF =90°. ∴ ∠CFH+∠FCG=90°,∠BAF+ ∠AME=90°.∵ ∠AME=∠FCG, ∴ ∠CFH=∠BAF.∴ CH︵=BF︵. ∴ HC=BF.故②正确.∵ ∠AGF= 90°,∴ ∠AFH + ∠CAF = 90°. ∴ AH︵ 的度数+CF︵ 的度数=180°. ∴ CH︵ 的度数+AF︵ 的度数=180°. ∴ DF︵+AH︵=CF︵+AH︵=CH︵+ AF︵=BF︵+AF︵.故④正确.综上所述, 正确的有3个. 4. D 解析:如图,连接EO 并延长, 交AB 于点F,连接OA.设☉O 的半 径为r,则OA=r,易得OF=8-r. ∵ CD 与☉O 相切,∴ OE⊥CD. ∵ 四边形ABCD 为正方形,∴ AB∥ CD.∴ OF⊥AB.∴ AF=12AB= 4.在 Rt△OAF 中,由勾股定理,得 AF2+OF2=OA2,即42+(8-r)2= r2,解得r=5.∴ ☉O 的半径为5. (第4题) 5. 3 6. (1) 如图,连接OC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 ∵ C为BE︵ 的中点, ∴ BC︵=CE︵. ∴ BC=CE,∠EAC=∠CAB. ∵ OA=OC, ∴ ∠CAB=∠ACO. ∴ ∠EAC=∠ACO. ∴ OC∥AD. ∴ ∠OCD+∠D=180°. ∵ AD⊥CD, ∴ ∠D=90°. ∴ ∠OCD=90°. ∴ OC⊥CD. ∵ OC为☉O 的半径, ∴ CD 为☉O 的切线. (2) 如图,延长CO 交AF 于点G. 由(1),知∠OCD=90°, ∵ AF∥CD, ∴ ∠CGF=∠OCD=90°. ∴ OG⊥AF,AG=12AF=6. ∵ AC=10, ∴ CG= AC2-AG2= 102-62=8. 在Rt△AOG 中,根据勾股定理,得 OG2+AG2=OA2. 设☉O 的半径为r,则OG=CG- OC=8-r. ∴ (8-r)2+62=r2. ∴ r=254. ∴ ☉O 的半径为254. (第6题) 第3章　数据的集中 趋势和离散程度 3.1　平 均 数 第1课时 算术平均数 1. D 2. C 3. 82 4. (1) 估计全厂员工的月平均收入 是1 10× (3510+3540+3580×2+ 3600+3620×3+3660+3670)= 3600(元). (2) 估计平均每名员工的年薪是 3600×12=43200(元). (3) 由(1),得全厂员工的月平均收入 大约是3600元. ∴ 估计财务科本月应准备3600× 220=792000(元)发工资. 5. 52 解析:∵ 四人的平均年龄是 28岁,∴ 这四人的年龄和为28×4= 112(岁).∵ 这四人中没有小于20岁 的,∴ 当其中三人都是20岁时,年龄 最大的人有最大年龄,为112-20× 3=52(岁). 6. (1) 小丽数学成绩的离均差为 82-84.75=-2.75(分). (2) ① 这组同学数学成绩的最高分 为84.75+31.25=116(分),最低分 为84.75-32.75=52(分). ② ∵ 10.25-8.75+31.25+15.25- 3.75-12.75-10.75-32.75= -12(分), ∴ -12÷8+84.75=83.25(分). ∴ 这 组 同 学 的 数 学 平 均 成 绩 是 83.25分. ③ 能. 该组最低分是52分,若达到72分,则 增加20分. ∵ 20÷8=2.5(分),83.25+2.5= 85.75(分),85.75-84.75=1(分), ∴ 这组同学的数学平均成绩超过该 班级的数学平均成绩1分. 第2课时 加权平均数 1. B 2. 3 3. (1) ∵ 88+90+86 3 =88 (分), ∴ 小 成 同 学 的 笔 试 平 均 成 绩 为 88分. (2) ∵ (88×6+92×4)÷(6+4)= 89.6(分), ∴ 小成同学的总成绩为89.6分. 4. C 不能正确运用加权平均数 解决问题 解答这类统计图信息题时,需 要从条形统计图和扇形统计图中 获取相关数据信息,确定相应数据 的“权”,再运用加权平均数求得实 际问题中一组数据的平均数.有的 同学不能正确理解“权”的意义和 作用,从而导致不能正确解答. 5. 13.95 解析:根据题意,得12× 15%+13×20%+14×30%+15× 25%+16×10%=13.95(岁). 6. (1) 16;50. (2) 6×6%+7×14%+8×34%+ 9×30%+10×16%=8.36(h), ∴ 被抽到的学生每天的平均睡眠时 长为8.36h. (3) 400× (6% +14%)=400× 20%=80(人), ∴ 估计该校八年级学生暑假期间每 天睡眠时长不足8h的人数为80. 3.2　中位数与众数 3.3　用计算器求平均数 第1课时 中位数与众数 1. C 2. C 3. 2 4. 53 5. (1) 88;87;40. (2) 八年级学生的数学文化知识较好. 理由:∵ 七、八年级学生成绩的平均 数相同,但八年级学生成绩的中位数 和众数比七年级的高, ∴ 八年级学生数学文化知识较好. (3) 500×310+400×40%=310 (人), ∴ 估计该校七、八年级学生中数学文 化知识为“优秀”(x≥90)的总共有 310人. 6. A 解析:由五个整数按从小到大 的顺序排列,中位数为4及这五个整 数的唯一众数是6,可得前两个数不 是同一个数且小于4.∴ 前两个整数 最大是2、3,后两个整数为6、6,即这 五个整数为2、3、4、6、6.∴ 这五个整 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54