23.3.2-23.3.3 相似三角形的判定定理-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

∵ AB=6,CD=2,OA=7,BC=4, BC=OB+OC, ∴ 6 2= OB OC= 7 OD. ∴ OB=3,OC=1,OD=73. 6. D 解析:∵ △ABC∽△DAC, ∴ ∠DAC=∠B=36°,∠BAC= ∠D=117°.∴ ∠BAD=∠DAC+ ∠BAC=153°. 7. C 解析:∵ AB∥DC,∴ △AEB∽ △CED.∴ AB CD= BE DE.∵ BD=5BE, ∴ 设BE=k(k>0),则BD=5k. ∴ 7 CD= k 5k-k= 1 4.∴ CD=28. 8. D 解析:∵ 四边形ABCD 为平 行四边形,∴ CD∥AB,AD∥BC. ∴ △DGM ∽ △AGB,△DGM ∽ △CBM.∵ EF∥CD,∴ △DGM∽ △EGN,△CBM∽△FBN.∴ △DGM∽ △AGB ∽ △FBN ∽ △CBM ∽ △EGN.∴ 与△AGB 相似的三角形 有4个. 9. B 解析:∵ DE∥AB,∴ △EDC∽ △ABC.∴ DE AB = EC AC.∵ AD 为 △ABC 的角平分线,∴ ∠BAD= ∠DAC.∵ DE∥AB,∴ ∠BAD= ∠EDA.∴ ∠EAD = ∠EDA. ∴ AE=DE.∴ AE AB= EC AC.∴ AC AB= EC AE= 5 3. 10. 14 3 解析:∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AB∥DC,AB=DC. ∵ AE∶BE=4∶3,∴ BE∶AB= 3∶7.∴ BE∶DC=3∶7.∵ AB∥ CD,∴ △BEF∽△DCF.∴ BF∶ DF=BE∶DC=3∶7,即2∶DF= 3∶7.∴ DF=143. 11. (1) ∵ GF∥BC, ∴ DG BG= DF FC= 3 2. ∴ BG BD= 2 5. ∵ BD=20, ∴ BG=8. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD. ∴ △DMG∽△BAG. ∴ DM AB= DG BG. 由(1)知,DGBG= 3 2 , ∴ DM AB= 3 2. ∴ DM CD= 3 2. ∴ CM CD= 1 2. 12. ∵ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ABC. ∵ DE=2,BC=6, ∴ AD AB= AE AC= DE BC= 2 6= 1 3. ∴ BD BA= 2 3 ,CE CA= 2 3. ∵ MN∥BC,DE∥BC, ∴ DE∥MN. ∴ △CDE∽△CMA. ∴ DE MA= CE CA ,即 2 MA= 2 3. ∴ MA=3. 同理,可得AN=3. ∴ MN=MA+AN=3+3=6. 13. 7∶2∶5 解析:∵ 四 边 形 ABCD 和四边形ACED 都是平行四 边形,∴ BC=AD=CE,AC∥DE. ∴ PB PR= BC CE =1 ,PC RE= BC BE= 1 2. ∵ PC∥DR,∴ △PCQ∽△RDQ. ∴ PQ QR= PC DR.∵ DR∶RE=5∶4, ∴ DR = 54RE.∴ PQ QR = PC DR = 1 2RE 5 4RE =25.∴ QR=52PQ.∴ BP= PR=PQ+QR=72PQ.∴ BP∶ PQ∶QR=72PQ∶PQ∶ 5 2PQ= 7∶2∶5. 14. (1) ∵ EF∥BD, ∴ △CFE∽△CDB. ∴ CF CD= EF BD. ∵ BD=12,EF=8, ∴ CF CD= 2 3. ∴ DF CD= 1 3. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD. ∴ DF AB= 1 3. (2) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ DC∥AB,即DF∥AB. ∴ △DHF∽△BHA. ∴ FH AH= DF BA= 1 3. ∴ AH AF= 3 4. ∵ EF∥BD, ∴ △AHG∽△AFE. ∴ GH EF= AH AF= 3 4. ∵ EF=8, ∴ GH 8 = 3 4. ∴ GH=6. 第2课时 相似三角形的 判定定理1 1. C 2. C 3. 3 4. ∵ CB=CF, ∴ ∠B=∠CFB. ∵ ∠CFB=∠AFD, ∴ ∠B=∠AFD. ∵ AD⊥CD,∠ACB=90°, ∴ ∠D=∠ACB. ∴ △ADF∽△ACB. 5. D 解析:∵ 等腰三角形中的一个 50°的内角可能是顶角,也可能是底 角,∴ 都含有一个50°的内角的两个 等腰三角形不一定相似.故选项A不 符合题意.同理,选项B、C也不符合 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 题意.又∵ 等腰三角形的一个100°的 内角只能是顶角,顶角相等的两个等 腰三角形的底角都相等,∴ 都含有一 个100°的内角的两个等腰三角形一定 相似.故选项D符合题意. 6. C 解析:∵ AB∥DE,AC∥DF, ∴ ∠DEF = ∠B,∠DFE = ∠C. ∴ △DEF ∽ △ABC.∴ DE AB = EF BC= 3 5. 7. B 解析:∵ △ABC 和△ADE 均 为等 边 三 角 形,∴ ∠B = ∠C= ∠ADE=60°.∴ ∠BAD+∠ADB= 120°,∠ADB + ∠FDC = 120°. ∴ ∠BAD=∠CDF.又∵ ∠B=∠C, ∴ △ABD∽△DCF.∴ AB DC= BD CF. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ BC= AB=9.又∵ BD=3,∴ CD=6. ∴ 9 6= 3 CF.∴ CF=2. 8. 15 4 解析:∵ DE⊥BC,∴ ∠BED= ∠DEC=90°.∴ ∠C+∠EDC=90°. 又∵ BD⊥DC,∴ ∠BDC=90°,即 ∠BDE+∠EDC=90°.∴ ∠BDE= ∠C.∴ △BDE∽△DCE.∴ BD DC= BE DE. 在 Rt△BDE 中,∵ DE=3, BD=5,∴ BE= BD2-DE2=4. ∴ 5 DC= 4 3.∴ DC=154. 又∵ AB= CD,∴ AB=154. 直角三角形及其斜边上的高 组成的基本图形 直角三角形斜边上的高把直 角三角形分成与原三角形相似的 两个小三角形.该基本图形中含有 公共边、公共角的两个相似三角 形,公共边的平方等于同一条直线 上的两边的乘积. 9. 3 解析:∵ ∠OCA 与∠AOB 互 补,∴ ∠OCA + ∠AOB =180°. ∵ ∠OCA+∠COA+∠A=180°, ∴ ∠AOB = ∠COA + ∠A.又 ∵ ∠AOB = ∠COA + ∠COB, ∴ ∠A= ∠COB.又 ∵ ∠OCA = ∠BCO, ∴ △OCA ∽ △BCO. ∴ OC BC= AC OC.∴ OC2=AC·BC= 2×1.5=3.∴ OC=3(负值舍去). 10. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC,∠B=90°. ∴ ∠AEB=∠DAF. ∵ DF⊥AE, ∴ ∠B=∠AFD=90°. ∴ △ABE∽△DFA. (2) ∵ E 是BC的中点,BC=4, ∴ BE=2. ∵ AB=6, ∴ AE= AB2+BE2= 62+22= 2 10. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ DA=BC=4. ∵ △ABE∽△DFA, ∴ AB DF= AE DA. ∴ DF=AB ·DA AE = 6×4 2 10 =6 105 . 11. (1) ∵ CD⊥AB,∠ACB=90°, ∴ ∠A+∠ACD=90°,∠BCD+ ∠ACD=90°. ∴ ∠BCD=∠A. ∵ MN⊥BM,∠ACB=90°, ∴ ∠AMN+∠BMC=90°,∠CBM+ ∠BMC=90°. ∴ ∠AMN=∠CBM. ∴ △BCP∽△MAN. (2) 有. △ACD∽△ABC,△ACD∽△CBD, △CBD∽△ABC,△BDP∽△BMN. 12. (1) 相等. ∵ EF∥AB, ∴ ∠DEF=∠EBA,∠AEF=∠EAB. 又∵ ∠EAB=∠EBA, ∴ ∠DEF=∠AEF. (2) △AGB∽△EOA. ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB=AD,AC⊥BD,∠ABD= ∠ADB. ∴ ∠EOA=90°,∠GAB=∠ABE+ ∠ADB=2∠ABE. ∵ ∠OEA = ∠ABE + ∠BAE = 2∠ABE, ∴ ∠GAB=∠OEA. 又∵ ∠AGB=∠EOA=90°, ∴ △AGB∽△EOA. (3) 连结DM. ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB∥CD. 由对称性可知,BM=MD,∠ADM= ∠ABM. ∵ AB∥CH, ∴ ∠ABM=∠H. ∴ ∠ADM=∠H. ∵ ∠DMH=∠FMD, ∴ △MFD∽△MDH. ∴ MD MH= MF MD. ∴ BM MH= MF BM. 第3课时 相似三角形的 判定定理2、3 1. C 2. A 3. 32° 48° 4. ∵ △PCD 是等边三角形, ∴ ∠PCD = ∠PDC=60°,PC= CD=PD=2. ∴ ∠PCA=∠BDP=120°. ∵ AC=1,BD=4, ∴ AC PC= 1 2 ,PD BD= 1 2. ∴ AC PC= PD BD ,即AC PD= PC BD. ∴ △ACP∽△PDB. 5. D 解析:∵ △ABC 与△BED 都 是 顶 角 为 36°的 等 腰 三 角 形, ∴ △ABC ∽ △EBD,∠ABC = ∠ACB= ∠EBD = ∠EDB =72°. ∵ BC2=CD·AC,∴ BC AC= CD BC. 又 ∵ ∠BCD=∠ACB,∴ △BCD∽ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 △ACB.∴ △BCD 是顶角为36°的等 腰三角形.∴ ∠ABD=72°-36°= 36°,∠BDC=72°.∴ ∠EBF=72°- 36°=36°,∠ADF=180°-72°×2= 36°.∴ △ABC、△BED、△BCD、 △BDF 均是顶角为36°的等腰三角 形,△ABD、△ADF、△EBF 均是底 角为36°的等腰三角形.∴ 易得图中 的相似三角形共有9对. 6. D 解析:设△DEF 的另两边长为 xcm、ycm. 当△ABC 与△DEF 的 三边对应成比例时,这两个三角形相 似. 当4 x= 5 y= 6 2 时,解得x=43 , y= 5 3 ;当5 x= 6 y= 4 2 时,解得x= 2.5,y=3;当 4 x = 6 y = 5 2 时,解得 x=1.6,y=2.4. 7. C 解析:设每个小正方形的边长 均为1.如图,易得△ABC 的各边长 分别为2、2、2;△CDF 的各边长分 别为2、5、3;△EGF 的各边长分别 为5、5、10;△HMN 的各边长分 别为1、2、5;△HPQ 的各边长分 别为2、22、25.可以得出△ABC 与△EGF,△HMN 与△HPQ 的各 边对应成比例,故这两对三角形相似. (第7题) 证明网格中的两个三角形 相似的方法 首先借助网格,根据格点数出 或利用勾股定理计算出每个三角 形的三条边的长,再按照下列顺序 进行判断. 8. 4 3 解析:∵ △ABC、△DCE、 △FEG、△HGI是四个全等的等腰三 角形,底边BC、CE、EG、GI在同一条 直线上,∴ BC=CE=EG=GI=1. ∴ IB=4BC=4.∴ AB IB = 2 4= 1 2 , BC AB= 1 2.∴ AB IB= BC AB ,即AB CB= IB AB. 又∵ ∠ABI=∠CBA,∴ △ABI∽ △CBA.∴ AI CA= IB AB.∵ AB=AC, ∴ AI=IB=4.∵ ∠ACB=∠FGE, ∴ AC∥FG.∴ QI AI = GI CI = 1 3. ∴ QI=13AI= 4 3. 9. (1) ∠BAE=∠CAD. 理由:∵ AB AE= BC ED= AC AD , ∴ △ABC∽△AED. ∴ ∠BAC=∠EAD. ∴ ∠BAC - ∠EAF = ∠EAD - ∠EAF. ∴ ∠BAE=∠CAD. (2) △ABE∽△ACD. 理由:∵ AB AE= AC AD , ∴ AB AC= AE AD. 又由(1),知∠BAE=∠CAD. ∴ △ABE∽△ACD. 10. ∵ ∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴ ∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+ ∠BCD=90°. ∴ ∠CAD=∠BCD. ∴ Rt△ACD∽Rt△CBD. ∴ AC CB= AD CD. ∵ △ACE和△BCF都是等边三角形, ∴ AE=AC,CF=CB,∠EAC=60°, ∠FCB=60°. ∴ AE CF= AC CB= AD CD. ∵ ∠EAD = ∠EAC + ∠CAD = 60°+ ∠CAD,∠FCD = ∠BCF + ∠BCD=60°+∠BCD, ∴ ∠EAD=∠FCD. ∴ △ADE∽△CDF. 11. (1) 斜边和一条直角边对应成比 例的两个直角三角形相似. (2) 答案不唯一,如DE AB= DF AC 如图①,在BA 上取一点A'使BA'= DE,过点A'作A'C'∥AC 交BC 于 点C'. ∴ ∠A'C'B = ∠C=90°= ∠F, △A'C'B∽△ACB. ∴ A'B AB= A'C' AC ,即A'B A'C'= AB AC. ∵ DE AB= DF AC ,即DE DF= AB AC , ∴ A'B A'C'= DE DF. ∵ BA'=DE, ∴ A'C'=DF. 在 Rt△A'C'B 和 Rt△DFE 中, A'B=DE, A'C'=DF, ∴ Rt△A'C'B≌Rt△DFE(H.L.). ∵ △A'C'B∽△ACB, ∴ △ABC∽△DEF. (3) 相似. 如图②,过点A 作AG⊥BC 交BC 的 延长线于点G,过点D 作DH⊥EF 交EF 的延长线于点H. ∴ ∠G=∠H=90°. ∵ ∠ACB=∠DFE, ∴ ∠ACG=∠DFH. ∴ △AGC∽△DHF. ∴ ∠CAG=∠FDH. 由(2)的结论,得△ABG∽△DEH, ∴ ∠B=∠E,∠BAG=∠EDH. ∴ ∠BAC=∠EDF. ∵ ∠B=∠E, ∴ △ABC∽△DEF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 (第11题) 专题特训四　相似三角形的 基本模型 1. A 解析:∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AD∥BC,DC∥AB. ∴ △DEF ∽ △CEB,△DEF ∽ △ABF.∴ △ABF∽△CEB.∴ 图中 的相似三角形共有3对. 2. 15 13 解析:∵ ∠C=90°,AB=5, BC=4,∴ 由勾股定理,得 CA= AB2-BC2 =3.∵ PQ ∥AB, ∴ ∠ABD= ∠BDQ.∵ BD 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABD = ∠QBD. ∴ ∠QBD=∠BDQ.∴ QB=QD. ∵ D 为PQ 的中点,∴ QD=12QP. ∴ QP = 2QB.∵ PQ ∥AB, ∴ △CPQ∽△CAB.∴ CP CA= CQ CB= PQ AB ,即CP 3= 4-QB 4 = 2QB 5 .∴ CP= 24 13.∴ AP=CA-CP=1513. 3. (1) ∵ AB∥FC, ∴ ∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE. 在△ADE 和△CFE 中, ∠A=∠ECF, ∠ADE=∠CFE, DE=FE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CFE(A.A.S.). (2) ∵ AB∥FC, ∴ △GBD∽△GCF. ∴ GB GC= BD CF. ∵ GB=2,BC=4,BD=1, ∴ 2 2+4= 1 CF. ∴ CF=3. ∵ △ADE≌△CFE, ∴ AD=CF=3. ∴ AB=BD+AD=1+3=4. 4. C 解析:由 题 意,得∠EPB= ∠DPC.① ∵ ∠B=∠C,∴ △BPE∽ △CPD.② ∵ ∠ADB = ∠AEC, ∴ ∠PDC = ∠PEB.∴ △BPE ∽ △CPD.③ 由AD∶AC=AE∶AB,不 能判断△BPE∽△CPD.④ ∵ PE∶ PD=PB∶PC,∴ △BPE∽△CPD. ∴ 能 判 断 △BPE ∽ △CPD 的 有 3个. 5. 4 解析:在△AOD 和△COB 中, ∵ ∠OAD = ∠OCB,∠AOD = ∠COB, ∴ △AOD ∽ △COB. ∴ AO CO = OD OB ,即 AO DO = CO BO. 又 ∵ ∠AOC= ∠DOB,∴ △AOC∽ △DOB.在 △ABP 和 △CDP 中, ∵ ∠BAP = ∠DCP,∠P = ∠P, ∴ △ABP∽△CDP.∴ AP CP= BP DP , 即AP BP = CP DP. 又 ∵ ∠P = ∠P, ∴ △APC∽△BPD.综上所述,共有 4对相似三角形. 6. (1) ∵ AF⊥BC,CE⊥AB, ∴ ∠AFB=∠CEB=90°. 又∵ ∠B=∠B, ∴ △BAF∽△BCE. (2) ∵ △BAF∽△BCE, ∴ BF BE= BA BC. ∴ BF BA= BE BC. 又∵ ∠B=∠B, ∴ △BEF∽△BCA. 7. C 解析:设BD=x(x>0),则 AD=2x,AB=3x.∵ ∠ACD = ∠B,∠A = ∠A,∴ △ACD ∽ △ABC.∴ CD BC = AD AC = AC AB. ∴ AC2=AD·AB=6x2.∴ AC= 6x(负 值 舍 去).又 ∵ BC=6, ∴ CD 6 = 2x 6x .∴ CD=26. 8. 4 解析:∵ ∠BAC=90°,AD⊥ BC,∴ ∠BDA = ∠ADC =90°, ∠B+∠C=90°,∠B+∠BAD= 90°.∴ ∠C=∠BAD.∴ △BAD∽ △ACD.∴ AD CD = BD AD ,即 AD2 = BD ·CD.∵ BD =8,CD =2, ∴ AD2=8×2=16.∴ AD=4. 9. B 解析:∵ ∠2=∠3,∴ 易得 ∠E=∠C.∵ ∠DAE=∠DAC+ ∠2,∠BAC=∠DAC+∠1,∠1= ∠2, ∴ ∠DAE = ∠BAC. ∴ △ADE∽△ABC.∴ AD AB= AE AC. ∵ AB=4,AD=2,AC=3,∴ 2 4= AE 3 .∴ AE=32. 10. (1) ∵ AB=AC, ∴ ∠B=∠C. ∵ ∠BDE=180°-∠B-∠DEB, ∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,且 ∠DEF=∠B, ∴ ∠BDE=∠CEF. 又∵ ∠B=∠C, ∴ △BDE∽△CEF. (2) ∵ △BDE∽△CEF, ∴ BE CF= DE EF. ∵ E 是BC的中点, ∴ BE=CE. ∴ CE CF= DE EF ,即DE EC= EF CF. 又∵ ∠DEF=∠B=∠C, ∴ △DEF∽△ECF. ∴ ∠DFE=∠EFC. ∴ FE 平分∠DFC. 第4课时 相似三角形的性质 1. C 2. D 3. 60 4. 3 5. (1) ∵ ∠DAE=∠BAC,∠ADE= ∠B, ∴ △ADE∽△ABC. 由题意,得AF、AG 分别为△ADE 和 △ABC对应边上的高. ∴ AG AF= AB AD= 5 3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 44 第2课时 相似三角形的判定定理1 ▶ “答案与解析”见P18 1. 下列各组三角形中,不一定相似的是 ( ) A. B. C. D. 2. 如图,D、E 分别是△ABC 的边AB、AC 上的 点,∠ADE=∠ACB.若AD=2,AB=6, AC=4,则AE 的长是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (第2题) (第3题) 3. 如图,锐角三角形ABC 的边AB、AC 上的高 线EC、BF 相交于点D,则图中与△BDE 相 似的三角形共有 个. 4. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,F 是边 AB 上一点,且CB=CF,过点A 作CF 的垂 线,交CF 的延长线于点D.求证:△ADF∽ △ACB. (第4题) 5. 下列条件中,一定能判定两个等腰三角形相 似的是 ( ) A. 都含有一个50°的内角 B. 都含有一个70°的内角 C. 都含有一个80°的内角 D. 都含有一个100°的内角 6. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中, A、B、C、E、F 五个点均在格点上,AB∥DE, AC∥DF,则DEAB 的值为 ( ) A. 1 2 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 (第6题) (第7题) 7. 如图,△ABC 和△ADE 均为等边 三角形,点D 在边BC 上,DE 与 AC 相交于点F.若AB=9,BD=3, 则CF 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. ★如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AB= CD,DE⊥BC,BD⊥DC,垂足分别为E、D. 若DE=3,BD=5,则AB= . (第8题) (第9题) 9. 如图,点 C 在∠AOB 的内部,∠OCA= ∠BCO,∠OCA 与∠AOB 互补.若 AC= 1.5,BC=2,则OC= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 45 10. 如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 的中点, DF⊥AE,垂足为F. (1) 求证:△ABE∽△DFA. (2) 若AB=6,BC=4,求DF 的长. (第10题) 11. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂足为D,M 是AC 上的一点,连结BM 交CD 于点P, 过点M 作MN⊥BM,交AB 于点N. (1) 求证:△BCP∽△MAN. (2) 除(1)中的相似三角形外,图中还有其 他的相似三角形吗? 若有,请将它们全部直 接写出来. (第11题) 12. 如图,在菱形ABCD 中,AC 与BD 交于 点O,E 是BD 上一点,EF∥AB,∠EAB= ∠EBA,过点B 作DA 的垂线,交DA 的延 长线于点G. (1) ∠DEF 和∠AEF 是否相等? 若相等, 请予以证明;若不相等,请说明理由. (2) 找出图中与△AGB 相似的三角形,并 予以证明. (3) BF 的延长线交CD 的延长线于点H, 交AC 于点M.求证:BMMH= MF BM. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　图形的相似 46 第3课时 相似三角形的判定定理2、3 ▶ “答案与解析”见P19 1. 如图,∠1=∠2,则添加下列的一个条件后, 仍无法判定△ABC∽△ADE 的是 ( ) A. AB AD= AC AE B. ∠B=∠D C. AB AD= BC DE D. ∠C=∠AED (第1题) (第2题) 2. 如图,在下列四个三角形中,与△ABC 相似 的是 ( ) A. B. C. D. 3. 如图,若AD·AC=AE·AB,且∠D=32°, ∠C=48°,则∠B= ,∠E= . (第3题) 4. 如图,点C、D 在线段AB 上,△PCD 是等边 三角形,且AC=1,CD=2,BD=4.求证: △ACP∽△PDB. (第4题) 5. 如图,△ABC 与△BED 都是顶角为36°的等 腰三角形,D 是边AC 上一点,DE 与AB 相 交于点F,且满足BC2=CD·AC,则图中的 相似三角形共有 ( ) (第5题) A. 6对 B. 7对 C. 8对 D. 9对 6. 已知△ABC 的三边长为4cm、5cm、6cm, △DEF 的一边长为2cm,则当两个三角形相 似时,△DEF 的另两边长不可能是 ( ) A. 2.5cm、3cm B. 1.6cm、2.4cm C. 4 3cm 、5 3cm D. 1.6cm、2.5cm 7. ★如图,在6×11的正方形网格中有一只可爱 的“小狐狸”,则图中由粗实线组成的相似三 角形有 ( ) (第7题) A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对 8. 如图,△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是四 个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG、GI 在同一条直线上,且AB=2,BC=1,连结 AI,交FG 于点Q,则QI= . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 47 9. 如图,在四边形ABCD 中,AC、BD 相交于点F,点E在BD 上,且ABAE= BC ED= AC AD. (1) ∠BAE与∠CAD 相等吗? 请说明理由. (2) △ABE与△ACD是否相似? 请说明理由. (第9题) 10. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥ AB,垂足为D,分别以AC、BC 为边向三角 形外作等边三角形ACE 和等边三角形 BCF,连结DE、DF.求证:△ADE∽△CDF. (第10题) 11. 新考法·探究题 【提出问题】 在判定两个三角形全等时,除根据一般三角 形全等判定定理外,还有“H.L.”.类似地, 我们对直角三角形相似的条件进行探索. 【提出猜想】 (1) 除根据一般三角形相似判定的条件外, 请你提出类似于“H.L.”的判定直角三角形 相似的方法,并用文字描述为 . 【初步思考】 (2) 其中,我们不妨将问题用符号语言表 示:如图①,在Rt△ABC 和Rt△DEF 中, ∠C=∠F=90°,若 ,则△ABC∽ △DEF,请给予证明. 【深入研究】 (3) 试利用以上探究的结论解决问题,若图 ②中的∠C=∠F>90°,其他条件不变,两 个三角形是否相似? 若相似,请证明;若不 相似,请画出反例. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　图形的相似