21.2.3 二次根式的除法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(华东师大版)

28< 36,∴ 5< 28<6,即5< m<6. 10. 4 15 解析:5※ 3=4× 5× 3=4× 5×3=4 15. 11. 3 解析:根据题意,得12× 3× 12=12× 36=3 (cm2).∴ 该直 角三角形的面积为3cm2. 12. (1) 原 式 = 2 × 174 × -3 117 = 2 × (-3) × 17 4× 1 17=-6× 1 2=-3. (2) 原式= 54 × 12 5 × 3 = 5 4× 12 5×3 =9=3. (3) 原 式 =2 3m×m2×6m 2 = 2 9m4=2×3m2=6m2. 第2课时 积的算术平方根 1. A 2. C 3. C 4. 2 15 5. 2 21 6. (1) 原式= 25×2 = 25× 2=52. (2) 原式=22×27=4× 2×7= 4 14. (3) 原式=16×2 3a×2 15a= 2 3× 3a×15a= 2 3×35a=25a. 7. A 解析:根据题意,得 90= 3 10,800=202, 180=65, 则k=3,m=2,n=5.∴ m<k<n. 8. -8 解析:∵ 2× 20= 2× 25=2 10,而 2× 20= 2× m 5=m n,∴ m =2,n=10. ∴ m-n=2-10=-8. 9. 46 122 解析:根据勾股定 理,可 知 另 一 条 直 角 边 长 为 (63)2-(23)2 = 108-12= 96= 42×6=46(cm).∴ 这个 直角三角形的面积为1 2×23×46= 4× 3×6=4×32=122(cm2). 10. 由 定 义 运 算,可 知 7※5= 7+5 7-5 = 12 2 = 23 2 =3 ,-2※50= -2+50 -2-50 = 48 -52= 43 -52=- 3 13. ∴ (7※5)×(-2※50)= 3× - 313 =-313. 11. 设铁桶底面的边长是xcm(x>0). 根据题意,得10x2=30×30×20, ∴ x2=30×30×2. ∴ x= 30×30×2= 302× 2= 302. ∴ 铁桶底面的边长是302cm. 第3课时 二次根式的除法 1. C 2. D 3. A 4. -2<x≤1 5. 2 3 6. 33 7. (1) 6 5 = 6×5 5×5 = 305 . (2) 2 7 =2×7 7×7 =277 . (3) 3+1 2 = (3+1)×2 2×2 =6+22 . (4) 8 2a = 8× 2a 2a× 2a =4a2a = 2a a . (5) - 123 ÷ 5 54 = - 53÷ 5 54 = - 5 3× 54 5 = - 18=-32. 二次根式化简的“三注意” (1) 根号里不能有分数. (2) 分母中不能有根号,需将 分母的根号去掉. (3) 根号里不能有任何一个因 数是完全平方数,所以需将完全平 方数“开方”出来. 8. C 解析: 14是最简二次根式, 14 7 不能再化简. 9. C 解析:∵ 2 5 = 205 , 2 5 = 10 5 ,∴ 2 5< 2 5< 2 5 . 10. D 解析: 0.063= 63010000= 9× 70 100 = 35× 14 100 .∵ 5=a, 14=b,∴ 原式=3ab100. 11. D 解析:由勾股定理,得AC= 22+32= 13.∵ S△ABC=3×3- 1 2×1×2- 1 2×1×3- 1 2×2×3= 7 2 ,∴ S△ABC = 1 2AC ·BD= 72. ∴ 1 2 13 ·BD = 72.∴ BD = 7 13 =7 1313 . 12. 63 解析: 54×6 3 = 54 3 × 6= 18×6=63. 13. 8 解析:∵ 最 简 二 次 根 式 n-12n+1与最简二次根式 4n-m 相等,∴ n-1=2,2n+1=4n-m,解 得n=3,m=5.∴ m+n=8. 14. -2 解析:∵ 2x+7是最简二 次根式,∴ 2x+7≥0,解 得 x≥ -3.5.由题意,可知x 取整数值.当 x=-3时,二次根式为 1=1,不是 最简二次根式,不合题意;当x=-2 时,二次根式为 3,是最简二次根式, 符合题意.故 x 可取的 最 小 整 数 是-2. 15. (1) 18× 3÷ 2= 18×3÷ 2= 54÷2= 27=33. (2) 12 ÷ 27 × 18 = 12÷27×18 = 12×127×18 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 8=22. (3) 2× 63÷ 4 3 =233 × 3 4= 1 2. (4) 213÷3 28× -12 1 1 2 = 7 3 ÷ 67 × (-66) = - 7×66 3×67 =-2. (5) 根据题意,得x>0,y>0. ∴ 4x2 xy ÷12 x3 ·3y = 4x2 12 ·3 · xyx3·y=x2· y 2 x2= xy. 二次根式的乘除混合 运算的注意点 (1) 运算顺序:如果没有括号, 那么从左向右依次进行计算;如果 有括号,那么先算括号里面的. (2) 运算结果:要求结果是最 简二次根式或整式. 16. (1) 5 524. 验 证: 5524= 125 24= 52×5 24 =5 5 24. (2) n+ nn2-1=n n n2-1 (n≥2). (3) n+ nn2-1= n3-n+n n2-1 = n3 n2-1 = n2·n n2-1 =n n n2-1 (n≥2). (4) 答案不唯一,如 6635=6 6 35. 21.3　二次根式的加减 1. C 2. C 3. B 4. C 5. (1) 0 (2) 72 6. (1) 原式=12×25- 5+3× 5 5=5-5+ 35 5 = 35 5 . (2) 原式=23-33-12×45+ 43=33-25. (3) 原式=8-42+1-7- 22= 2-922 . 7. C 解 析:∵ 最 简 二 次 根 式 3 2m+5与 5 4m-3可 以 合 并, ∴ 2m+5=4m-3,解得m=4.∴ 最 简 二 次 根 式 3 2m+5 =3 13, 5 4m-3=5 13.∴ 合并后的结果 为3 13+5 13=8 13. 8. A 解析:6×23- 12÷ 6= 2 18- 12÷ 6,∴ 甲负责的一步 没有错误.2 18- 12÷6=62- 2,∴ 乙 负 责 的 一 步 出 现 错 误. (2-1)18-12÷ 6= 6÷ 6, ∴ 丙负责的一步没有错误.6÷ 6=1,∴ 丁负责的一步没有错误. 9. C 解析:当n= 2时,n(n+1)= 2×(2+1)=2+ 2<15;当n= 2+2时,n(n+1)=(2+ 2)×(3+ 2)=6+52+2=8+52>15,则 最后输出的结果为8+52. 10. 1 解析:∵ a、b 为有理数,且 3+ 12+ 19=a+b3 ,∴ 3+ 23+13=a+b 3.∴ 33+13= a+b 3.∴ 易知b=3,a= 13. ∴ ab=1. 11. 102+23 解析:① 若腰长为 23,∵ 2×23<52,∴ 此情况不 合题意,舍去.② 若腰长为5 2, ∵ 23+52>52,∴ 此情况符合 题意.故这个等腰三角形的周长为 2×52+23=102+23. 12. 1 解析:(3- 2)2×(5+ 26)=(3+2-26)(5+26)= (5-26)(5+26)=25-24=1. 13. 10-3 解析:(10+3)2024× ( 10-3)2025 = [( 10+3)× (10-3)]2024 ( 10-3)=(10- 9)2024×(10-3)= 10-3. 14. (1) 原式=22-103+ 22- 3 3 = 2+12 ×2+ -10-13 × 3=522- 31 33. (2) 原 式 = 2×18-3 2×3+ 2 2×3=6-36+26=6-6. (3) 原式=2+(3-43+4)-(2- 23)=2+3-43+4-2+23= 7-23. (4) 原式=12-6+2-32 3=8- 3 23. 15. (1) 23-5;3510. 解析:23+ 5与23-5互为有理化因式,将 3 25 分母有理化得35 10. (2) ① < 解 析:∵ 2024- 2023= 1 2024+ 2023 ,2023- 2022= 1 2023+ 2022 ,2024+ 2023 > 2023 + 2022, ∴ 1 2024+ 2023 < 1 2023+ 2022 . ∴ 2024- 2023< 2023- 2022. ② 原式= 2-1+ 3- 2+ 4- 3+…+ 2024- 2023= 2024- 1=2 506-1. (3) ∵ a 2-1 -b 2 =2-32, ∴ (2+1)a- 22b=2-32 , 即 a-12b+3 ×2+a-2=0. ∵ a、b是正整数, ∴ 易得a-12b+3=0 ,a-2=0, 解得a=2,b=10. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 6 第3课时 二次根式的除法 ▶ “答案与解析”见P2 1. (2024·长春期末)下列二次根式中,属于最 简二次根式的为 ( ) A. 32 B. 0.2 C. 13 D. 3 2 2. 下列运算错误的是 ( ) A. 6÷3=2 B. 1 2÷2= 1 2 C. 3÷ 32=2 D. 2 3÷ 3 2=1 3. 化简 1 2+ 1 3 的结果为 ( ) A. 30 6 B. 630 C. 5 6 D. 65 4. 若等式 1-x x+2 = 1-xx+2 成立,则x 的取值范 围是 . 5. 化简 8 18 的结果是 . 6. 矩形的面积为18cm2,一边长为23cm,则 与它相邻的另一边长为 cm. 7. ★计算: (1) 6 5 . (2) 2 7 . (3) 3+1 2 . (4) 8 2a (a>0). (5) - 123÷ 5 54. 8. 下列各式中,不正确的是 ( ) A. 75 3 = 753= 25=5 B. 28 63 =27 37 =23 C. 2 7= 2×7 72 = 14 72 = 147 =2 D. 212= 5 2= 5 2 = 5×2(2)2 = 102 9. 2 5 、2 5 、2 5 的大小关系是 ( ) A. 2 5 < 25< 2 5 B. 2 5< 2 5 < 25 C. 2 5< 2 5< 2 5 D. 2 5< 2 5 < 25 10. 已知5=a,14=b,则 0.063的值为 ( ) A. ab 10 B. 3ab 10 C. ab 100 D. 3ab 100 11. 如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边 长均为1,点A、B、C 都在格点上.若BD 是 △ABC 的高,则BD 的长为 ( ) (第11题) A. 1013 13 B. 913 13 C. 813 13 D. 713 13 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)九年级上 7 12. 计算:54×6 3 = . 13. 若最简二次根式n-12n+1与最简二次根式 4n-m相等,则m+n= . 14. 若 2x+7是最简二次根式,则x 可取的最 小整数是 . 15. ★计算: (1) 18×3÷2. (2) 12÷ 27× 18. (3) 2× 63÷ 4 3 . (4) 213÷328× -12 1 1 2 . (5) 4x2 xy÷12 x3·3y. 16. 新考法·探究题 先来看一个有趣的 现 象: 223 = 8 3 = 22×2 3 = 2 23. 这里根号里面的因数2经过适当的 演变,竟“跑”到了根号的外面,我们把这种 现象称为“穿墙”. 具有这一性质的数还有 许多,如 338=3 3 8 ,4415=4 4 15. (1) 猜想:5524= ,并验证你的 猜想. (2) 你能用只含一个正整数n(n≥2)的等式 来表示上述规律吗? (3) 验证你找到的规律. (4) 请你再写出一个具有“穿墙”性质的数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次根式