23.3.2相似三角形的判定（第2课时两边成比例且夹角相等）（教学课件）数学华东师大版九年级上册

华东师大版·九年级上册 23.3相似三角形 23.3.2相似三角形的判定 第二课时两边成比例且夹角相等 第二十三章 相似三角形 学 习 目 标 1 2 3 掌握 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理，能运用该定理证明两个三角形相似，并解决相关问题。 经历 “探索 - 猜想 - 证明 - 应用” 的过程，培养学生的观察、猜想、推理能力，体会类比、转化的数学思想。 通过对相似三角形判定定理的探究，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、严谨求证的科学精神。 复习回顾 相似三角形的定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 已学的相似三角形判定方法： ①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两角分别相等的两个三角形相似. 知识导入 图23.3.10 观察图23.3.10,如果有一点E在边AC上移动，那么点E在什么位置时能使△ADE与△ABC相似呢? 图中△ADE与△ABC的一组对应边AD与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE=AC时，△ADE与△ABC似乎相似.此时= 。 E 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 新知探究 1.提出猜想 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 从上面探索中，我们发现当两个三角形的两边成比例，且它们的夹角相等时，这两个三角形可能相似。接下来我们就来深入探究这个猜想是否正确。 新知探究 2.证明猜想 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知:如图23.3.11,在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1，= 求证:△ABC∽△A1B1C1. 图23.3.11 证明： 在边AB或它的延长线上截取AD=A 1 B 1，过点D作BC的平行线交AC于点E。 则△ADE∽△ABC 作辅助线，构造相似三角形 ∴= （相似三角形对应边成比例） ∵=， AD=A 1 B 1 ∴AE=A1C1 在 △ADE 和 △A1B1C1 中, ∵ AD = A1B1 , ∠A = ∠A1 , AE = A1C1 , ∴ △ADE≌△A1B1C1 ∴△ABC∽△A1B1C1 解题思路： △ADE∽△ABC 且△ADE≌△A1B1C1 ∴△ABC∽△A1B1C1 全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1 新知探究 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 归纳与小结 由此得到相似三角形的判定定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . B A C B' A' C' 对应练习 C 对应练习 典例解析 证明图 23. 3. 12 中的△AEB 和△FEC 相似. 例4 图 23. 3. 12 解题步骤分解： 1.计算边的比例：== 2.得出成比例的结论： 3.分析角的关系：∠AEB和∠FEC 是对顶角，根据对顶角的性质， ∠AEB=∠FEC。 4.判定三角形相似，依据 “两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理，所以△AEB∼△FEC 解题过程： 证明：∵==1.5 ==1.5 ∴ 又∵∠AEB=∠FEC ∴△AEB∼△FEC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） 典例解析 解：∵ AE=1.5，AC=2， 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点， AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长. A C B E D ∴ 又∵∠EAD=∠CAB， ∴ △ADE ∽△ABC， ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. 例 课堂练习 1. 判断 (1) 两个等边三角形相似 ( ) (2) 两个直角三角形相似 ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( ) × √ √ × 课堂练习 2.不能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是(　　) A. B. ，且∠A＝∠A′ C. ，且∠B＝∠A′ D. ，且∠B＝∠C′ D 课堂练习 3.已知△ABC和△A′B′C′，∠A＝50°，∠A′＝50°，AB＝8，BC＝7，A′B′＝16，B′C′＝14，请问这两个三角形是否相似？请说明你的理由． 易错点： 在应用边角关系判定三角形相似时，忽略“夹角”而致错. 解： △ABC与△A′B′C′不一定相似．理由如下：因为∠A＝∠A′＝50°，但不知道　　 是否等于 ，所以根据已知条件不能确定△ABC与△A′B′C′相似． 课堂练习 课堂练习 课堂练习 135° 课堂练习 课堂练习 课堂总结 相似三角形判定（两边成比例且夹角相等） 判定定理内容 条件：两边成比例、夹角相等 结论：两个三角形相似 定理证明 构造辅助三角形 利用平行得相似 利用全等证相似 定理应用 例4：计算边的比例，结合对顶角相等判定相似 感谢聆听! 1．如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是(　　) 2．如图，DE与BC不平行，当eq \f(AB,AC)＝ 时，△ABC与 △ADE相似． eq \f(AE,AD) ∵eq \f(AC,EF)＝eq \f(8,4)＝2，eq \f(BC,DF)＝eq \f(12,6)＝2， ∴eq \f(AC,EF)＝eq \f(BC,DF). 又∵∠ACB＝∠EFD＝60， ∴△ABC∽△EDF. 4.如图，△ABC与△EDF是否相似，并说明理由. 解：△ABC∽△EDF.理由如下： ∵AD＝3，BD＝5，AE＝4，EC＝2， ∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(2,4＋2)＝eq \f(1,2)， eq \f(AE,AB)＝eq \f(4,3＋5)＝eq \f(1,2). 又∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ABC. ∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB). 5.　如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，AD＝3，BD＝5，AE＝4，EC＝2，△ADE与△ACB是否相似？并说明理由. 解：△AED∽△ABC，理由如下： 2eq \r(2) 6.如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DCE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空：∠ABC＝ °，BC＝ ； 证明：由题易知AB＝2，BC＝2eq \r(2)，DE＝2，CE＝eq \r(2)， ∠ABC＝∠CED＝135°. ∴eq \f(EC,AB)＝eq \f(DE,BC)＝eq \f(\r(2),2). ∴△ABC∽△CED. (2)判断△ABC与△DCE是否相似，并证明你的结论. 解：△ABC∽△CED. 在正方形ABCD中， AB＝AD＝CD＝4，∠A＝∠D＝90°， ∵CD＝4DF，点E是AD的中点， ∴DF＝1，AE＝ED＝2. ∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(DF,ED)＝eq \f(1,2). ∴△ABE∽△DEF. 7.如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF，BE.求证：△ABE∽△DEF. 证明：设AB＝4， $