第23章 专题特训四 相似三角形的基本模型-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

(第11题) 专题特训四　相似三角形的 基本模型 1. A 解析:∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AD∥BC,DC∥AB. ∴ △DEF ∽ △CEB,△DEF ∽ △ABF.∴ △ABF∽△CEB.∴ 图中 的相似三角形共有3对. 2. 15 13 解析:∵ ∠C=90°,AB=5, BC=4,∴ 由勾股定理,得 CA= AB2-BC2 =3.∵ PQ ∥AB, ∴ ∠ABD= ∠BDQ.∵ BD 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABD = ∠QBD. ∴ ∠QBD=∠BDQ.∴ QB=QD. ∵ D 为PQ 的中点,∴ QD=12QP. ∴ QP = 2QB.∵ PQ ∥AB, ∴ △CPQ∽△CAB.∴ CP CA= CQ CB= PQ AB ,即CP 3= 4-QB 4 = 2QB 5 .∴ CP= 24 13.∴ AP=CA-CP=1513. 3. (1) ∵ AB∥FC, ∴ ∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE. 在△ADE 和△CFE 中, ∠A=∠ECF, ∠ADE=∠CFE, DE=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CFE(A.A.S.). (2) ∵ AB∥FC, ∴ △GBD∽△GCF. ∴ GB GC= BD CF. ∵ GB=2,BC=4,BD=1, ∴ 2 2+4= 1 CF. ∴ CF=3. ∵ △ADE≌△CFE, ∴ AD=CF=3. ∴ AB=BD+AD=1+3=4. 4. C 解析:由 题 意,得∠EPB= ∠DPC.① ∵ ∠B=∠C,∴ △BPE∽ △CPD.② ∵ ∠ADB = ∠AEC, ∴ ∠PDC = ∠PEB.∴ △BPE ∽ △CPD.③ 由AD∶AC=AE∶AB,不 能判断△BPE∽△CPD.④ ∵ PE∶ PD=PB∶PC,∴ △BPE∽△CPD. ∴ 能 判 断 △BPE ∽ △CPD 的 有 3个. 5. 4 解析:在△AOD 和△COB 中, ∵ ∠OAD = ∠OCB,∠AOD = ∠COB, ∴ △AOD ∽ △COB. ∴ AO CO = OD OB ,即 AO DO = CO BO. 又 ∵ ∠AOC= ∠DOB,∴ △AOC∽ △DOB.在 △ABP 和 △CDP 中, ∵ ∠BAP = ∠DCP,∠P = ∠P, ∴ △ABP∽△CDP.∴ AP CP= BP DP , 即AP BP = CP DP. 又 ∵ ∠P = ∠P, ∴ △APC∽△BPD.综上所述,共有 4对相似三角形. 6. (1) ∵ AF⊥BC,CE⊥AB, ∴ ∠AFB=∠CEB=90°. 又∵ ∠B=∠B, ∴ △BAF∽△BCE. (2) ∵ △BAF∽△BCE, ∴ BF BE= BA BC. ∴ BF BA= BE BC. 又∵ ∠B=∠B, ∴ △BEF∽△BCA. 7. C 解析:设BD=x(x>0),则 AD=2x,AB=3x.∵ ∠ACD = ∠B,∠A = ∠A,∴ △ACD ∽ △ABC.∴ CD BC = AD AC = AC AB. ∴ AC2=AD·AB=6x2.∴ AC= 6x(负 值 舍 去).又 ∵ BC=6, ∴ CD 6 = 2x 6x .∴ CD=26. 8. 4 解析:∵ ∠BAC=90°,AD⊥ BC,∴ ∠BDA = ∠ADC =90°, ∠B+∠C=90°,∠B+∠BAD= 90°.∴ ∠C=∠BAD.∴ △BAD∽ △ACD.∴ AD CD = BD AD ,即 AD2 = BD ·CD.∵ BD =8,CD =2, ∴ AD2=8×2=16.∴ AD=4. 9. B 解析:∵ ∠2=∠3,∴ 易得 ∠E=∠C.∵ ∠DAE=∠DAC+ ∠2,∠BAC=∠DAC+∠1,∠1= ∠2, ∴ ∠DAE = ∠BAC. ∴ △ADE∽△ABC.∴ AD AB= AE AC. ∵ AB=4,AD=2,AC=3,∴ 2 4= AE 3 .∴ AE=32. 10. (1) ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C. ∵ ∠BDE=180°-∠B-∠DEB, ∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,且 ∠DEF=∠B, ∴ ∠BDE=∠CEF. 又∵ ∠B=∠C, ∴ △BDE∽△CEF. (2) ∵ △BDE∽△CEF, ∴ BE CF= DE EF. ∵ E 是BC的中点, ∴ BE=CE. ∴ CE CF= DE EF ,即DE EC= EF CF. 又∵ ∠DEF=∠B=∠C, ∴ △DEF∽△ECF. ∴ ∠DFE=∠EFC. ∴ FE 平分∠DFC. 第4课时 相似三角形的性质 1. C 2. D 3. 60 4. 3 5. (1) ∵ ∠DAE=∠BAC,∠ADE= ∠B, ∴ △ADE∽△ABC. 由题意,得AF、AG 分别为△ADE 和 △ABC对应边上的高. ∴ AG AF= AB AD= 5 3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 48 专题特训四　相似三角形的基本模型 ▶ “答案与解析”见P21 类型一 平行线型 模型示例:如图①,△ADE∽△ABC.如图②,△COD∽ △BOA.如图③,△COD∽△AOB. 1. 如图,在▱ABCD 中,F 是AD 的延长线上一 点,连结BF 交DC 于点E,则图中的相似三 角形共有 ( ) A. 3对 B. 2对 C. 1对 D. 0对 (第1题) (第2题) 2. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5, BC=4,P 是边AC 上一动点,过点 P 作 PQ∥AB 交BC 于点Q,D 为PQ 的中点.当 BD 平分∠ABC 时,AP= . 3. 如图,AB∥FC,D 是AB 上一点, DF 交AC 于点E,DE=FE,分别 延长FD 和CB 交于点G. (1) 求证:△ADE≌△CFE. (2) 若GB=2,BC=4,BD=1,求AB 的长. (第3题) 类型二 相交线型 模型示例:如图①,△ADE∽△ABC.如图②,△AOB∽ △COD.如图③,△ABC∽△DEC. 4. 如 图,有 下 列 四 个 条 件:① ∠B=∠C; ② ∠ADB=∠AEC;③ AD∶AC=AE∶ AB;④ PE∶PD=PB∶PC.其中,能判断 △BPE∽△CPD 的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第4题) (第5题) 5. 如图,AB 与CD 相交于点O,连结BD、AC、 AD、CB,延 长 AD、CB 交 于 点 P,且 ∠OAD=∠OCB,则图中的相似三角形有 对. 6. 如图,AF⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是F、E, 连结EF.求证: (1) △BAF∽△BCE. (2) △BEF∽△BCA. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 49 类型三 子母型 模型示例:如图①,若∠ACD=∠B(或∠ADC= ∠ACB),则△ACD∽△ABC.如图②,在Rt△ABC 中,CD 为 斜 边 AB 上 的 高,则 有 △ACD ∽ △ABC∽△CBD. 7. 如 图,在 △ABC 中,点 D 在 边 AB 上, ∠ACD=∠B.若 AD=2BD,BC=6,则 CD 的长为 ( ) A. 23 B. 32 C. 26 D. 5 (第7题) (第8题) 8. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC. 已知BD=8,CD=2,则AD= . 类型四 旋转型(手拉手型) 模型示例:如图①,CD∥AB,将△OCD 绕点O 旋转 至如图②或图③所示的位置,直线AC 交直线BD 于 点E. 结论:(1) △OAB∽△OCD.(2) △OAC∽△OBD. (3) ∠AEB=∠AOB. 9. 如图,在△ABC 和△ADE 中,点D 在BC 上,且∠1=∠2=∠3.若AB=4,AD=2, AC=3,则AE 的长为 ( ) (第9题) A. 1 2 B. 3 2 C. 2 D. 3 4 类型五 一线三等角型 模型示例:如图①,AB⊥BC,CD⊥BC,AP⊥PD, 垂足分别为B、C、P,且三个垂足在同一直线上,则 有△ABP∽△PCD;如图②,∠B=∠APD=∠C, 且B、P、C 三点在同一直线上,则△ABP∽△PCD. 10. 如图,在△ABC 中,AB=AC,点E 在边BC 上移动(不与点B、C 重 合),满足∠DEF=∠B,且点D、F 分别在边AB、AC 上. (1) 求证:△BDE∽△CEF. (2) 当点E 移动到BC 的中点处时,求证: FE 平分∠DFC. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　图形的相似