22.2第1课时　直接开平方法课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

第22章　一元二次方程 22.2　一元二次方程的解法 第1课时　直接开平方法和因式分解 1.学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方 程；（重点） 2.了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解 题步骤. (重点) 学习目标 一元二次方程的一般式是怎样的？你知道求一元二次方程的解的方法有哪些吗？ （a≠0） 导入新课 回顾与思考 解: 所以方程x2=9有两个根， x1=3, x2=-3. 直接开平方解方程 一 讲授新课 例：解方程 x2=9. 一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得 , ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 知识回顾 2.用直接开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0; (2)(2x－3)2=9. 1.方程　　　　 的根是 方程　　　　的根是　　 方程 　　 的根是 x1=0.5, x2=－0.5 x1＝3， x2＝－3 x1＝2， x2＝－1 练一练 x1＝3， x2＝－3 x1＝0， x2＝3 因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式. 在学习因式分解时，我们已经知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解. 用因式分解法解一元二次方程 二 问题 什么是因式分解？ 问题引导 例 解下列方程： （1）x2－3x＝0; (2) 25x2=16 解：（1）将原方程的左边分解因式， 得 x（x-3）＝0; 则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3. (2)将方程右边常数项移到左边，再根据平方差 公式因式分解，得x1=0.8，x2=-0.8. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 典例精析 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 因式分解法的基本步骤是： 这样解是否正确呢？ 交流讨论： 解：方程的两边同时除以x， 得x=1. 故原方程的解为x=1. 不正确，方程两边同时除以的数不能为零，还有一个解为x=0. 1.填空： （1）方程x2+x=0的根是 _________________； （2）x2－25=0的根是________________. x1=0, x2= -1 x1=5, x2= -5 练一练 2. 解方程：x2-5x+6=0 解: 把方程左边分解因式，得 （x-2）（x-3）=0 因此x-2 =0或x-3=0. ∴x1=2，x2=3 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 课堂小结 注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便. 一、 选择题 1. 方程2 x 2＝1的解为（　B　） A. x 1＝ ， x 2＝－ B. x 1＝ ， x 2＝－ C. x 1＝－ ， x 2＝ D. x 1＝ x 2＝ 2. 方程（ x ＋1）2－9＝0的解为（　A　） A. x 1＝2， x 2＝－4 B. x 1＝－2， x 2＝4 C. x 1＝2， x 2＝－2 D. x 1＝1， x 2＝－1 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 下列解方程正确的是（　D　） A. 由 x 2＝－2，得 x ＝± B. 由（ x －2）2＝4，得 x －2＝2，即 x ＝4 C. 由4（ x －1）2＝9，得4（ x －1）＝±3，解得 x 1＝ ， x 2＝ D. 由（2 x ＋3）2＝25，得2 x ＋3＝±5，解得 x 1＝1， x 2＝－4 4. 用直接开平方法解方程（3 x ＋1）2＝（2 x －5）2，下列步骤正确的是 （　C　） A. 3 x ＋1＝2 x －5 B. 3 x ＋1＝－（2 x －5） C. 3 x ＋1＝±（2 x －5） D. 3 x ＋1＝±2 x －5 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. ☆若一元二次方程 ax 2＝ b （ ab ＞0）的两个根分别是 x 1＝ m －1， x 2＝ 2 m ＋3，则 的值为（　B　） A. 16 B. C. 25 D. 或25 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 一元二次方程（ x ＋6）2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个 一元一次方程是 x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是 ⁠. 7. 方程48－3（ x －2）2＝0的解为 ⁠. 8. 在如图所示的计算程序中，若输出的数为14，则输入的数为 ⁠ ⁠. 第8题 x ＋6＝－4　 x 1＝6， x 2＝－2　 －7或 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. ★关于 x 的方程 ax 2＋ b ＝0的根是 x 1＝4， x 2＝－6（ a 、 b 均为常数， a ≠0），则关于 x 的方程 a （ x －3）2＋ b ＝0的根是 ⁠ ⁠. x ＝7或 x ＝－ 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. 用直接开平方法解下列方程： （1） （2 x －3）2－ ＝0； （2） 4（ x －2）2－36＝0； 解： x 1＝ ， x 2＝ 解： x 1＝5， x 2＝－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） x 2＋6 x ＋9＝7； 解： x 1＝－3＋ ， x 2＝－3－ （4） 4（3 x －1）2－9（3 x ＋1）2＝0. 解： x 1＝－ ， x 2＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 解方程：4（2 x －1）2＝36.小林的解答过程如下： 解：4（2 x －1）2＝36 　　（2 x －1）2＝9 　　　　2 x －1＝3……第一步 　　　　　2 x ＝4……第二步 　　　　　 x ＝2……第三步 （1） 在以上解答过程中，小林从第 ⁠步开始出现错误，错误 的原因是 ⁠； 一　 求9的平方根出错　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 请写出正确的解答过程. 解：4（2 x －1）2＝36.化简，得（2 x －1）2＝9.开平方，得2 x －1＝±3.整理，得2 x ＝4或2 x ＝－2，解得 x ＝2或 x ＝－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.已知一元二次方程6（ x －3）2－6＝0的两个根恰好分别是 等腰三角形 ABC 的底边长和腰长，求△ ABC 的周长. 解：解6（ x －3）2－6＝0，得 x 1＝4， x 2＝2.∵ 一元二次方程6（ x －3）2－6＝0的两个根恰好分别是等腰三角形 ABC 的底边长和腰 长，∴ 当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能构成三 角形；当底边长和腰长分别是2和4时，4＋2＞4，此时△ ABC 的周 长为2＋4＋4＝10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $