22.2.1 直接开平方法和因式分解法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

18 22.2　一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法和因式分解法 ▶ “答案与解析”见P7 1. 方程x2-400=0的根是 ( ) A. x1=x2=200 B. x1=200,x2=-200 C. x1=x2=20 D. x1=20,x2=-20 2. 用因式分解法解方程,下列方法正确的是 ( ) A. ∵ (2x-2)(3x-4)=0,∴ 2x-2=0或 3x-4=0 B. ∵ (x+3)(x-1)=1,∴ x+3=0或x- 1=1 C. ∵ (x-2)(x-3)=2×3,∴ x-2=2或 x-3=3 D. ∵ x2+2x=0,∴ x(x+2)=0.∴ x+2=0 3. 如图所示为一个简单的数值运算程序,则输 入x的值为 ( ) (第3题) A. x1=2,x2=-2 B. x1=3,x2=-3 C. x1=3,x2=-1 D. x1=-3,x2=1 4. 若a为一元二次方程(x-22)2=4的两个根 中较大的一个,b为一元二次方程(x-4)2= 18的两个根中较小的一个,则a-b的值为 . 5. 关于x的一元二次方程4x(x-2)=x-2的 解为 . 6. 解方程: (1) 4x2-9=0. (2) 2x2+3x=0. (3) (3x+2)2-4x2=0. (4) 2x(x+3)-3(x+3)=0. 7. 若关于x的一元二次方程ax2-b=0(a≠0) 有解,则必须满足 ( ) A. a、b同号 B. b是a的整数倍 C. b=0 D. a、b同号或b=0 8. 若(a+b+1)(a+b-1)=15,则 a+b的值是 ( ) A. ±2 B. 2 C. ±4 D. 4 9. 三角形两边的长分别是7和11,如果第三边 的长是一元二次方程x2-25=2(x-5)2 的 一个实数根,那么该三角形的周长是 ( ) A. 23 B. 23或33 C. 24 D. 24或30 10. 已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2- 2m=0有一个根为x=0,则m= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 19 11. 已知关于x的方程a(x+m)2+b= 0(a、b、m 均为常数,且a≠0)的解 是x=3或x=7,则方程a(x+ m+2)2+b=0的解为 . 12. 整体思想 如果(a2+b2+1)(a2+b2-1)= 63,那么a2+b2的值为 . 13. 解方程: (1) 9(3x-2)2=64. (2) 3(x-2)=5x(2-x). (3) 4(x+3)2-(x-2)2=0. (4) (2x+1)2+4(2x+1)+4=0. 14. 对于实数p、q(p≠q),我们用符号 min{p,q}表示p、q两数中较小的 数,如 min{1,2}=1,min{- 2, -3}=- 3.已知min{(x-1)2,x2}=1, 求x的值. 15. 新考法·探究题 在解一元二次方程时,发现 有这样一种解法: 解方程x(x+8)=4. 解:原方程可变形, 得[(x+4)-4][(x+4)+4]=4, (x+4)2-42=4, (x+4)2=20, 直接开平方,得x1=-4+2 5,x2=-4- 2 5. 我们称这种解法为“平均数法”. (1) 下面是小明用“平均数法”解方程(x+ 2)(x+8)=40时的解题过程: 解:原方程可变形, 得[(x+a)-b][(x+a)+b]=40, (x+a)2-b2=40, (x+a)2=40+b2, 直接开平方并整理,得x1=c,x2=d. 上述解题过程中的a、b、c、d 所表示的数 分别为 、 、 、 . (2) 请用“平均数法”解方程:(x-2)(x+ 6)=4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第22章　一元二次方程 即x=1y. 把x=1y 代入已知方程, 得2 1 y 2 -7·1y+3=0. 化简,得 3y2-7y+2=0.∴ 所求方程为 3y2-7y+2=0. 22.2　一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法 和因式分解法 1. D 2. A 3. C 4. 52-2 5. x1=2,x2= 1 4 6. (1) 移项,得4x2=9, 方程两边都除以4,得x2=94 , 直接开平方,得x=±32 , ∴ x1= 3 2 ,x2=- 3 2. (2) 方程左边分解因式,得x(2x+ 3)=0, ∴ x=0或2x+3=0. ∴ x1=0,x2=- 3 2. (3) 原 方 程 可 变 形 为 (3x+2- 2x)(3x+2+2x)=0,即(x+2)(5x+ 2)=0, ∴ x+2=0或5x+2=0. ∴ x1=-2,x2=- 2 5. (4) 原方程可变形为(x+3)(2x- 3)=0, ∴ x+3=0或2x-3=0. ∴ x1=-3,x2= 3 2. 7. D 解析:ax2-b=0可化为x2 = b a . 当b a ≥0 时,可用直接开平方法 求得x的值. 又∵ a≠0,∴ a、b同号 或b=0. 8. B 解析:(a+b+1)(a+b-1)= 15,变形得[(a+b)+1][(a+b)- 1]=15,即(a+b)2-1=15,移项,得 (a+b)2=16,∴ a+b=4或a+ b=-4.由题意,得a+b≥0,∴ a+ b=4.∴ a+b=4=2. 9. B 解析:∵ x2-25=2(x-5)2, ∴ 2(x-5)2-(x+5)(x-5)=0. ∴ (x-5)(2x-10-x-5)=0,即 (x-5)(x-15)=0.∴ x-5=0或 x-15=0,解得x1=5,x2=15.当三 角形第三边的长为5时,符合三角形 的三边关系,三角形的周长为5+7+ 11=23;当三角形第三边的长为15 时,符合三角形的三边关系,三角形的 周长为15+7+11=33.综上所述,该 三角形的周长为23或33. 10. 2 解析:∵ 关于x 的一元二次 方程mx2+5x+m2-2m=0有一个 根为x=0,∴ m2-2m=0且m≠0, 解得m=2. 11. x1=1,x2=5 解析:∵ 关于x 的方程a(x+m)2+b=0的解是x= 3或x=7,方程a(x+m+2)2+b=0 变形为a[(x+2)+m]2+b=0,∴ 此 方程中x+2=3或x+2=7,即方程 a(x+m+2)2+b=0的解为x1=1, x2=5. 12. 8 解析:设a2+b2=x,则(x+ 1)(x-1)=63.整理,得x2=64,解得 x=±8,即a2+b2=8或a2+b2= -8(不合题意,舍去).∴ a2+b2的值 为8. 13. (1) 原方程可化为 (3x-2)2=649 , ∴ 3x-2=83 或3x-2=-83 ,解得 x1= 14 9 ,x2=- 2 9. (2) 原方程可化为3(x- 2)+5x· (x-2)=0, 方程左边分解因式,得(x- 2)(3+ 5x)=0, ∴ x-2=0或3+5x=0,解得x1= 2,x2=- 3 5. (3) 原方程可化为[2(x+3)]2-(x- 2)2=0, 方程左边分解因式,得[2(x+3)+ (x-2)][2(x+3)-(x-2)]=0,即 (3x+4)(x+8)=0, ∴ 3x+4=0或x+8=0,解得x1= -43 ,x2=-8. (4) 方程左边分解因式,得(2x+1+ 2)2=0,即(2x+3)2=0, ∴ 2x+3=0,解得x1=x2=- 3 2. 14. 当x2>(x-1)2,即x>12 时, min{(x-1)2,x2}=(x-1)2=1,解 得x1=2,x2=0(不合题意,舍去); 当(x-1)2>x2,即x<12 时, min{(x-1)2,x2}=x2=1,解得 x1=1(不合题意,舍去),x2=-1. 综上所述,x的值为-1或2. 15. (1) 5;3;2;-12. 解析:原方程 可变形,得[(x+5)-3][(x+5)+ 3]=40.(x+5)2-32=40,(x+ 5)2=40+32.直接开平方并整理,得 x1=2,x2=-12.a、b、c、d 所表示的 数分别为5、3、2、-12. (2) 原方程可变形,得[(x+2)-4]· [(x+2)+4]=4, (x+2)2-42=4,(x+2)2=20, 直接开平方并整理,得x1=-2+ 25,x2=-2-25. 第2课时 配 方 法 1. D 2. B 3. D 4. (1) 4 2 (2) 4 9 2 3 (3) 1 1 5. -2 7 6. (1) 原方程可化为(x2+4x+4- 4)-1=0,即(x+2)2=5, 直接开平方,得x+2=± 5,解得 x1=-2+5,x2=-2-5. (2) 移项,得x2-6x=4, 配方,得x2-6x+9=4+9,即(x- 3)2=13, 直接开平方,得x-3=± 13,解得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7