第一章 特殊平行四边形 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

∠ACF=135°. (第2题) 第一章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 (1) ∵ 四边形ABCD 和四 边形CEFG 都是正方形, ∴ AB=AD,∠B=∠ADC=90°. ∴ ∠ADH=90°. 在△ADH 和△ABK 中, AD=AB, ∠ADH=∠B=90°, DH=BK, ∴ △ADH≌△ABK. ∴ AH=AK. (2) 在正方形ABCD 和正方形CEFG 中,AB=BC=CD=AD,CG=CE= EF =GF = DH =BK,∠B = ∠BCD= ∠BAD = ∠ADC=90°, ∠GCE = ∠CEF = ∠EFG = ∠CGF=90°. ∵ △ADH≌△ABK, ∴ ∠HAD=∠BAK. ∴ ∠HAK =∠HAD+∠DAK = ∠BAK+∠DAK=∠BAD=90°. 同理(1),可得△HGF≌△KEF≌ △ABK≌△ADH. ∴ AH=AK=HF=FK. ∴ 四边形AKFH 是正方形. (3) 连接AE. ∵ 四边形AKFH 的面积为10, ∴ KF= 10. ∵ EF=CE=1, ∴ KE = KF2-EF2 = (10)2-12=3. ∴ AB=KE=3. ∵ BK=CE=1, ∴ BE=BK+KE=4. ∴ AE= AB2+BE2= 32+42= 5,即点A,E 之间的距离为5. [变式] (1) ∵ 四边形ABCD为矩形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠DAC=∠BCA. 由 翻 折 知,∠DAF = ∠HAF = 1 2∠DAC ,∠BCE = ∠MCE = 1 2∠BCA , ∴ ∠HAF=∠MCE. ∴ AF∥CE. (2) 当∠BAC=30°时,四边形AECF 是菱形. 理由:∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠D=∠BAD=90°,AB∥CD. 由(1),得AF∥CE, ∴ 四边形AECF 是平行四边形. ∵ ∠BAC=30°, ∴ ∠DAC=90°-30°=60°. ∴ ∠ACD=90°-60°=30°. 由 折 叠 的 性 质,得 ∠DAF = ∠HAF=30°, ∴ ∠HAF=∠ACD. ∴ AF=CF. ∴ 四边形AECF 是菱形. 典例2 (1) 连接DE. ∵ AD 是边BC上的高, ∴ ∠ADC=90°. 又∵ E 是边AC的中点, ∴ DE=AE=CE. ∵ BD=AE, ∴ BD=DE,即△BDE 是等腰三 角形. ∵ DG⊥BE, ∴ BG=EG. (2) 过点E 作EF⊥BC于点F. ∵ AD=6,CD=8, ∴ AC= AD2+CD2=10. ∴ CE=12AC=5. ∵ CE=DE,EF⊥BC, ∴ CF=DF=12CD=4. ∴ EF= CE2-CF2=3. 又∵ BD=AE=CE=5, ∴ BF=BD+DF=9. ∴ BE= EF2+BF2=3 10. [变式] 如图,连接EQ,QD,EP,DP. ∵ AE⊥BC,CD⊥AB, ∴ ∠AEC=∠AEB=90°,∠CDB= ∠ADC=90°. ∵ Q 为 AC 的 中 点,P 为BM 的 中点, ∴ DQ=12AC ,EQ=12AC ,EP= 1 2BM ,DP=12BM. ∴ DQ=EQ,EP=DP. ∴ PQ⊥DE. ［综合素能提升］ 1. B 2. B 解析:∵ 四边形ABCD 是正方 形,∴ AD=AB,∠DAB=∠ABC= 90°.又∵ AE=BF,∴ △ADE≌ △BAF. ∴ ∠ADE = ∠BAF. ∴ ∠DOF = ∠ADO + ∠DAO = ∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°. ∵ M 是DF 的中点,∴ OM=12DF. 如图,在 AB 延长线上截取BH = BG,连 接 FH,DH.∵ ∠FBG = ∠FBH=90°,FB=FB,BG=BH, ∴ △FBG≌△FBH.∴ FH=FG. ∴ OM+12FG= 1 2DF+ 1 2HF= 1 2 (DF+HF).∴ 当 H,D,F 三点 共线时,DF+HF 有最小值,即此时 OM+12FG 有最小值,最小值为DH 长的一半.∵ AG=2GB,AB=6, ∴ BH =BG=2.∴ AH =8.在 Rt△ADH 中,由勾股定理,得DH= AD2+AH2=10.∴ OM+12FG 的最小值为5. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 3. 10 4. 6 解析:∵ ∠AED=90°,F 是边 AD 的中点,EF=4cm,∴ AD= 2EF=8cm.∵ ∠EAD=30°,∴ 在 Rt△AED 中,DE=12AD=4cm. ∴ AE= AD2-DE2 =4 3cm. ∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ AD∥ BC,∠B = 90°.∴ ∠BEA = ∠EAD=30°.∴ 在 Rt△ABE 中, AB= 12AE =23cm.∴ BE = AE2-AB2=6cm. 5. ①②④ 解析:∵ DP⊥DE, ∴ ∠PDE=90°.在正方形 ABCD 中,∠ADC = 90°,AD = CD, ∴ ∠ADC - ∠PDC = ∠PDE - ∠PDC,即 ∠ADP = ∠CDE.在 △APD 和 △CED 中, AD=CD, ∠ADP=∠CDE, DP=DE, ∴ △APD ≌ △CED.故 ① 正 确.∵ △APD ≌ △CED,∴ ∠APD = ∠CED.又 ∵ ∠APD = ∠PDE + ∠DEP, ∠CED = ∠CEA + ∠DEP, ∴ ∠CEA=∠PDE=90°.∴ AE⊥ CE.故②正确.如图,过点C 作CF⊥ DE,交 DE 的 延 长 线 于 点 F. ∵ DE = DP, ∠PDE = 90°, ∴ ∠DPE = ∠DEP = 45°.又 ∵ ∠CEA=90°,∴ ∠CEF=45°. ∵ ∠F=90°,∴ 易 知 EF=CF. ∵ DE = DP = 1,∴ PE = DP2+DE2 = 2.∵ PC = 6, ∴ CE= PC2-PE2 =2.∵ 在 Rt△CEF 中,EF2 +CF2 =CE2, EF=CF,∴ 易得CF=EF= 2,即 点C到直线DE 的距离为 2.故③错 误.∵ CF=EF= 2,DE=1,∴ 在 Rt△CDF 中,CD2=CF2+DF2= (2)2+(1+ 2)2=5+2 2,即 S正方形ABCD=5+22.故④正确.综上 所述,正确的为①②④. (第5题) 6. (1) ∵ 在△ABC 中,AB=AC,D 是BC的中点, ∴ AD ⊥ BC, 即 ∠ADC = ∠ADB=90°. ∵ CE∥AD, ∴ ∠ECD=∠ADB=90°. ∵ AE⊥AD, ∴ ∠EAD=90°. ∴ ∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°. ∴ 四边形ADCE 是矩形. (2) ∵ 在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC的中点,BC=4, ∴ BD=CD=12BC=2. 由(1)可知,四边形ADCE 是矩形, ∴ AE=CD=2,∠AEC=90°. 在Rt△AEC中,AE=2,CE=3,由勾 股定 理,得 AC= AE2+CE2 = 13. ∵ EF⊥AC,由三角形的面积公式, 得S△AEC= 1 2AC ·EF=12AE ·CE, ∴ EF=AE ·CE AC = 2×3 13 =6 1313 . 7. (1) 45°;22. 解析:∵ 在菱形 ABCD 中,∠A =90°,∴ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形.∴ BC =CD, ∠BCD=90°.在△BCN 和△DCM 中, BC=DC, ∠CBN=∠CDM, BN=DM, ∴ △BCN≌ △DCM.∴ ∠BCN=∠DCM,CN= CM.∵ ∠BCN + ∠DCN = ∠BCD=90°,∴ ∠DCM+∠DCN= ∠MCN=90°.∴ △MCN 是等腰直 角三角形.∴ ∠BMC=45°.由勾股定 理,易得MN= 2CM,∴ MC MN= 2 2. (2) ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形, ∠A=120°, ∴ BC=CD,∠BCD=∠A=120°. 在△BCN 和△DCM 中, BC=DC, ∠CBN=∠CDM, BN=DM, ∴ △BCN≌△DCM. ∴ ∠BCN=∠DCM,CN=CM. ∵ ∠BCN + ∠DCN = ∠BCD = 120°, ∴ ∠DCM +∠DCN = ∠MCN = 120°. ∵ CM=CN, ∴ ∠CMN=∠CNM. ∵ ∠CMN +∠CNM +∠MCN = 180°, ∴ ∠CMN=∠CNM= 12 (180°- ∠MCN)=30°. 如图①,过点C 作CE⊥BP 于点E, 则ME=NE,∠CEM=90°. 在 Rt△CEM 中,∠CME =30°, ∠CEM=90°, ∴ CE=12CM. ∴ EM = CM2-CE2 = CM2- 12CM 2 = 32CM. ∴ MN=2EM=2× 32CM=3CM. (3) 9-33. 解析:当∠CDM= ∠PBC=45°时,如图②,过点 M 作 MF⊥CD 于点F,在射线BP 上取一 点N,使BN=DM,连接CN.同理可 证明△BCN≌△DCM.∴ CN=CM, ∠BCN = ∠DCM.设 ∠BCN = ∠DCM=α,则∠MCN=120°-2α. ∴ ∠CNM = ∠CMN = 180°-(120°-2α) 2 = α + 30°. ∵ ∠CNM = ∠CBN + ∠BCN, ∴ α+30°=45°+α,不符合题意. ∴ 此时点M 与点N 重合,如图③所 示.设 MD =x.∵ MF ⊥CD, ∠CDM=45°,∴ △DFM 为等腰直 角三角形.∴ 易得DF=MF= 22x. ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形,∠A= 120°,AB=32,∴ BC=CD=32, ∠BCD=120°.由菱形的对称性及 ∠CDM = ∠PBC,可 得 ∠MCF = ∠BCM = 12 ∠BCD = 60°. 在 Rt△MCF 中, ∠MCF = 60°, ∠MFC=90°,由 勾 股 定 理,易 得 CF= 33MF= 6 6x.∵ DF+CF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 CD,∴ 2 2x+ 6 6x=32.∴ x=9- 33.∴ MD=9-33. (第7题) 8. (1) 选择不唯一,如选思路一. 如图①,由旋转,得P'B=PB=2, ∠PBP'=90°,P'A=PC=3. ∴ PP'= PB2+P'B2=22,易得 ∠P'PB=45°. ∴ PA2+PP'2=12+(2 2)2= 9=P'A2. ∴ △APP' 是 直 角 三 角 形,且 ∠APP'=90°. ∴ ∠APB=90°+45°=135°. (2) 如图②,将△BPC 绕点B 按逆时 针方向旋转90°,得到△BP'A,连 接PP'. ∴ P'B=PB=1,∠PBP'=90°, P'A=PC= 11. ∴ PP'= PB2+P'B2 = 2,易得 ∠P'PB=45°. ∴ PA2+PP'2=32+(2)2=11= P'A2. ∴ △APP' 是 直 角 三 角 形,且 ∠APP'=90°. ∴ ∠APB=90°-45°=45°. ① ② (第8题) 第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 1. D 2. A 3. x2-4x-1=0 4. x(x-2)=960 一元二次 5. (1) 整理,得4y2-5y=0,是一元 二次方程,二次项系数为4,一次项系 数为-5,常数项为0. (2) 整理,得x3+3x2-5x+1=0,不 是一元二次方程. (3) 整理,得2m2-4m+9=0,是一 元二次方程,二次项系数为2,一次项 系数为-4,常数项为9. 忽视系数应包括前面的符号致错 判断一个方程是否为一元二 次方程,首先看方程是否为整式方 程,若不是整式方程,则直接排除; 若是,则进行化简,看方程是否同 时满足“一元”“二次”“二次项的系 数非零”,这几个条件缺一不可.不 能忽视各项系数应包括前面的符 号的要求,否则将会把一次项系数 和常数项的符号弄错. 6. A 7. -3 解析:原方程可化为(m- 3)x2+(m2-9)x-5=0.由题意,得 m-3≠0,m2-9=0,解得m=-3. 8. 原方程可化为(2m-1)x2-mx+ m+2=0. (1) 当2m-1=0且-m≠0,即m= 1 2 时,此方程是一元一次方程. (2) 当2m-1≠0,即m≠12 时,此方 程是一元二次方程,二次项系数是 2m-1,一次项系数是-m,常数项是 m+2. 第2课时 一元二次方程的解 1. C 2. -4 3. (1) -1;1;7;0;1. (2) -0.5;-0.28;-0.02;0.28; 0.62;0.7;0.8. (3) 由(1)(2),可知方程2x2-1=0 在x>0时的解在0.7与0.8之间,且 靠0.7更近一些.继续列表如下: x 2x2-1 0.7 -0.02 0.71 0.008 2 0.72 0.036 8 0.73 0.065 8 0.74 0.095 2 由表,可知方程2x2-1=0在x>0 时的近似解为0.71. 4. C 5. x=2 2.5<x<3 解析:根据表 格中的数据,可以发现:当x=2时, 5x2-24x+28=0,∴ 方程5x2- 24x+28=0的一个根是x=2.又 ∵ 当x=2.5时,5x2-24x+28= -0.75,当x=3时,5x2-24x+28= 1,∴ 一元二次方程5x2-24x+28= 0的另一个根的范围是2.5<x<3. 6. 由题意,得20=25t-12×10t 2, 即-5t2+25t-20=0,化简,得t2- 5t+4=0(t>0). 列表如下: t 1 2 3 4 5 t2-5t+4 0 -2 -2 0 4 由表,可知1s或4s后它在离抛出点 20m高的地方. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 22 第一章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P13 考点一 特殊平行四边形的性质与判定 典例1 如图,四边形ABCD 和四边形CEFG 均是正方形,点K 在BC 上,延长CD 到点H, 使DH=BK=CE,连接AK,KF,HF,AH. (1) 求证:AH=AK. (2) 求证:四边形AKFH 是正 方形. (典例1图) (3) 若四边形AKFH 的面积为 10,CE=1,求点 A,E 之间的 距离. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 23 (1) 利用正方形的性质结合全等三角形的判定 方法证明△ADH≌△ABK,即可证明结论.(2) 由全 等的性质可得∠HAK=90°,同理可证得△HGF≌ △KEF≌△ABK≌△ADH,再利用正方形的判定方 法进行判定.(3) 结合正方形的性质利用勾股定理可 求出AB=KE=3,BE=4,再利用勾股定理可求解. [变式]已知一张矩形纸片ABCD,将点B 翻折 到对角线AC 上的点M 处,折痕CE 交AB 于点 E,将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处,折痕 AF 交DC 于点F,折叠出四边形AECF. (1) 求证:AF∥CE. (2) 当∠BAC 的度数为多少时,四边形AECF 是菱形? 请说明理由. 考点二 直角三角形斜边中线的性质 典例2 如图,在△ABC 中,AD 是边BC 上的 高,E 是边AC 的中点,连接BE,DG⊥BE 于点 G,BD=AE. (1) 求证:BG=EG. (2) 若AD=6,CD=8,求BE 的长. (典例2图) (1) 连接DE.先根据直角三角形斜边中线的性 质证明△BDE 是等腰三角形,再由等腰三角形三线 合一的性质即可得出结论.(2) 过点E 作EF⊥BC 于点F.求出EF,BF 的长,即可解决问题. [变式]如图,在△ABC 中,三边BC,AC,AB 上 的高AE,BF,CD 相交于点M,P 为BM 的中 点,Q 为 AC 的 中 点,连 接 PQ,DE.求 证: PQ⊥DE. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形 24 1. 如图,在菱形ABCD 中,AB=4,∠BAD= 120°,O 是对角线BD 的中点,过点 O 作 OE⊥CD 于点E,连接OA,则四边形AOED 的周长为 ( ) (第1题) A. 9+23 B. 9+3 C. 7+23 D. 8 2. (2024·泸州)如图,在边长为6的正方形 ABCD 中,E,F 分别是边AB,BC 上的动 点,且满足AE=BF,AF 与DE 交于点O, M 是DF 的中点,G 是边AB 上的点,AG= 2GB,则OM+12FG 的最小值是 ( ) (第2题) A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 3. (2024·广东)如图,菱形ABCD 的 面积为24,E 是AB 的中点,F 是 BC 上的动点.若△BEF 的面积为 4,则图中涂色部分的面积为 . (第3题) (第4题) 4. 如图,在矩形ABCD 中,E 是边BC 上一点, ∠AED=90°,∠EAD=30°,F 是边AD 的 中点,EF=4cm,则BE= cm. 5. 如图,在正方形ABCD 外取一点E,连接 DE,AE,CE,过点D 作DP⊥DE,交AE 于 点P,连接PC,DE=DP=1,PC= 6.有下 列结论:① △APD≌△CED;② AE⊥CE; ③ 点 C 到 直 线 DE 的 距 离 为 3; ④ S正方形ABCD =5+22.其 中,正 确 的 为 (填序号). (第5题) 6. (2024·兰州)如图,在△ABC 中,AB=AC, D 是 BC 的 中 点,CE∥AD,AE⊥AD, EF⊥AC. (1) 求证:四边形ADCE 是矩形. (2) 若BC=4,CE=3,求EF 的长. (第6题) 7. 用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD,P 是 线段DC 上的动点(点P 不与点D 和点C 重 合),在射线BP 上取一点M,连接DM,CM, 使∠CDM=∠CBP. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 25 (1) 如图①,调整菱形ABCD,使∠A=90°, 当点M 在菱形ABCD 外时,在射线BP 上取 一点N,使BN=DM,连接CN,则∠BMC= ,MCMN= . (2) 如图②,调整菱形ABCD,使∠A=120°, 当点M 在菱形ABCD 外时,在射线BP 上取 一点 N,使 BN =DM,连接 CN,求证: MN=3CM. (3) 如图③,在菱形ABCD 中,∠A=120°, AB=32.若点P 在射线CD 上,点M 在射 线BP 上,且当∠CDM=∠PBC=45°时,请 直接写出MD 的长. (第7题) 8. 数学课上,老师提出了这样一个问 题:如图①,P 是正方形ABCD 内一 点,PA=1,PB=2,PC=3.求 ∠APB 的度数. 小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路: 思路一:将△BPC 绕点B 按逆时针方向旋转 90°,得到△BP'A,连接PP',求∠APB 的 度数; 思路二:将△APB 绕点B 按顺时针方向旋转 90°,得到△CP'B,连接PP',求∠APB 的 度数. (1) 请参考小明的思路,任选一种写出完整 的解答过程. (2) 如图②,若P 是正方形ABCD 外一点, PA=3,PB=1,PC= 11.求∠APB 的 度数. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形