25.2.3 列举所有机会均等的结果-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

94 第3课时 列举所有机会均等的结果 ▶ “答案与解析”见P45 1. 假定鸟卵孵化后,雏鸟为雌鸟或雄鸟的概率 相同.如果三枚鸟卵全部成功孵化,那么三只 雏鸟中有两只雌鸟的概率是 ( ) A. 1 6 B. 3 8 C. 5 8 D. 2 3 2. (2024·齐齐哈尔)六月份,在“阳光大课间” 活动中,某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛 球”四种球类项目,且每名学生在一个大课间 只能选择参加一种球类项目,则甲、乙两名学 生在一个大课间参加同种球类项目的概率是 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 3. (2024·重庆A卷)重庆是一座魔幻都市,有 着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆 旅游,两人分别从A、B、C 三个景点中随机 选择一个景点游览,则甲、乙两人同时选择景 点B 的概率为 . 4. 有四张看上去无差别的卡片,上面分别写有 数-1、2、5、8. (1) 随机抽取一张卡片,则抽取到的卡片上 的数是偶数的概率为 . (2) 随机抽取一张卡片后,放回并混合均匀, 再随机抽取一张,请用画树状图或列表的方 法,求出抽取到的卡片上的两数之差的绝对 值大于3的概率. 5. 三名九年级学生坐在仅有的三个座 位上,起身后重新就座,恰好有两名 学生没有坐回原座位的概率为 ( ) A. 1 9 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 2 6. 如图,用两个可自由转动的转盘做“配紫色” 游戏:分别转动两个转盘,若其中一个转出红 色,另一个转出蓝色,即可配成紫色(若指针 指在分界线上,则重转),则可配成紫色的概 率为 ( ) (第6题) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 7. 从-1、2、3、-6这四个数中任取两个数,分 别记为m、n,则点(m,n)在函数y= 6 x 的图 象上的概率是 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 8 8. 小明和小亮用如图所示的两个转盘(每个转 盘被分成五个面积相等的扇形)玩游戏.转盘 A上分别标注1、2、3、4、5,转盘B上分别标 注2、3、4、5、6,转动两个转盘各一次.若两个 转盘上的指针所指的数字之和为6、7、8、9, 则小明胜.小明胜的概率是 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 95 9. 甲、乙、丙三名同学打乒乓球,想通过“手心手 背”游戏来决定其中哪两个人先打,规则如 下:三个人同时各用一只手随机出示手心或 手背,若只有两个人的手势相同(都是手心或 都是手背),则让这两个人先打;若三个人的 手势相同,则重新决定.通过一次“手心手背” 游戏 就 能 决 定 甲 先 打 乒 乓 球 的 概 率 是 . 10. 新趋势·与语文融合 汉字是世界上 最古老的文字之一,字形结构体现 了人类追求均衡对称、和谐稳定的 天性.如图,这三个汉字可以看成轴对称 图形. (第10题) (1) 请在方框中再写出两个可看成轴对称 图形的汉字. (2) 小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉 字设计了一个游戏,规则如下:将这三个汉 字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面 朝上洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一 张,若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉 字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否 则小慧获胜,你认为这个游戏对谁有利? 请 用列表或画树状图的方法进行分析,并对构 成的汉字进行说明. 11. 某学校安排课程,已知各班每天下午只安排 三节课. (1) 九年级(1)班星期二下午安排了数学、 英语、生物课各一节,通过画树状图的方法 求把数学课安排在最后一节的概率. (2) 星期三下午,九年级(1)班安排了数学、 物理、政治课各一节,九年级(2)班安排了数 学、语文、地理课各一节.已知这两个班的数 学课由同一位老师担任,其他课由另外四位 老师担任.求这两个班的数学课不相冲突的 概率. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第25章　随机事件的概率 32 32+14+4= 16 25. ∵ 16 25> 3 5> 2 5 , ∴ 此时选择丙布袋成功的机会较大. 求简单随机事件的概率的方法 计算简单随机事件的概率时,只 要事件的各种结果出现的可能性相 同,且所有可能出现的结果数有限, 分析判断出所有可能出现的结果数 和待研究事件可能出现的结果数,都 可 用 待研究事件可能出现的结果数 所有可能出现的结果数 来求事件的概率. 第2课时 频率与概率 1. B 2. 0.9 3. 同意小红的看法. 理由:∵ P(转盘A指针指向黑色区 域)=412= 1 3 ,P(转盘B指针指向黑 色区域)=13 ,1 3= 1 3 , ∴ 两个转盘指针指向黑色区域的可 能性一样大. 4. 1 3 解析:由题表可知,共有9种 等可能的结果,其中小明和小亮选择 同一个社区参加综合实践活动的结果 有3种.∴ P(小明和小亮选择同一个 社区参加综合实践活动)=39= 1 3. 5. (1) 0.68;0.74;0.68;0.69;0.705; 0.701. (2) 0.7. (3) 0.7. (4) 表示“铅笔”区域的扇形的圆心角 的度数约是360°×0.7=252°. 第3课时 列举所有机会 均等的结果 1. B 2. C 3. 1 9 4. (1) 1 2. (2) 列表如下: 第1 张 差的 绝对 值 第2张 -1 2 5 8 -1 0 3 6 9 2 3 0 3 6 5 6 3 0 3 8 9 6 3 0 由表,可知共有16种等可能的结果, 其中“两数之差的绝对值大于3”的结 果有6种. ∴ P(两数之差的绝对值大于3)= 6 16= 3 8. 5. D 解析:画树状图如图所示(用 A、B、C分别表示三名学生,用a、b、c 分别表示他们原来的座位).由树状 图,可知共有6种等可能的结果,其中 恰好有两名学生没有坐回原座位的结 果有3种.∴ 恰好有两名学生没有坐 回原座位的概率为3 6= 1 2. (第5题) 6. C 解析:将题图中第二个转盘分 成三等份,列表如下: 第2个 转盘 第1个 转盘结果 红 蓝 红 (红,红) (蓝,红) 蓝 (红,蓝) (蓝,蓝) 蓝 (红,蓝) (蓝,蓝) 由表,可知共有6种等可能的结果,其 中可配成紫色的结果有3种,则P(可 配成紫色)=36= 1 2. 7. B 解析:假设点(m,n)在函数 y= 6 x 的图象上,可得mn=6.列表 如下: nmn m -1 2 3 -6 -1 -2 -3 6 2 -2 6 -12 3 -3 6 -18 -6 6 -12-18 由表可知,共有12种等可能的结果, 其中mn=6的结果有4种.∴ 点(m, n)在函数y= 6 x 的图象上的概率是 4 12= 1 3. 8. 16 25 解析:列表如下: 转盘A和 转盘B 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 由表可知,共有25种等可能的结果, 其中两个转盘上的指针所指的数字之 和 为 6、7、8、9 的 结 果 有 16 种. ∴ P(小明胜)=1625. 9. 1 2 解析:用A、B分别表示手心、 手背,画树状图如图所示.由图可知, 共有8种等可能的结果,其中通过一 次“手心手背”游戏就能决定甲先打乒 乓球的结果有4种.∴ P(通过一次 “手心手背”游戏就能决定甲先打乒乓 球)=48= 1 2. (第9题) 10. (1) 答案不唯一,如田、日. (2) 这个游戏对小慧有利.列表如下: 土 口 木 土 (土,土)(土,口)(土,木) 口 (口,土)(口,口)(口,木) 木 (木,土)(木,口)(木,木) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54 由表可知,共有9种等可能的结果,其 中能构成上下结构的汉字的结果有 4种:(土,土)“圭”,(口,口)“吕”, (木,口)“杏”或“呆”,(口,木)“呆”或 “杏”,其他结果有5种, ∴ P(小敏获胜)=49 ,P(小慧获 胜)=59 ,4 9< 5 9. ∴ 这个游戏对小慧有利. 11. (1) 画树状图如图①所示. 由树状图,可知共有6种等可能的结 果,其中把数学课安排在最后一节的 结果有2种. ∴ P(把数学课安排在最后一节)= 2 6= 1 3. (2) 画树状图如图②所示. 由树状图,可知两个班的课程安排,九 年级(1)班的每一种安排可以与九年 级(2)班的所有安排情况相对应, ∴ 共有6×6=36(种)等可能的结果, 其中数学课不相冲突的结果有4×6= 24(种). ∴ P(这两个班的数学课 不 相 冲 突)=2436= 2 3. ① ② (第11题) 专题特训九　几种常见 游戏中的概率问题 1. A 解析:列表如下: 乙 和 甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表可知,共有36种等可能的结果, 其中和为奇数的结果有18种,和为偶 数的结果有18种.∴ P(甲赢)= 18 36= 1 2 ,P(乙赢)=1836= 1 2.∵ 1 2= 1 2 ,∴ 这个游戏对双方公平. 2. D 解析:抛掷两枚硬币,有4种等 可能的情况,分别为(正,正),(正, 反),(反,正),(反,反).A选项,出现 抛出两个同面的概率为1 2 ,出现其他 结果的概率为1 2 ,此时游戏公平;B选 项,把“抛出其他结果”改为“抛出两个 反面”时,两人获胜的概率都为1 4 ,此 时游戏公平;C选项,小明获胜的概率 为1 4 ,小刚获胜的概率为3 4 ,故把“小 明得1分”改为“小明得3分”,此时游 戏公平;D选项,把“小刚得1分”改为 “小刚得3分”,此时游戏不公平. 3. A 解析:列表如下: 娜娜结 果 红红 锤 子 剪 刀 布 锤子 (锤子, 锤子) (剪刀, 锤子) (布, 锤子) 剪刀 (锤子, 剪刀) (剪刀, 剪刀) (布, 剪刀) 布 (锤子, 布) (剪刀, 布) (布, 布) 由表,可知共有9种等可能的结果,其 中红红胜或娜娜胜或平局各有3种结 果,两人出不同手势的结果有6种, 两人出相同手势的结果有3种.∴ P(红 红胜)=P(娜娜胜)=P(平局)=13 , P(两人出不同手势)= 69 = 2 3 , P(两人出相同手势)=13. 4. 不公平 解析:∵ 牌面数字分别 为1~13,其中6种是偶数,7种是奇 数,∴ 甲、乙两人获胜的概率不相等. 故这个游戏不公平. 5. (1) ∵ 3张卡片中有2张画有正三 角形, ∴ 小永从小谷的卡片中随机抽出 一张,正好正面画有正三角形的概率 是2 3. (2) 此游戏公平. 理由:设2张正面画有正三角形和 1张正面画有正方形的卡片标号分别 为1、2、3,画树状图如图所示. 由图,可知共有9种等可能的结果,其 中小谷获胜的结果有4种,小永获胜 的结果有4种. ∴ P(小谷获胜)=P(小永获胜)=49. ∴ 此游戏公平. (第5题) 6. (1) 不同意小明的想法. ∵ 袋子中装有2个白球和1个红球, ∴ P(摸出白球)=23 ,P(摸出红 球)=13. ∵ 2 3≠ 1 3 , ∴ 摸出白球和摸出红球不是等可 能的. (2) 同意小明的想法. 记2个白球分别为白1、白2,画树状图 如图所示. 由图,可知共有6种等可能的结果,其中 摸出的2个球都是白球的结果有2种. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64