第一章 专题特训二 特殊平行四边形的最值问题&三 特殊平行四边形的运动问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

20 　　　　专题特训二　特殊平行四边形的最值问题 ▶ “答案与解析”见P11 类型一 利用轴对称求最值 模型示例:如图①,定点A,B 分布在定直线l的同 侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB 的值最小. 作法:如图②,作点B 关于直线l的对称点B',连接 AB',据“两点之间,线段最短”知AB'与直线l的交点 即为所求点P. 1. 如图,正方形ABCD 的边长为4,E 是边BC 上的一点,且BE=1,P 是对角线AC 上的一 动点,连接PB,PE,当点P 在AC 上运动 时,△PBE 周长的最小值是 ( ) (第1题) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 如图,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=2,G 是AD 的中点,线段EF 在边AB 上左右滑 动.若 EF=1,则 GE+CF 的最小值为 . (第2题) 3. 已知菱形ABCD 的面积为23,E 是边BC 的中点,P 是对角线BD 上 的动点,连接AE,AC,PE,PC.若 AE 平分∠BAC,则PE+PC 的最小值为 ,最大值为 . 类型二 利用三角形的三边关系求最值 模型示例:如图①,定点A,B 分布在定直线l的同 侧,在直线l上找一点P,使得|PA-PB|的值最大. 作法:如图②,连接AB 并延长,交直线l于点P,据 “三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边” 知点P 即为所求. 4. 如图,在矩形ABCD 中,AB=15,BC=20, 把边AB 沿对角线BD 平移,点A',B'分别 对应点A,B,连接A'D,B'C,A'C.给出下列 结论:① 四边形A'B'CD 是平行四边形; ② 点C 到它关于直线AA'的对称点的距离 为48;③ A'C-B'C 的最大值为15;④ 作点 D 关于AA'的对称点D',则CB'+CA'的最 小值为CD'的长.其中,正确的个数是( ) (第4题) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图,四边形ABCD 为矩形,AB= 23,AD=22,P 为边AB 上一 点,以DP 为折痕将△DAP 翻折, 点A 的对应点为A',连接AA',交PD 于点 M,Q 为线段BC 上一点,连接AQ,MQ,则 AQ+MQ 的最小值为 . (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 21 　　　 　专题特训三　特殊平行四边形的运动问题 ▶ “答案与解析”见P12 类型一 动点问题 1. 如图,在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,AB= 23cm,BD 与AC 交于点O,过点D 作BC 的垂线,交BC 的延长线于点H.点F 从点B 出发,沿BD 方向以2cm/s的速度向点D 匀 速运动,同时,点E 从点H 出发,沿HD 方 向以1cm/s的速度向点D 匀速运动.设点 E,F 的运动时间为ts,且0<t<3,过点F 作FG⊥BC 于点G,连接EF. (1) 求证:四边形EFGH 是矩形. (2) 连接FC,EC,在点F,E 的运动过程中, △BFC 与△DCE 是否能够全等? 若能,求 出此时t的值;若不能,请说明理由. (第1题) 类型二 几何变换问题 2. 阅读材料: 小明遇到这样一个问题:如图 ①,在正方形ABCD 中,E,F 分别 为DC,BC 边上的点,∠EAF=45°,连接EF, 求证:DE+BF=EF.小明是这样思考的:要 想解决这个问题,首先应想办法将这些分散 的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了 平移、翻折、旋转的方法,发现通过旋转可以 解决此问题.他的方法是将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到△ABG(如图 ②),此时GF 即是DE+BF. (第2题) 参考小明得到的结论和思考问题的方法,解 决下列问题: (1) 在图②中,∠GAF 的度数是 . (2) 如图③,在直角梯形ABCD 中,AD∥BC (AD>BC),∠D=90°,AD=CD=10,E 是 CD 上一点.若∠BAE=45°,DE=4,求BE 的长. (3) 如图④,在△ABC 中,AC=4,BC=6,以 AB 为 边 作 正 方 形 ADEB,连 接 CD.当 ∠ACB= 时,线段CD 的长有最大 值,CD 长的最大值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形拍 照 批 改 ∴ △ABE≌△DAF. ∴ BE=AF,AE=DF. ∴ EF=AF-AE=BE-DF. (3) EF=DF-BE. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=DA,∠BAD=90°. ∴ ∠BAE+∠DAF=90°. ∵ BE⊥MN,DF⊥MN, ∴ ∠BEA=∠AFD=90°,∠DAF+ ∠ADF=90°. ∴ ∠BAE=∠ADF. 在△ABE 和△DAF 中, ∠BEA=∠AFD, ∠BAE=∠ADF, AB=DA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△DAF. ∴ BE=AF,AE=DF. ∴ EF=AE-AF=DF-BE. 3. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ BC=DC,∠ABC=∠ADC=90°. ∴ ∠FDC=90°=∠EBC. 在△CBE 和△CDF 中, BE=DF, ∠EBC=∠FDC, CB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△CDF. ∴ CE=CF. (2) 成立. 由(1),得△CBE≌△CDF. ∴ ∠BCE=∠DCF. ∴ ∠BCE + ∠ECD = ∠DCF + ∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°. 又∵ ∠GCE=45°, ∴ ∠GCF=45°=∠GCE. 在△ECG 和△FCG 中, CE=CF, ∠GCE=∠GCF, GC=GC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ECG≌△FCG. ∴ GE=GF=DG+DF=DG+BE. (3) 如图,在 GE 上取一点 H,使 GH=GD,连接MH,NH. ∵ △GCE≌△GCF, ∴ ∠DGN=∠HGN,∠F=∠GEC. ∵ GN=GN, ∴ △DGN≌△HGN. ∴ DN = HN, ∠GDN = ∠GHN=45°. ∵ GE=GF,GD=GH,BE=DF, ∴ DF=BE=EH. ∵ 易 知 ∠F = ∠GEC = ∠BEC, EM=EM, ∴ △BEM≌△HEM. ∴ BM = HM, ∠EBM = ∠EHM=45°. ∴ ∠NHM=180°-45°-45°=90°. ∴ HM2+HN2=MN2,即BM2+ DN2=MN2. (第3题) 4. (1) 四边形BE'FE 是正方形. 理由:∵ △CBE'是由Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转90°得到的, ∴ ∠CE'B=∠AEB=90°,∠EBE'= 90°. 又∵ ∠BEF+∠AEB=180°, ∴ ∠BEF=90°. ∴ 四边形BE'FE 是矩形. 由旋转可知,BE=BE', ∴ 四边形BE'FE 是正方形. (2) CF=FE'. 如图,过点D 作DH⊥AE 于点H,则 ∠AHD=90°,∠DAH+∠ADH= 90°. ∵ DA=DE, ∴ AH=EH=12AE. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=DA,∠DAB=90°. ∴ ∠DAH+∠EAB=90°. ∴ ∠ADH=∠EAB. 在△ADH 和△BAE 中, ∠AHD=∠BEA=90°, ∠ADH=∠BAE, AD=BA, ∴ △ADH≌△BAE. ∴ AH=BE. 由旋转可知,AE=CE'. 由(1)可 知,四 边 形 BE'FE 是 正 方形, ∴ BE=E'F. ∴ E'F=AH=12AE= 1 2CE'. ∴ CF=FE'. (第4题) 专题特训二　特殊平行四边 形的最值问题 1. B 2. 32 解析:如图,作点G 关于AB 的对称点G',在CD 上截取CH,使 CH=1,连接G'H 交AB 于点E,此 时GE+CF 有最小值,最小值为G'H 的 长.∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形, ∴ CD∥AB,AD=BC=2,AB= CD=4,∠D=90°.∵ CH=EF=1, CH∥EF,∴ 四边形EFCH 是平行四 边形.∴ EH=CF.∴ G'H=EG'+ EH=EG+CF.∵ G 是AD 的中点, ∴ AG=12AD=1. 由对称,得EG= EG',AG'=AG=1.∴ DG'=AD+ AG'=3.∵ DH =CD-CH =3, ∴ G'H= DG'2+DH2=32,即 GE+CF 的最小值为32. (第2题) 3. 3 2+ 7 解析:根据题意,画 出如图所示的图形,连接PA,DE.在 菱形ABCD 中,由E 是边BC 的中点 及AE 平分∠BAC,易知△ABC 是等 边三角形,AE⊥BC.∴ ∠ABC= 60°.设AB=BC=x,则易知AE= 3x 2 .∵ 菱形ABCD 的面积为23, ∴ BC·AE=2 3,即x· 3x2 = 23,解得x=2(负值舍去).∴ AE= 3,AB=BC=2.由点A 和点C 关于 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 BD 对 称,知 PE+PC 的 值 即 为 PA+PE 的值.当A,P,E 三点共线 时,PA+PE 的值最小,此时PA+ PE=AE=3,即PE+PC的最小值 为3.当点P 和点D 重合时,PE+ PC的值最大.易知AE⊥AD,AD= 2.在Rt△ADE 中,由勾股定理,易得 DE= 22+(3)2= 7,此时PE+ PC=2+7,即PE+PC 的最大值为 2+7.∴ 线段PE+PC 的最小值为 3,最大值为2+7. (第3题) 4. D 解析:由题意,得AB=A'B', AB∥A'B'.∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB=CD=15,AD=BC=20, AB∥CD.∴ A'B'=CD,A'B'∥CD. ∴ 四边形A'B'CD 是平行四边形.故 ①正确.利用平行线间的距离处处相 等,得点C 到它关于直线AA'的对称 点的距离是点C 到BD 的距离的 4倍.∵ 在 Rt△BCD 中,BD = BC2+CD2=25,∴ 利用等面积 法,易 得 点 C 到 BD 的 距 离 = 20×15 25 =12.∴ 点C 到它关于直线 AA'的对称点的距离为48.故②正确. 根据A'C-B'C≤A'B',推出A'C- B'C≤15,∴ A'C-B'C 的最大值为 15.故③正确.∵ 点D 关于AA'的对 称点为D',∴ A'D=A'D'.∵ 四边形 A'B'CD 是平行四边形,∴ CB'= A'D.∴ CB'=A'D'.∴ CA'+CB'= CA'+A'D'.∴ 当点D',A',C 共线 时,CB'+CA'有最小值,最小值为 CD'的长.故④正确.综上所述,正确 的个数是4. 5. 42 解析:如图,作点A 关于BC 的对称点T,取AD 的中点R,连接 QT,RT,MT,RM,则 AR=DR= 1 2AD= 1 2×22= 2 ,AT=2AB= 2×23=43.由对称,得AQ=QT. ∴ AQ+MQ=QT+MQ≥MT.∵ 四 边形 ABCD 是矩形,∴ ∠RAT= 90°.∴ RT= AR2+AT2 =5 2. ∵ 点A,A'关于DP 对称,∴ AA'⊥ DP.∴ ∠AMD=90°.∵ R 是AD 的 中点,∴ RM=12AD= 2.∵ MT≥ RT-RM,∴ MT≥42.∴ AQ+ MQ≥42.∴ AQ+MQ 的最小值为 42. (第5题) 专题特训三　特殊平行 四边形的运动问题 1. (1) ∵ EH⊥BC,FG⊥BC, ∴ ∠FGH=∠FGB=90°,EH∥FG. 由题意,知BF=2tcm,EH=tcm. ∵ 在菱形ABCD 中,∠ABC=60°, ∴ ∠CBD=30°. ∴ FG=12BF=tcm. ∴ EH=FG. ∴ 四边形EFGH 是平行四边形. ∵ ∠FGH=90°, ∴ 四边形EFGH 是矩形. (2) △BFC与△DCE 能够全等. ∵ 在菱形ABCD 中,∠ABC=60°, AB=23cm, ∴ ∠ADC= ∠ABC=60°,CD = AB=23cm,AB∥CD. ∴ ∠CBD=∠CDB=30°,∠DCH= ∠ABC=60°. ∵ DH⊥BC, ∴ ∠CHD=90°. ∴ ∠CDH=90°-60°=30°=∠CBF. ∴ 在Rt△CDH 中,CH=12CD= 3cm. ∴ DH = CD2-CH2 = (23)2-(3)2=3(cm). ∵ EH=tcm, ∴ DE=(3-t)cm. 易知当△BFC≌△DEC 时,BF= DE. ∴ 2t=3-t,解得t=1. 2. (1) 45°. 解析:根据旋转,得 △ABG ≌ △ADE,∴ ∠GAB = ∠EAD.∵ ∠BAD = ∠BAF + ∠EAF+ ∠DAE=90°,∠EAF= 45°,∴ ∠BAF+∠GAB=∠BAF+ ∠DAE=45°,即∠GAF=45°. (2) 如图①,过点A 作AF⊥CB,交 CB 的延长线于点F,则∠F=90°. ∵ AD∥BC,∠D=90°, ∴ ∠C=180°-∠D=90°. ∵ AD=CD=10, ∴ 四边形AFCD 是正方形. ∴ CF=10. 根据结论,易知BE=DE+BF. 设BE=x. ∵ DE=4, ∴ BF=BE-DE=x-4,CE= CD-DE=10-4=6. ∴ CB=CF-BF=10-x+4= 14-x. ∵ ∠C=90°, ∴ CE2+CB2=BE2. ∴ 36+(14-x)2=x2,解得x=587. ∴ BE=587. (3) 135°;42+6. 解析:如图②,过 点A 作AF⊥CA,取AF=AC,连接 BF,CF,则△ACF 为等腰直角三角 形.∴ ∠ACF=45°.∵ ∠BAF= ∠BAC+ ∠CAF =90°+ ∠BAC, ∠DAC=∠BAD+∠BAC=90°+ ∠BAC,∴ ∠BAF = ∠DAC.又 ∵ AF=AC,AB=AD,∴ △FAB≌ △CAD.∴ BF=DC.∴ 当线段CD 的长有最大值时,只需BF 的长最大 即可.∵ BF≤BC+CF,∴ 当B,C, F 三点共线时,BF 的长取得最大值, 此时BF=BC+CF.在等腰直角三角 形ACF 中,AC=AF=4,∠ACF= 45°,∴ CF=42.∵ CB=6,∴ BF 长的最大值为42+6,即CD 长的最 大值为42+6,此时∠ACB=180°- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 ∠ACF=135°. (第2题) 第一章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 (1) ∵ 四边形ABCD 和四 边形CEFG 都是正方形, ∴ AB=AD,∠B=∠ADC=90°. ∴ ∠ADH=90°. 在△ADH 和△ABK 中, AD=AB, ∠ADH=∠B=90°, DH=BK, ∴ △ADH≌△ABK. ∴ AH=AK. (2) 在正方形ABCD 和正方形CEFG 中,AB=BC=CD=AD,CG=CE= EF =GF = DH =BK,∠B = ∠BCD= ∠BAD = ∠ADC=90°, ∠GCE = ∠CEF = ∠EFG = ∠CGF=90°. ∵ △ADH≌△ABK, ∴ ∠HAD=∠BAK. ∴ ∠HAK =∠HAD+∠DAK = ∠BAK+∠DAK=∠BAD=90°. 同理(1),可得△HGF≌△KEF≌ △ABK≌△ADH. ∴ AH=AK=HF=FK. ∴ 四边形AKFH 是正方形. (3) 连接AE. ∵ 四边形AKFH 的面积为10, ∴ KF= 10. ∵ EF=CE=1, ∴ KE = KF2-EF2 = (10)2-12=3. ∴ AB=KE=3. ∵ BK=CE=1, ∴ BE=BK+KE=4. ∴ AE= AB2+BE2= 32+42= 5,即点A,E 之间的距离为5. [变式] (1) ∵ 四边形ABCD为矩形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠DAC=∠BCA. 由 翻 折 知,∠DAF = ∠HAF = 1 2∠DAC ,∠BCE = ∠MCE = 1 2∠BCA , ∴ ∠HAF=∠MCE. ∴ AF∥CE. (2) 当∠BAC=30°时,四边形AECF 是菱形. 理由:∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠D=∠BAD=90°,AB∥CD. 由(1),得AF∥CE, ∴ 四边形AECF 是平行四边形. ∵ ∠BAC=30°, ∴ ∠DAC=90°-30°=60°. ∴ ∠ACD=90°-60°=30°. 由 折 叠 的 性 质,得 ∠DAF = ∠HAF=30°, ∴ ∠HAF=∠ACD. ∴ AF=CF. ∴ 四边形AECF 是菱形. 典例2 (1) 连接DE. ∵ AD 是边BC上的高, ∴ ∠ADC=90°. 又∵ E 是边AC的中点, ∴ DE=AE=CE. ∵ BD=AE, ∴ BD=DE,即△BDE 是等腰三 角形. ∵ DG⊥BE, ∴ BG=EG. (2) 过点E 作EF⊥BC于点F. ∵ AD=6,CD=8, ∴ AC= AD2+CD2=10. ∴ CE=12AC=5. ∵ CE=DE,EF⊥BC, ∴ CF=DF=12CD=4. ∴ EF= CE2-CF2=3. 又∵ BD=AE=CE=5, ∴ BF=BD+DF=9. ∴ BE= EF2+BF2=3 10. [变式] 如图,连接EQ,QD,EP,DP. ∵ AE⊥BC,CD⊥AB, ∴ ∠AEC=∠AEB=90°,∠CDB= ∠ADC=90°. ∵ Q 为 AC 的 中 点,P 为BM 的 中点, ∴ DQ=12AC ,EQ=12AC ,EP= 1 2BM ,DP=12BM. ∴ DQ=EQ,EP=DP. ∴ PQ⊥DE. ［综合素能提升］ 1. B 2. B 解析:∵ 四边形ABCD 是正方 形,∴ AD=AB,∠DAB=∠ABC= 90°.又∵ AE=BF,∴ △ADE≌ △BAF. ∴ ∠ADE = ∠BAF. ∴ ∠DOF = ∠ADO + ∠DAO = ∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°. ∵ M 是DF 的中点,∴ OM=12DF. 如图,在 AB 延长线上截取BH = BG,连 接 FH,DH.∵ ∠FBG = ∠FBH=90°,FB=FB,BG=BH, ∴ △FBG≌△FBH.∴ FH=FG. ∴ OM+12FG= 1 2DF+ 1 2HF= 1 2 (DF+HF).∴ 当 H,D,F 三点 共线时,DF+HF 有最小值,即此时 OM+12FG 有最小值,最小值为DH 长的一半.∵ AG=2GB,AB=6, ∴ BH =BG=2.∴ AH =8.在 Rt△ADH 中,由勾股定理,得DH= AD2+AH2=10.∴ OM+12FG 的最小值为5. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31