专题02 对称图形—圆（期末复习知识清单，8知识&9题型&3易错&3方法清单）九年级数学上学期苏科版

该初中数学“对称图形——圆”专题清单全面覆盖圆的定义、对称性、位置关系等8大知识模块，9类典型题型及变式，3大易错点解析与3种解题方法策略，搭建从基础概念到综合应用的系统化学习支架。 清单采用“知识清单+题型突破+易错警示+方法总结”四维架构，如圆周角定理标注“同弧等角”核心结论，阿氏圆问题配套“构造母子相似”推理步骤，培养几何直观与推理意识。通过例题变式分层设计和重难点星级标注，学生可自主查漏补缺，教师能精准开展专题教学，提升复习效率。

专题02对称图形——圆（8知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】 圆 1. 圆的定义：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 2. 基本元素： o 圆心（O）：圆的中心，常用字母O表示； o 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离，同一圆的半径都相等； o 直径（d）：经过圆心的弦，直径是圆中最长的弦，且d=2r； o 弦：连接圆上任意两点的线段（如直径是特殊的弦）； o 弧：圆上任意两点间的部分，分为优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）和半圆，弧长用符号“⌒”表示。 3. 圆的表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。 【清单02】 圆的对称性 1. 轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，有无数条对称轴。 2. 中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转对称性）。 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 o 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 4. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；反之，相等的弧或相等的弦所对的圆心角相等。 【清单03】 确定圆的条件 1. 不在同一直线上的三个点确定一个圆：经过不在同一直线上的三点A、B、C，有且只有一个圆，其圆心是线段AB、BC的垂直平分线的交点（外心），半径是外心到任意一点的距离。 2. 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。 3. 反证法：证明“过同一直线上的三点不能作圆”时，先假设可以作圆，推出矛盾后否定假设，得出结论。 【清单04】 圆周角 1. 圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3. 推论： o 同弧或等弧所对的圆周角相等； o 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）； o 90°的圆周角所对的弦是直径； o 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 4. 圆内接四边形：四个顶点都在圆上的四边形，其性质为“对角互补”（即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）。 【清单05】直线与圆的位置关系 1. 位置关系及判定（设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）： o 相离：d > r，直线与圆没有公共点； o 相切：d = r，直线与圆有唯一公共点（切点），这条直线叫做圆的切线； o 相交：d < r，直线与圆有两个公共点，这条直线叫做圆的割线。 2. 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径（即若直线l是⊙O的切线，切点为A，则OA⊥l）。 3. 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（即若OA⊥l，且A在⊙O上，则l是⊙O的切线）。 4. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角（如从点P引⊙O的切线PA、PB，则PA=PB，∠APO=∠BPO）。 5. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），半径是内心到任意一边的距离（内心一定在三角形内部）。 【清单06】 正多边形与圆 1. 正多边形定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，外接于圆的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。 2. 正多边形的中心、半径、边心距： o 中心：正多边形外接圆的圆心； o 半径（R）：外接圆的半径（正多边形的顶点到中心的距离）； o 边心距（r）：中心到正多边形一边的距离（内切圆半径）。 3. 正多边形的性质： o 正n边形的中心角为； o 正n边形的每个内角为，每个外角为； o 正n边形的边长，边心距。 【清单07】 弧长及扇形的面积 1. 弧长公式：若扇形的圆心角为n°，半径为r，则弧长（单位：长度单位）。 2. 扇形面积公式： o 若扇形的圆心角为n°，半径为r，则面积； o 若扇形的弧长为l，半径为r，则面积（单位：面积单位）。 3. 弓形面积：弓形面积=扇形面积±三角形面积（当弓形为劣弧时用“-”，优弧时用“+”）。 【清单08】圆锥的侧面积 1. 圆锥的基本元素： o 母线（l）：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段，所有母线长相等； o 底面半径（r）：底面圆的半径； o 高（h）：圆锥顶点到底面圆心的距离，满足。 2. 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长l，弧长等于圆锥底面圆的周长。 3. 圆锥侧面积公式：（由扇形面积公式推导，其中）。 4. 圆锥全面积公式：。 【题型一】圆的基本概念与性质 【例1】给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【变式1-1】下列说法正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 【变式1-2】已知等腰内接于半径为的，若底边，则的面积为 ． 【题型二】点、直线与圆的位置关系 【例2】的圆心在坐标原点，半径为5，点的坐标为，则点与的位置关系是（） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点在轴上 【变式2-1】在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为4，那么x轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【变式2-2】如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为 ． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为 ． 【题型三】弧长、扇形面积、圆锥侧面积 【例3】如图，窗户门高是，窗户打开的的最大角度是，则这扇窗的高扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，正六边形的边长为3，分别以点A，D为圆心，以的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】若圆锥的高是，它的侧面展开后扇形的圆心角是，则这个圆锥的侧面积是 （结果保留）． 【题型四】垂径定理 【例4】一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，半径为4的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B．4 C． D．2 【变式4-2】如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点，则该桨轮船的轮子直径为 m． 【题型五】圆周角定理 【例5】已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，等腰内接于，，E是圆上一点，将沿折叠至，使点D落在上．且过点O，则= ，= ． 【题型六】正多边形与圆 【例6】如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的穹窿状装饰，称为藻井．北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井图，全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井．它展示出精美的装饰空间和造型艺术．从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为方井，中层为八角井，内层为圆井．图2是由图1抽象出的平面图形．若内层圆井的面积为，则最外层方井的边长是（   ） A． B．1 C． D．2 【变式6-2】如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【题型七】三角形内切圆半径与周长、面积问题 【例7】如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，，，则的内切圆的半径为 ． 【变式7-2】阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【题型八】切线的证明 【例8】如图，是四边形的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若直径，，求的长． 【变式8-1】如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆，与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)过点E作于点H，若，． ①求的长； ②求的半径． 【变式8-2】如图，内接于，是上一点，过点作，交的延长线于点．连接、，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，的半径为，且，则______． 【题型九】尺规作图（含无刻度尺） 【例9】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点坐标分别为 ，，． (1)画出 关于轴对称的 (2)画出 绕点顺时针旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【变式9-1】图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出圆心． (2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得． (3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 【变式9-2】主题学习． 【阅读理解】 任务：在矩形内画一个最大的半圆． 操作： （1）选取矩形的一个顶点，作的平分线，交于点，在线段上任取一点，过点作，垂足为；以点为圆心、长为半径作，则必与，两边同时相切，切点分别为，两点，如图． （2）沿着线段向下拖动圆心，逐渐变大．当足够大时，与矩形另外的边相交，如图，设与边交于点，与边交于点，连接，则为的一条弦．当点落在弦上时，则弦为的直径，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【实践操作】 （1）如图，已知矩形，，用直尺和圆规作出矩形内最大半圆． （不写作法，保留作图痕迹） 【探索发现】 （1）如图，已知正方形的边长为，求正方形内最大半圆的半径的长． （2）如图，在矩形中，，，则矩形内最大半圆的直径_______． （3）若矩形内最大半圆有无数个，则矩形的两边长和满足的关系为___________． 【题型一】垂径定理的应用中忽略分类讨论 【例1】若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【变式1-2】已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是 ． 【题型二】圆锥的侧面展开图母线与半径混淆 【例2】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的底面圆半径是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【题型三】动圆中圆与直线位置关系临界点分析不清 【例3】如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．当的一边与半圆O相切时，t的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切． 【变式3-2】在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出的取值范围． 【题型一】圆中的最值问题 方法技巧 一、利用“点与圆的位置关系”求最值 核心原理：平面内一点 ( P ) 与圆上任意一点 ( A ) 的距离 ( PA ) 满足：（其中 ( O ) 为圆心，( r ) 为半径），当且仅当 ( P )、( O )、( A ) 三点共线时取等号。 应用场景： 1. 求圆外一点到圆上点的距离最值： o 最大值：点与圆心的距离 ( + ) 半径（延长圆心与该点的连线，与圆的交点即为最远点）； o 最小值：点与圆心的距离 ( - ) 半径（连接圆心与该点的线段，与圆的交点即为最近点）。 2. 求圆内一点到圆上点的距离最值： o 最大值：点与圆心的距离 ( + ) 半径（延长圆心与该点的连线，与圆的交点即为最远点）； o 最小值：半径 ( - ) 点与圆心的距离（连接圆心与该点的线段，与圆的交点即为最近点）。 示例：已知圆 ( \odot O ) 半径为 3，点 ( P ) 到圆心 ( O ) 的距离为 5，则 ( P ) 到圆上点的最大距离为 ( 5 + 3 = 8 )，最小距离为 ( 5 - 3 = 2 )。 二、利用“垂线段最短”求最值 核心原理：直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短。 应用场景： 1. 求圆上一点到定直线的距离最值： o 过圆心作定直线的垂线，垂足为 ( H )，该垂线与圆交于两点 ( A )、( B )（其中 ( A ) 与 ( H ) 在圆心同侧，( B ) 在异侧）； o 最小值：圆心到直线的距离 ( d - r )（点 ( A ) 到直线的距离）； o 最大值：圆心到直线的距离 ( d + r )（点 ( B ) 到直线的距离）。 2. 求定直线上一点到圆的切线长最值： o 设切线长为 ( L )，圆半径为 ( r )，直线上点 ( P ) 到圆心距离为 ( OP )，则，当 ( OP ) 最小时（即 ( OP ) 为圆心到直线的垂线段），切线长 ( L ) 最小。 示例：圆 半径为 2，圆心 ( O(0,0) )，定直线 ，圆心到直线距离，则圆上点到直线 ( l ) 的最小距离为，最大距离为。 三、利用“直径是圆中最长弦”求最值 核心原理：圆中所有弦中，直径最长；过圆内一定点的弦中，与该点和圆心连线垂直的弦最短。 应用场景： 1. 求过圆内定点的弦长最值： o 最长弦：过定点和圆心的直径； o 最短弦：过定点且与圆心和定点连线垂直的弦（设圆心到定点距离为 ( d )，半径为 ( r )，则最短弦长为）。 2. 求圆上两点距离的最值： o 最大值：直径长 ( 2r )（两点为直径端点）； o 最小值：0（两点重合，实际为同一点）。 示例：圆半径为 5，圆内一点 ( P ) 到圆心距离为 3，则过 ( P ) 的最长弦长为 10（直径），最短弦长为。 四、利用“三角形三边关系”求动态线段和差最值 核心原理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（当三点共线时取等号）。 应用场景： 1. 求两条线段和的最小值（将军饮马模型）： o 圆上一动点 ( P )，定点 ( A )、( B ) 在圆外，求 ( PA + PB ) 最小值：  作点 ( A ) 关于圆心的对称点 ( A' )（或利用圆的对称性转化），当 ( P ) 为线段 ( A'B ) 与圆的交点时，( PA + PB = A'B ) 最小（需结合圆的位置判断共线时是否有交点）。 2. 求两条线段差的最大值： o 圆上一动点 ( P )，定点 ( A )、( B ) 在圆外，求 ( |PA - PB| ) 最大值：  当 ( P ) 为线段 ( AB ) 延长线与圆的交点时， 最大（根据三角形三边关系）。 示例：圆 ( \odot O ) 半径为 1，圆心 ( O(0,0) )，定点 ( A(3,0) )、( B(0,3) )，圆上动点 ( P )，则 ( PA + PB ) 最小值：作 ( A ) 关于原点对称点 ( A' )，连接 ( A'B ) 交圆于 ( P )，，故最小值为（需减去两个半径，因 ( A' ) 和 ( B ) 在圆外，线段 ( A'B ) 与圆相交，）。 五、利用“圆心角、弧、弦的关系”求角度或面积最值 核心原理：在同圆或等圆中，圆心角越大，所对弧越长、弦越长；扇形面积（为圆心角弧度数），随圆心角增大而增大。 应用场景： 1. 求圆内接三角形面积最值： o 同底的三角形中，高越大面积越大；圆内接三角形面积最大值为（正三角形时，此时圆心角为）。 2. 求扇形面积或弧长最值： o 在半径一定时，圆心角越大，扇形面积和弧长越大；在圆心角一定时，半径越大，面积和弧长越大。 示例：半径为 ( r ) 的圆内接三角形，当为正三角形时面积最大，边长，高，面积。 【例1】如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式1—1】如图，在中，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为2，则四边形面积的最小值是 ． 【变式1—2】（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 【题型二】圆中的新定义问题 方法技巧 一、核心方法：紧扣定义，转化模型 1. 定义拆解法 逐字解析新定义内涵，提取几何特征（如距离关系、位置关系、数量关系）。 ▶ 示例：若定义"圆的关联点"为"到圆心距离等于半径2倍的点"，则直接转化为数量关系：设圆心为O，点P为关联点⇨OP=2r。 ▶ 操作：用波浪线标注定义中的关键词（如"距离""夹角""动点轨迹"），建立文字与符号的对应关系。 2. 图形可视化 依据定义绘制标准图形，标注已知条件与未知量，用不同颜色区分新定义元素与原有几何图形。 ▶ 关键：动态问题需绘制运动过程中的临界状态图（如相切、端点位置），标注变化中的不变量（如定长线段、定角）。 二、关键技巧：几何转化与代数表达 1. 轨迹定位法 根据新定义判断动点轨迹类型（圆、直线、射线、线段等），再利用轨迹性质解题。 ▶ 示例：定义"圆的伴侣线"为"与圆有两个交点且到圆心距离为d的直线"，则轨迹为：当d<r时，直线有两条；当d=r时，直线有一条（切线）。 ▶ 依据：垂径定理、切线判定定理、圆的集合定义（到定点距离等于定长的点的集合）。 2. 特殊位置法 取特殊点（如圆心、直径端点、切点）或特殊值（如0°、90°角）代入新定义，验证猜想或缩小范围。 ▶ 适用场景：含参数的新定义问题，通过特殊位置确定参数取值范围的边界。 三、常见题型破解方案 1. 新定义概念辨析题 步骤： ① 对照定义条件逐一验证选项（如"是否满足距离关系""是否在指定区域内"）； ② 举反例排除错误选项（如找到一个不满足定义却符合选项的图形）。 陷阱：忽略定义中的隐含条件（如"点在圆内""直线不经过圆心"等限制词）。 2. 新定义轨迹探究题 通法： ① 设动点坐标(x,y)，根据定义写出x,y满足的关系式； ② 化简关系式，对照常见轨迹方程（圆：(x-a)²+(y-b)²=r²；直线：Ax+By+C=0）； ③ 结合圆的性质确定轨迹范围（如定义域、值域限制）。 3. 新定义动态几何题 要点： ① 分析动点运动过程中的不变量（如圆心距、半径差）； ② 找出临界位置（如两圆相切时圆心距d=R±r，点在圆上时d=r）； ③ 用含t的代数式表示相关线段长度，列方程或不等式求解（t为运动时间）。 【例2】定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”． (1)如图1，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，_____（填“是”或“不是”）直径； (2)如图2，、是的两条弦，为直径，，请判断与是否是一组“垂弦”，并说明理由； (3)如图3，点是上一个动点，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若的度数为，的度数为，试探究是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (4)如图4，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若，，求阴影部分的面积． 【变式2—1】在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（，分别是，的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______； (2)等腰直角三角形的斜边长为，点不为原点．若是的以点为中心的“关联线段”，在坐标系中画出点组成的图形． (3)在中，，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． 【变式2—2】定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． (1)如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； (2)如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； (3)如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 【题型三】阿氏圆问题 方法技巧 一、阿氏圆的定义与识别 1. 定义：平面内到两个定点（称为焦点）的距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆，这个圆称为阿氏圆（阿波罗尼斯圆）。 2. 核心特征：在几何问题中，若出现“PA=λ·PB”（λ>0且λ≠1，P为动点，A、B为定点）的条件，且动点P的运动轨迹是圆，则可判定为阿氏圆问题。此时需明确两个定点的位置、比值λ以及圆的圆心和半径（若未直接给出，可能需要通过几何关系推导）。 二、阿氏圆问题的解题步骤 1. 明确目标与已知条件：确定题目要求的是线段和（如PA+λ·PB）、线段差（如|PA-λ·PB|）的最值，还是点的轨迹方程等。梳理已知的定点、动点、定圆（或隐含的阿氏圆）以及比值λ。 2. 构造“阿氏比”关系：若问题中已直接给出“PA=λ·PB”形式，则可直接利用；若给出的是形如“PA+k·PB”（k≠1）的最值问题，且动点P在圆上运动，需判断是否能将k转化为阿氏圆中的λ，即找到一个定点C，使得对于圆上任意点P，都有PC=k·PB，从而将原式转化为PA+PC的最值问题（利用三角形三边关系或三点共线）。 3. 确定阿氏圆的圆心和半径（若需要）：设两定点为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，动点P(x,y)，比值为λ。根据定义列出方程：√[(x-x₁)²+(y-y₁)²]=λ√[(x-x₂)²+(y-y₂)²]，两边平方化简后可得圆的标准方程，进而得到圆心坐标和半径。在坐标系中，可通过此方法精确确定阿氏圆的位置和大小，为后续计算奠定基础。 4. 利用几何性质求最值： -求PA+λ·PB的最小值：若能构造出PC=λ·PB（C为定点），则转化为PA+PC的最小值。根据“两点之间线段最短”，当P、A、C三点共线且P在线段AC上时，PA+PC取得最小值，即AC的长度。 -求|PA-λ·PB|的最大值：同样构造PC=λ·PB，转化为|PA-PC|的最大值。根据“三角形两边之差小于第三边”，当P、A、C三点共线且P在CA的延长线或AC的延长线上时，|PA-PC|取得最大值，即AC的长度。 5. 验证与计算：确保构造的定点C符合阿氏圆的定义，即对于圆上任意点P，PC与PB的比值恒为λ。通过代入圆上特殊点（如圆心与定点连线与圆的交点）进行验证。确认无误后，根据共线条件求出动点P的坐标（若需要），并计算出最值。 三、常见辅助线与构造技巧 1. 利用角平分线性质构造相似：在阿氏圆中，圆心O到两定点A、B的距离之比等于λ，即OA/OB=λ。且圆心O在∠APB的角平分线上（或外角平分线上），可利用此性质构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，从而实现“λ·PB”向某条线段的转化。 2. 倍长或截长补短法：当λ为分数（如1/2、2/3等）时，可通过在定线段上截取或延长线段，构造出与λ相关的比例线段，结合圆的半径等条件，搭建起已知量与未知量之间的桥梁。 【例3】【问题呈现】 习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值． 【思路点拨】 老师给出了提示：在线段上取一点，使得． （1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形． 请找到图中的相似三角形并证明； 请你根据李华的思路，求的最小值． 【新知引入】 老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆． 【实践操作】 （2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹） 【思维拓展】 （3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值． 【变式3—1】【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【变式3—2】【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 学科网（北京）股份有限公1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02对称图形——圆（8知识&9题型&3易错&3方法清单） 【清单01】 圆 1. 圆的定义：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 2. 基本元素： o 圆心（O）：圆的中心，常用字母O表示； o 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离，同一圆的半径都相等； o 直径（d）：经过圆心的弦，直径是圆中最长的弦，且d=2r； o 弦：连接圆上任意两点的线段（如直径是特殊的弦）； o 弧：圆上任意两点间的部分，分为优弧（大于半圆）、劣弧（小于半圆）和半圆，弧长用符号“⌒”表示。 3. 圆的表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。 【清单02】 圆的对称性 1. 轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，有无数条对称轴。 2. 中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转对称性）。 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 o 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 4. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；反之，相等的弧或相等的弦所对的圆心角相等。 【清单03】 确定圆的条件 1. 不在同一直线上的三个点确定一个圆：经过不在同一直线上的三点A、B、C，有且只有一个圆，其圆心是线段AB、BC的垂直平分线的交点（外心），半径是外心到任意一点的距离。 2. 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。 3. 反证法：证明“过同一直线上的三点不能作圆”时，先假设可以作圆，推出矛盾后否定假设，得出结论。 【清单04】 圆周角 1. 圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 2. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3. 推论： o 同弧或等弧所对的圆周角相等； o 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）； o 90°的圆周角所对的弦是直径； o 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 4. 圆内接四边形：四个顶点都在圆上的四边形，其性质为“对角互补”（即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）。 【清单05】直线与圆的位置关系 1. 位置关系及判定（设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）： o 相离：d > r，直线与圆没有公共点； o 相切：d = r，直线与圆有唯一公共点（切点），这条直线叫做圆的切线； o 相交：d < r，直线与圆有两个公共点，这条直线叫做圆的割线。 2. 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径（即若直线l是⊙O的切线，切点为A，则OA⊥l）。 3. 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（即若OA⊥l，且A在⊙O上，则l是⊙O的切线）。 4. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角（如从点P引⊙O的切线PA、PB，则PA=PB，∠APO=∠BPO）。 5. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点（内心），半径是内心到任意一边的距离（内心一定在三角形内部）。 【清单06】 正多边形与圆 1. 正多边形定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，外接于圆的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。 2. 正多边形的中心、半径、边心距： o 中心：正多边形外接圆的圆心； o 半径（R）：外接圆的半径（正多边形的顶点到中心的距离）； o 边心距（r）：中心到正多边形一边的距离（内切圆半径）。 3. 正多边形的性质： o 正n边形的中心角为； o 正n边形的每个内角为，每个外角为； o 正n边形的边长，边心距。 【清单07】 弧长及扇形的面积 1. 弧长公式：若扇形的圆心角为n°，半径为r，则弧长（单位：长度单位）。 2. 扇形面积公式： o 若扇形的圆心角为n°，半径为r，则面积； o 若扇形的弧长为l，半径为r，则面积（单位：面积单位）。 3. 弓形面积：弓形面积=扇形面积±三角形面积（当弓形为劣弧时用“-”，优弧时用“+”）。 【清单08】圆锥的侧面积 1. 圆锥的基本元素： o 母线（l）：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段，所有母线长相等； o 底面半径（r）：底面圆的半径； o 高（h）：圆锥顶点到底面圆心的距离，满足。 2. 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长l，弧长等于圆锥底面圆的周长。 3. 圆锥侧面积公式：（由扇形面积公式推导，其中）。 4. 圆锥全面积公式：。 【题型一】圆的基本概念与性质 【例1】给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 【变式1-1】下列说法正确的是（  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．长度相等的两条弧是等弧 D．圆的切线垂直于半径 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握有关概念是解题的关键． 根据圆的基本概念逐项判断即可． 【详解】解：选项A：相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故A错误； 选项B：直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆，是弧的一种；但弧可以是劣弧、优弧或半圆，故弧不一定是半圆，B正确； 选项C：等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，长度相等但圆不同则不是等弧，故C错误； 选项D：圆的切线垂直于过切点的半径，但选项未指定“过切点的”，因此说法不严谨，故D错误； 故选：B． 【变式1-2】已知等腰内接于半径为的，若底边，则的面积为 ． 【答案】27或3/3或27 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆的基本知识，三角形面积计算，线段垂直平分线的判定，解题的关键是注意分类讨论．分两种情况：当为锐角三角形时，当为钝角三角形时，分别画出图形，求出等腰三角形底边上的高线，然后计算出面积即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，连接，并延长与交于点D，连接，，如图所示： ∵，， ∴点A、O在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴的面积为： ； 当为钝角三角形时，连接，交于点D，连接，，如图所示： ∵，， ∴点A、O在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴的面积为： ； 综上分析可知：的面积为或． 故答案为：27或3． 【题型二】点、直线与圆的位置关系 【例2】的圆心在坐标原点，半径为5，点的坐标为，则点与的位置关系是（） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．点在轴上 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过计算点A到圆心O的距离，与圆的半径比较，判断点A在圆上． 【详解】∵圆心O在坐标原点，点A的坐标为， ∴， ∵的半径为5， ∴半径， ∴点A在上． 故选：A． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为4，那么x轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．通过计算圆心到轴的距离，与半径比较，即可判断位置关系． 【详解】解：∵圆心到轴的距离为5，的半径，， ∴与轴相离， 故选：A． 【变式2-2】如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为 ． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为 ． 【答案】 /90度 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质． （1）连接、，说明为等腰直角三角形，可得的度数，即可得到弧的度数； （2）说明，作的外接圆，可知点在上，设为中点，连接并延长，与圆交于点，连接、，可得此时点到的距离最大，说明，再求出的长度即为高，结合求出面积的最大值． 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并反向延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 【题型三】弧长、扇形面积、圆锥侧面积 【例3】如图，窗户门高是，窗户打开的的最大角度是，则这扇窗的高扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是识别出扫过的区域是扇形，再利用扇形面积公式计算． 【详解】解：扫过的区域是圆心角为、半径为的扇形，扇形面积公式为（其中为圆心角度数，为半径）．代入得：． 故选：C． 【变式3-1】如图，正六边形的边长为3，分别以点A，D为圆心，以的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆的有关计算，解题关键是熟练运用扇形面积公式和等边三角形的性质． 根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵正六边形的边长为3，连接，把六边形分成6个全等的等边三角形，等边三角形的边长为3， 过点O作，如图所示： ∴， ∴， ∴每个等边三角形的面积为：， ∴正六边形的面积是：，， ∴图中阴影部分的面积是：， 故选：B． 【变式3-2】若圆锥的高是，它的侧面展开后扇形的圆心角是，则这个圆锥的侧面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是利用圆锥底面周长等于扇形弧长，结合勾股定理求出母线长． 先由弧长公式得底面半径与母线的关系，再结合勾股定理求母线长，最后计算侧面积． 【详解】解：设圆锥母线长为，底面半径为， 由底面周长等于扇形弧长得：，化简得， 结合勾股定理，代入得：， 解得，则． 圆锥侧面积为． 故答案为：． 【题型四】垂径定理 【例4】一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及垂径定理．解题的关键是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 根据垂径定理的推论，可得此圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心是O，连接．根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，是圆心，设半径为，即， 依题意得：，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得： 答：圆弧门所在圆的半径为． 故选D． 【变式4-1】如图，半径为4的的弦，且于点，连接、，则的长为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．连接，根据，可得，所以，由，可得，所以，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【变式4-2】如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点，则该桨轮船的轮子直径为 m． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，设半径为，根据圆的性质和垂径定理得到和，然后根据勾股定理列出方程，可求出答案． 【详解】解：如图，连接，设半径为，则， ， ， ， 在中，有， 即， 解得， 则该桨轮船的轮子直径为， 故答案为：10． 【题型五】圆周角定理 【例5】已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质， 先由圆周角定理求出，再根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【变式5-1】如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，相加即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， 又， ． 故选：B． 【变式5-2】如图，等腰内接于，，E是圆上一点，将沿折叠至，使点D落在上．且过点O，则= ，= ． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，设交于点，设，由折叠性质得，，是的直径，进而得，，由此得，，根据圆周角定理得，则，再根据得，则，解方程即可；设，，则，，，证明是等腰直角三角形得，由勾股定理得，则，整理得，继而得，据此即可得出的值． 【详解】解：延长交于点，连接，设交于点，如图所示： 设， 将沿折叠至，使点落在上，且过点， ，，是的直径， ，， ， 在中，， 根据圆周角定理得：， ， 是等腰三角形，且， ， ， 解得：， ； 设，， ，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠及其性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 【题型六】正多边形与圆 【例6】如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形性质，圆内接四边形性质，根据多边形是正五边形，求出，进而得到，再结合圆内接四边形性质求解，即可解题． 【详解】解：多边形是正五边形， ， ， ， ； 故选：C． 【变式6-1】我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的穹窿状装饰，称为藻井．北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井图，全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井．它展示出精美的装饰空间和造型艺术．从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为方井，中层为八角井，内层为圆井．图2是由图1抽象出的平面图形．若内层圆井的面积为，则最外层方井的边长是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意得，根据圆的面积公式可得圆的半径，从而得到圆的直径，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理得的长，从而可得答案． 本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的面积的计算，知道正多边形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，四边形是正方形， ，， ， 设圆的半径为r，内层圆井的面积为， ， ， 由图可知内层圆是正方形的内接圆，根据正多边形与圆的关系可知：内层圆的直径即为正方形的边长， ∴， 由题意可知：点E为的中点，是等腰直角三角形， ， ； 故选：B． 【变式6-2】如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图②中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． 【题型七】三角形内切圆半径与周长、面积问题 【例7】如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得，再由可得平分，则，同理可得，则可证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是， 故选：A． 【变式7-1】如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，，，则的内切圆的半径为 ． 【答案】1 【分析】先利用正方形的性质、证明，从而可得，再利用勾股定理求得，然后根据直角三角形周长与内切圆半径的关系求解．直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴(负值舍去)， ∴的内切圆的半径为， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系，全等的性质和（）综合（或者）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式7-2】阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 如果设，那么有． 故答案为：，； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ； （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 【题型八】切线的证明 【例8】如图，是四边形的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若直径，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键． （1）连接，根据切线的判定定理，只需要证即可； （2）证，根据相似三角形对应边成比例，，令，通过列方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ，， ， 是的直径， ， ，即， ， 是的切线； （2）是的直径， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， 设，即：, 解得，， ， 的长为． 【变式8-1】如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆，与交于点D． (1)求证：是的切线； (2)过点E作于点H，若，． ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质． （1）连接，先证明是圆的直径，是圆的半径，再证明，则有，结论得证； （2）①连接，根据角平分线的性质证明，再证，则可求； ②根据全等三角形的性质得到，设，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴， ∵是的外接圆， ∴是的直径，是的半径， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：①连接，如图， ∵平分，且，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， 则， ∴，即的半径为． 【变式8-2】如图，内接于，是上一点，过点作，交的延长线于点．连接、，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，的半径为，且，则______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，得出，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，再根据等角对等边，即可得出结论； （2）连接并延长交于点，连接、，根据线段垂直平分线的判定定理，得出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论； （3）令与相交于点，延长交于点，连接，如图，证明，利用勾股定理表示出，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：连接并延长交于点，连接、，如图， ，， 垂直平分， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （3）解：令与相交于点，延长交于点，连接，如图， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 的半径为， ， ， 在中，， ∴， 解得，， 解得，， ∴或， ，且， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等角对等边、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、切线的判定定理、直角三角形两锐角互余、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 【题型九】尺规作图（含无刻度尺） 【例9】如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点坐标分别为 ，，． (1)画出 关于轴对称的 (2)画出 绕点顺时针旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查轴对称作图，旋转变换，弧长公式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，确定绕点顺时针旋转后的对应点，然后连接起来即可； （3）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：即为所求，确定关于轴对称的对应点，然后连接起来即可； （2）解：如图所示；即为所求； （3）解：由勾股定理，得 ∴ 点 A 旋转到点的过程中所经过的路径长为 【变式9-1】图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均是格点，的外接圆的圆心记为点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，标出圆心． (2)在图②中，的外接圆上找出一点，使得． (3)在图③中，的外接圆上找出一点，使得． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1），作中点即可； （2）过作（取格点）即可； （3）作的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； ； （2）点即为所求； ； （3）如图，点即为所求． 【变式9-2】主题学习． 【阅读理解】 任务：在矩形内画一个最大的半圆． 操作： （1）选取矩形的一个顶点，作的平分线，交于点，在线段上任取一点，过点作，垂足为；以点为圆心、长为半径作，则必与，两边同时相切，切点分别为，两点，如图． （2）沿着线段向下拖动圆心，逐渐变大．当足够大时，与矩形另外的边相交，如图，设与边交于点，与边交于点，连接，则为的一条弦．当点落在弦上时，则弦为的直径，此时半圆即为矩形内最大的半圆． 【实践操作】 （1）如图，已知矩形，，用直尺和圆规作出矩形内最大半圆． （不写作法，保留作图痕迹） 【探索发现】 （1）如图，已知正方形的边长为，求正方形内最大半圆的半径的长． （2）如图，在矩形中，，，则矩形内最大半圆的直径_______． （3）若矩形内最大半圆有无数个，则矩形的两边长和满足的关系为___________． 【答案】【实践操作】（）见解析；【探索发现】（）；（）；（）或． 【分析】本题考查了矩形的性质，直线和圆的位置关系，切线的判定，尺规作图，圆周角定理，正确尺规作图是解关键． [实践操作]（）作角平分线，交于O，以O为圆心作，与相切于点E，即可得到最大半圆； [探索发现]（）如图，正方形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作 ，先证四边形为正方形，在中，由列方程求解即可； （）矩形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作于点 ，作于点 ，需证，令的半径为，则，在中，根据勾股定理，列方程求了即可求出直径． （）矩形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作于点 ，作于点 ， 【详解】解：[实践操作]（）如图，半圆为所求作的半圆； [探索发现]（）如图，正方形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，，作 ， 设正方形内最大半圆的半径为， ∵四边形是正方形， ∴， 由作图可知：， ∴四边形为正方形， ∴，，，， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得，； （）如图，矩形内最大半圆与边相切，切点分别为点，连接，， 作于点，作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， 四边形是矩形， ， 令的半径为，则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得（不合题意，舍去）， ； （）矩形内最大半圆的直径需满足其半径不超过矩形的最短边， 当矩形一边长为另一边长的2倍时(设长为，宽为，则)，以长为直径的半圆半径为， ∴当时，此时半圆可沿长边任意平移(因直径长度等于长边，圆心在中点时半圆刚好接触对边)，存在无数个这样的最大半圆， 同理，若时，以宽为直径的半圆也存在无数个最大半圆 故答案为：或． 【题型一】垂径定理的应用中忽略分类讨论 【例1】若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 【变式1-1】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【变式1-2】已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．   ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 【题型二】圆锥的侧面展开图母线与半径混淆 【例2】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的底面圆半径是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键；由题意易得该扇形的弧长为，然后根据圆的周长公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：该扇形的弧长为， 根据圆锥侧面展开图的特征可知：扇形弧长即为圆锥底面圆的周长，所以该圆锥底面圆的半径为； 故选A． 【变式2-1】如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径． 【详解】解：如图，连接， 则，， ， 设圆锥底面半径为， ， ． 故选：C． 【变式2-2】如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】3 【分析】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出即可解答． 【详解】解：如图，连接，作于点， ∴即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． ∴蚂蚁爬行的最短距离为3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键． 【题型三】动圆中圆与直线位置关系临界点分析不清 【例3】如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动．在运动过程中，点P，Q始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．当的一边与半圆O相切时，t的值为（   ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线以及含度角的直角三角形，分类讨论与半圆相切，半圆O与相切于点D，半圆O与相切三种情况即可求解； 【详解】解：①如图1，当点Q运动到与点B重合时，，与半圆相切，此时半圆O运动的距离为，所求运动时间． ②如图2，当半圆O与相切于点D时，则， ∵，，则，此时点O与点B重合， ∴半圆O运动的距离为，所求运动时间． ③如图3，当半圆O与相切时，此时点P与点B重合，半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 综上所述，t的值为或或． 故选：D． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切． 【答案】1或3或5 【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理．设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时． 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，， 时，， 时，， ，，， 根据勾股定理：，，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是1， 轴，， 是等腰直角三角形， ，， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③当点只与轴相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切， 故答案为：1或3或5． 【变式3-2】在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动、两点在分别到达、两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形有三个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)秒或秒 (2)直角三角形；理由见解析 (3)①存在；或或；② 【分析】（1）当运动时间为秒时，，，，，由三角形面积得，即可求解； （2）由勾股定理得，，，由勾股定理逆定理即可求解； （3）①（ⅰ）可得与、不相切；（ⅱ）当时，点与点重合时，点与点重合，由切线的判定即可求解；（iii）当正好与四边形的边相切时，由勾股定理得，，即可求解；（iv）当点与重合，点与重合，，即可求解的值； ②（i）当时，与四边形有两个公共点；（ii）当经过点D时，与四边形有两个公共点；由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，，， ，， 的面积等于， ， ， 解得：，， 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于； （2）解：的形状是直角三角形， 理由如下： 当秒时，，， ，， 在中， ， 同理，在和中， 由勾股定理得，， ， ， 是直角三角形； （3）解：①存在，理由如下： （ⅰ）由题意可知与、不相切； （ⅱ）如图所示，当时，点与点重合时，点与点重合， 四边形是矩形， ， ， 为的切线； （iii）如图所示，当正好与四边形的边相切时， ， 由题意可知：，，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：，（舍去）； （iv）如图所示，当点与重合，点与重合， ，此时； 综上，当或或时，与四边形的一边相切． ②（i）当时，与四边形有两个公共点； （ii）如图3，当经过点D时，与四边形有两个公共点； 由题意知：，，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 即：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，与四边形有三个公共点． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的性质，切线的判定及性质，掌握判定方法及性质，能熟练利用勾股定理求解，能根据题意进行分类讨论是解题的关键． 【题型一】圆中的最值问题 方法技巧 一、利用“点与圆的位置关系”求最值 核心原理：平面内一点 ( P ) 与圆上任意一点 ( A ) 的距离 ( PA ) 满足：（其中 ( O ) 为圆心，( r ) 为半径），当且仅当 ( P )、( O )、( A ) 三点共线时取等号。 应用场景： 1. 求圆外一点到圆上点的距离最值： o 最大值：点与圆心的距离 ( + ) 半径（延长圆心与该点的连线，与圆的交点即为最远点）； o 最小值：点与圆心的距离 ( - ) 半径（连接圆心与该点的线段，与圆的交点即为最近点）。 2. 求圆内一点到圆上点的距离最值： o 最大值：点与圆心的距离 ( + ) 半径（延长圆心与该点的连线，与圆的交点即为最远点）； o 最小值：半径 ( - ) 点与圆心的距离（连接圆心与该点的线段，与圆的交点即为最近点）。 示例：已知圆 ( \odot O ) 半径为 3，点 ( P ) 到圆心 ( O ) 的距离为 5，则 ( P ) 到圆上点的最大距离为 ( 5 + 3 = 8 )，最小距离为 ( 5 - 3 = 2 )。 二、利用“垂线段最短”求最值 核心原理：直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短。 应用场景： 1. 求圆上一点到定直线的距离最值： o 过圆心作定直线的垂线，垂足为 ( H )，该垂线与圆交于两点 ( A )、( B )（其中 ( A ) 与 ( H ) 在圆心同侧，( B ) 在异侧）； o 最小值：圆心到直线的距离 ( d - r )（点 ( A ) 到直线的距离）； o 最大值：圆心到直线的距离 ( d + r )（点 ( B ) 到直线的距离）。 2. 求定直线上一点到圆的切线长最值： o 设切线长为 ( L )，圆半径为 ( r )，直线上点 ( P ) 到圆心距离为 ( OP )，则，当 ( OP ) 最小时（即 ( OP ) 为圆心到直线的垂线段），切线长 ( L ) 最小。 示例：圆 半径为 2，圆心 ( O(0,0) )，定直线 ，圆心到直线距离，则圆上点到直线 ( l ) 的最小距离为，最大距离为。 三、利用“直径是圆中最长弦”求最值 核心原理：圆中所有弦中，直径最长；过圆内一定点的弦中，与该点和圆心连线垂直的弦最短。 应用场景： 1. 求过圆内定点的弦长最值： o 最长弦：过定点和圆心的直径； o 最短弦：过定点且与圆心和定点连线垂直的弦（设圆心到定点距离为 ( d )，半径为 ( r )，则最短弦长为）。 2. 求圆上两点距离的最值： o 最大值：直径长 ( 2r )（两点为直径端点）； o 最小值：0（两点重合，实际为同一点）。 示例：圆半径为 5，圆内一点 ( P ) 到圆心距离为 3，则过 ( P ) 的最长弦长为 10（直径），最短弦长为。 四、利用“三角形三边关系”求动态线段和差最值 核心原理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（当三点共线时取等号）。 应用场景： 1. 求两条线段和的最小值（将军饮马模型）： o 圆上一动点 ( P )，定点 ( A )、( B ) 在圆外，求 ( PA + PB ) 最小值： 作点 ( A ) 关于圆心的对称点 ( A' )（或利用圆的对称性转化），当 ( P ) 为线段 ( A'B ) 与圆的交点时，( PA + PB = A'B ) 最小（需结合圆的位置判断共线时是否有交点）。 2. 求两条线段差的最大值： o 圆上一动点 ( P )，定点 ( A )、( B ) 在圆外，求 ( |PA - PB| ) 最大值： 当 ( P ) 为线段 ( AB ) 延长线与圆的交点时， 最大（根据三角形三边关系）。 示例：圆 ( \odot O ) 半径为 1，圆心 ( O(0,0) )，定点 ( A(3,0) )、( B(0,3) )，圆上动点 ( P )，则 ( PA + PB ) 最小值：作 ( A ) 关于原点对称点 ( A' )，连接 ( A'B ) 交圆于 ( P )，，故最小值为（需减去两个半径，因 ( A' ) 和 ( B ) 在圆外，线段 ( A'B ) 与圆相交，）。 五、利用“圆心角、弧、弦的关系”求角度或面积最值 核心原理：在同圆或等圆中，圆心角越大，所对弧越长、弦越长；扇形面积（为圆心角弧度数），随圆心角增大而增大。 应用场景： 1. 求圆内接三角形面积最值： o 同底的三角形中，高越大面积越大；圆内接三角形面积最大值为（正三角形时，此时圆心角为）。 2. 求扇形面积或弧长最值： o 在半径一定时，圆心角越大，扇形面积和弧长越大；在圆心角一定时，半径越大，面积和弧长越大。 示例：半径为 ( r ) 的圆内接三角形，当为正三角形时面积最大，边长，高，面积。 【例1】如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 【变式1—1】如图，在中，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为2，则四边形面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点，掌握切线的性质得到、当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可证，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，四边形面积有最小值， 在中，， ∴， ∴最小时，的值最小， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【变式1—2】（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到； （2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数； （3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值； （4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，求的取值范围？ 【答案】初步应用：；问题解决：；问题拓展： 【分析】初步应用：由，构造以为圆心的辅助圆，结合圆周角定理和角的倍数关系求解即可． 问题解决：利用对称性质确定点的轨迹是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值公式（）求解即可． 问题拓展：由翻折性质确定点的轨迹是圆，结合平行四边形性质、勾股定理关系求解取值范围即可． 【详解】解： 初步应用：以为圆心，为半径作， ， 点、、在上， ，， ， ， ， ， ； 问题解决：连接、、， 点关于直线的对称点是， ， ，， ，即， 点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，，， ， ∵， 的最小值为； 问题拓展： 四边形是平行四边形， ，， 是中点， ， ∵将沿所在直线翻折得到， 以为圆心，为半径作辅助圆，如下图： ∵， ∴点，D在上， ∴当点、M、C在一条直线上时，线段取得最小值， 过点M作，交的延长线于点E， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴线段的最小值． 过点A作，交的延长线于点F，如下图： 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， m的取值范围为． 故答案为∶ ． 【点睛】本题主要考查了圆的性质（圆周角定理、圆的定义）、轴对称的性质、正方形和平行四边形的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握辅助圆的构造方法是解题的关键． 【题型二】圆中的新定义问题 方法技巧 一、核心方法：紧扣定义，转化模型 1. 定义拆解法 逐字解析新定义内涵，提取几何特征（如距离关系、位置关系、数量关系）。 ▶ 示例：若定义"圆的关联点"为"到圆心距离等于半径2倍的点"，则直接转化为数量关系：设圆心为O，点P为关联点⇨OP=2r。 ▶ 操作：用波浪线标注定义中的关键词（如"距离""夹角""动点轨迹"），建立文字与符号的对应关系。 2. 图形可视化 依据定义绘制标准图形，标注已知条件与未知量，用不同颜色区分新定义元素与原有几何图形。 ▶ 关键：动态问题需绘制运动过程中的临界状态图（如相切、端点位置），标注变化中的不变量（如定长线段、定角）。 二、关键技巧：几何转化与代数表达 1. 轨迹定位法 根据新定义判断动点轨迹类型（圆、直线、射线、线段等），再利用轨迹性质解题。 ▶ 示例：定义"圆的伴侣线"为"与圆有两个交点且到圆心距离为d的直线"，则轨迹为：当d<r时，直线有两条；当d=r时，直线有一条（切线）。 ▶ 依据：垂径定理、切线判定定理、圆的集合定义（到定点距离等于定长的点的集合）。 2. 特殊位置法 取特殊点（如圆心、直径端点、切点）或特殊值（如0°、90°角）代入新定义，验证猜想或缩小范围。 ▶ 适用场景：含参数的新定义问题，通过特殊位置确定参数取值范围的边界。 三、常见题型破解方案 1. 新定义概念辨析题 步骤： ① 对照定义条件逐一验证选项（如"是否满足距离关系""是否在指定区域内"）； ② 举反例排除错误选项（如找到一个不满足定义却符合选项的图形）。 陷阱：忽略定义中的隐含条件（如"点在圆内""直线不经过圆心"等限制词）。 2. 新定义轨迹探究题 通法： ① 设动点坐标(x,y)，根据定义写出x,y满足的关系式； ② 化简关系式，对照常见轨迹方程（圆：(x-a)²+(y-b)²=r²；直线：Ax+By+C=0）； ③ 结合圆的性质确定轨迹范围（如定义域、值域限制）。 3. 新定义动态几何题 要点： ① 分析动点运动过程中的不变量（如圆心距、半径差）； ② 找出临界位置（如两圆相切时圆心距d=R±r，点在圆上时d=r）； ③ 用含t的代数式表示相关线段长度，列方程或不等式求解（t为运动时间）。 【例2】定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”． (1)如图1，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，_____（填“是”或“不是”）直径； (2)如图2，、是的两条弦，为直径，，请判断与是否是一组“垂弦”，并说明理由； (3)如图3，点是上一个动点，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若的度数为，的度数为，试探究是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (4)如图4，、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是 (2)与是一组“垂弦”，理由见详解 (3)m+n是定值， (4) 【分析】本题考查圆的垂弦定义、弧与圆心角的关系及扇形面积计算，运用转化与方程思想，关键是利用垂弦性质推导弧的度数关系，结合勾股定理和扇形面积公式求解，易错点为垂弦性质理解不清及扇形面积计算时的角度或半径错误； （1）根据垂弦定义判断直径；（2）利用弧相等推导角的关系证明垂弦；（3）结合垂弦性质和弧的度数和推导定值；（4）通过垂弦性质求半径和圆心角，进而计算阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵、是的一组“垂弦”，点为“垂弦点”， ∴，即， ∵直径所对的圆周角是直角， ∴是的直径； 故答案为：是． （2）与是一组“垂弦” 连接、 为直径， ， ， ， ， ， 与是一组“垂弦” ． （3） 连接， 若的度数为，的度数为 ，， 、是的一组“垂弦”， ， ， 即， （4）连接并延长交于点，连，作，为垂足， 的度数为，的度数为，的度数为， 为直径 、是的一组“垂弦”， 由（3）知 即 即 ， 为等边三角形 ，， 为中点， ， 【变式2—1】在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（，分别是，的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______； (2)等腰直角三角形的斜边长为，点不为原点．若是的以点为中心的“关联线段”，在坐标系中画出点组成的图形． (3)在中，，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最小值为1，的长为，的最大值为2，的长为 【分析】（1）以点为圆心，分别以为半径画圆，进行判断即可； （2）当点A在外时，可得出，从而得出点A在以O为圆心，为半径的圆上，当点A在的内部时，A在O处符合条件； （3）利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，可知四边形的各边长，利用四边形的不稳定性，画出最小和最大时的图形，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出答案． 【详解】（1）解：如图， 观察图象可知，只有线段能绕点旋转，得到圆的“关联线段”； 故答案为：； （2）如图2， 当点A在外时， 绕点A旋转后的对应和关于点对称，， 点A在以O为圆心，为半径的圆上， 当点A在的内部时，A在O处符合条件， 综上所述：点A组成的图形是以O为圆心，为半径的圆及其圆心； （3）的最小值为1时，此时的长为，的最大值为2，此时的长为 理由：由旋转的性质和“关联线段”的定义， 可知，如图1， 利用四边形的不稳定性可知， 当A，O，在同一直线上时，最小，最小值为1，如图2， 此时， ， ， 当A，，O在同一直线上时，最大，如图3， 此时，过点A作于E，过点作于F． ， ， ， ， ， ， ， ， 综上的最小值为1，此时的长为，的最大值为2，此时的长为． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了点和圆的位置关系，确定圆的条件，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形性质等知识，解决问题的关键是理解题意，数形结合． 【变式2—2】定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． (1)如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； (2)如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； (3)如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质和圆周角定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出，结合得出，然后根据“梦之三角形”的定义即可得证； （2）解：如图，连接，根据内心的性质得出，，根据轴对称得出，，则，，根据圆内接四边形的性质得出，则可求出 ，则，连接，过点作于点，由垂径定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，然后结合已知求解即可； （3）先判断，然后分和两种情况讨论，根据圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，并结合（2）中求解即可． 【详解】（1）解：是． 理由：如图，连接，， 为的内接等边三角形， ，点为的内心即外心， ， ，且， ， ， ， ， ， 等边的内心关于的对称点在上， 是的“梦之三角形”． （2）解：如图，连接， 设， 是的内心， 平分，平分， ， 点和点关于对称， ， ， ， 即， ， ， ； 连接，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即的半径为． （3）解：由（2）知若为的“梦之三角形”，则必有一个角为， 若，如图，连接，， 可知， ， 因此，． 分两种情况进行讨论： ①当时，当在优弧上时，如图，连接，， ， ， 过作于点， ， ， ， 在中，， ； 当在劣弧上时，过作，此时，， ； ②当时， 此时为对边， 如图，当在优弧上时，连接，， 可知， ， ； 当在劣弧上时，同理可求， 综上，可能的值为或或． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 【题型三】阿氏圆问题 方法技巧 一、阿氏圆的定义与识别 1. 定义：平面内到两个定点（称为焦点）的距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是一个圆，这个圆称为阿氏圆（阿波罗尼斯圆）。 2. 核心特征：在几何问题中，若出现“PA=λ·PB”（λ>0且λ≠1，P为动点，A、B为定点）的条件，且动点P的运动轨迹是圆，则可判定为阿氏圆问题。此时需明确两个定点的位置、比值λ以及圆的圆心和半径（若未直接给出，可能需要通过几何关系推导）。 二、阿氏圆问题的解题步骤 1. 明确目标与已知条件：确定题目要求的是线段和（如PA+λ·PB）、线段差（如|PA-λ·PB|）的最值，还是点的轨迹方程等。梳理已知的定点、动点、定圆（或隐含的阿氏圆）以及比值λ。 2. 构造“阿氏比”关系：若问题中已直接给出“PA=λ·PB”形式，则可直接利用；若给出的是形如“PA+k·PB”（k≠1）的最值问题，且动点P在圆上运动，需判断是否能将k转化为阿氏圆中的λ，即找到一个定点C，使得对于圆上任意点P，都有PC=k·PB，从而将原式转化为PA+PC的最值问题（利用三角形三边关系或三点共线）。 3. 确定阿氏圆的圆心和半径（若需要）：设两定点为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，动点P(x,y)，比值为λ。根据定义列出方程：√[(x-x₁)²+(y-y₁)²]=λ√[(x-x₂)²+(y-y₂)²]，两边平方化简后可得圆的标准方程，进而得到圆心坐标和半径。在坐标系中，可通过此方法精确确定阿氏圆的位置和大小，为后续计算奠定基础。 4. 利用几何性质求最值： -求PA+λ·PB的最小值：若能构造出PC=λ·PB（C为定点），则转化为PA+PC的最小值。根据“两点之间线段最短”，当P、A、C三点共线且P在线段AC上时，PA+PC取得最小值，即AC的长度。 -求|PA-λ·PB|的最大值：同样构造PC=λ·PB，转化为|PA-PC|的最大值。根据“三角形两边之差小于第三边”，当P、A、C三点共线且P在CA的延长线或AC的延长线上时，|PA-PC|取得最大值，即AC的长度。 5. 验证与计算：确保构造的定点C符合阿氏圆的定义，即对于圆上任意点P，PC与PB的比值恒为λ。通过代入圆上特殊点（如圆心与定点连线与圆的交点）进行验证。确认无误后，根据共线条件求出动点P的坐标（若需要），并计算出最值。 三、常见辅助线与构造技巧 1. 利用角平分线性质构造相似：在阿氏圆中，圆心O到两定点A、B的距离之比等于λ，即OA/OB=λ。且圆心O在∠APB的角平分线上（或外角平分线上），可利用此性质构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，从而实现“λ·PB”向某条线段的转化。 2. 倍长或截长补短法：当λ为分数（如1/2、2/3等）时，可通过在定线段上截取或延长线段，构造出与λ相关的比例线段，结合圆的半径等条件，搭建起已知量与未知量之间的桥梁。 【例3】【问题呈现】 习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值． 【思路点拨】 老师给出了提示：在线段上取一点，使得． （1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形． 请找到图中的相似三角形并证明； 请你根据李华的思路，求的最小值． 【新知引入】 老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆． 【实践操作】 （2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹） 【思维拓展】 （3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1），证明见解析 ； （2）见解析 （3） 【分析】（1）根据已知条件易知，且，从而证得； 如图，连接，根据相似三角形的对应边成比例，可得，从而得到，将求最小值问题通过线段间的等量关系转化为求最小值，，在中，利用勾股定理求解即可得解； （2）先作线段的三等分点，在点右端截取，作的线段垂直平分线与相交于点，以点为圆心，长为半径作，则即为阿氏圆，圆上任意一点均满足； （3）过点作，垂足为，作∠的外角平分线交射线于点，取中点，连接，由角平分线可得，，则，故为定点且，然后求出，则点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，过点作于点，由，可得当点重合时，面积有最大值，即可求解最大值． 【详解】解：（1）， 证明：，， ， 又， ； 如图，连接， ， ， ， ， ，，， ， ， ，即， 故的最小值为； （2）作阿氏圆如图所示： （3）解：过点作，垂足为，作∠的外角平分线交射线于点，取中点，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是外角平分线， 同理可证明， ∴， ∴ ∵中点， ∴为定点且， ∵平分，平分， ∴， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 过点作于点， ∵， ∴当点重合时，面积有最大值，面积的最大值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，线段和最值问题，三角形的面积最值问题，二次函数的最值问题，尺规作图作阿氏圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式3—1】【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在x轴上取点，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出当点P在上时，取得最小值，再由勾股定理求解即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，设，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴， 故最小值为； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴， 设， ∵半径为3， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 【变式3—2】【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 学科网（北京）股份有限公2 / 79 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $