第一章 专题特训一 与正方形有关的四个常考模型-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

18 　　　专题特训一　与正方形有关的四个常考模型　▶ “答案与解析”见P10 类型一 正方形中的“十字架”模型 1. (1) 如图①,在正方形ABCD 中,AE,DF 相 交于点O 且AE⊥DF,则线段AE 和DF 之 间的数量关系为 . (2) 如图②,在正方形ABCD 中,E,F,G 分 别是边AD,BC,CD 上的点,BG⊥EF,垂足 为H.求证:BG=EF. (3) 如图③,在正方形ABCD 中,E,F,M 分 别是边AD,BC,AB 上的点,AE=2,BF= 5,BM=1,将正方形沿EF 折叠,A',B'分别 是点A,B 的对应点,点M 的对应点恰好与 CD 边上的点N 重合,求CN 的长. (第1题) 类型二 正方形中的三垂线全等模型 2. 过正方形ABCD 的顶点A 作一条 直线MN. (1) 如图①,当 MN 不与正方形有 其他交点时,过点B 作BE⊥MN 于点E,过 点D 作DF⊥MN 于点F.请写出EF,BE, DF 之间的数量关系,并证明你的结论. (2) 如图②,若改变直线MN 的位置,使MN 与边CD 相交,其他条件不变.请写出EF, BE,DF 之间的数量关系,并证明你的结论. (3) 如图③,若继续改变直线MN 的位置,使 MN 与边BC 相交,其他条件不变.请写出 EF,BE,DF 之间的数量关系,并证明你的 结论. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 19 类型三 正方形中的半角模型 3. 如图,在正方形ABCD 中,E 是AB 上一点, F 是AD 的延长线上一点,且DF=BE,点G 在AD 上,连接GE,CG,CE,∠GCE=45°, 连接BD,分别交CE,CG 于点M,N. (1) 求证:CE=CF. (2) GE=DG+BE 成立吗? 为什么? (3) 求证:BM2+DN2=MN2. (第3题) 类型四 正方形中的“手拉手”模型 4. 如图①,E 为正方形ABCD 内一点, ∠AEB=90°,将Rt△ABE 绕点B 按 顺 时 针 方 向 旋 转 90°,得 到 △CBE'(点A 的对应点为C).延长AE 交 CE'于点F,连接DE. (1) 试判断四边形BE'FE 的形状,并说明 理由. (2) 如图②,若AD=DE,请猜想线段CF 与 FE'之间的数量关系,并加以证明. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形 ∴ OE=OF.∵ 点O 运动到AC的中 点处,∴ OA=OC.∴ 四边形AECF 为矩形.若∠ACB=90°,则 AC⊥ BD.∵ MN∥BC,∴ AC⊥MN,即 AC⊥EF.∴ 四 边 形 AECF 为 正 方形. 8. (1) 四边形BPCO 为平行四边形. 理由:∵ 四边形ABCD为平行四边形, ∴ OC=OA=12AC ,OB=OD= 1 2BD. 由题意,得BP=12AC ,CP=12BD. ∴ OB=CP,BP=OC. ∴ 四边形BPCO 为平行四边形. (2) 当AC⊥BD,AC=BD 时,四边 形BPCO 为正方形. 理由:∵ AC⊥BD, ∴ ∠BOC=90°. ∵ AC=BD,OB= 12BD ,OC= 1 2AC , ∴ OB=OC. ∵ 四边形 BPCO 为平行四边形, ∴ 四边形BPCO 为正方形. 9. (1) 四边形EFGH 是正方形. (2) ① ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB∥CD. ∴ ∠BAD = 180°- ∠ADC = 180°-α. ∵ △HAD 和△EAB 都是等腰直角 三角形, ∴ ∠HAD=∠EAB=45°. ∴ ∠HAE =360°- ∠HAD - ∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°- (180°-α)=90°+α. ② ∵ △EAB 和△DGC 都是等腰直 角三角形, ∴ ∠EAB = ∠EBA = ∠GDC = ∠GCD=45°. 又∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=DC. ∵ ∠EAB = ∠GDC,∠EBA = ∠GCD, ∴ △AEB≌△DGC. ∴ AE=DG. ∵ △HAD 是等腰直角三角形, ∴ HA=HD,∠HDA=45°. ∴ ∠HDG= ∠HDA + ∠ADC+ ∠GDC=90°+α. 由①,得∠HAE=90°+α. ∴ ∠HAE=∠HDG. ∴ △HAE≌△HDG. ∴ HE=HG. ③ 四边形EFGH 是正方形. 理由:由②,同 理 可 得 GH =GF, GF=EF. ∵ HE=HG, ∴ HG=HE=EF=GF. ∴ 四边形EFGH 是菱形. 由②,得△HAE≌△HDG. ∴ ∠AHE=∠DHG. 又∵ △HAD 是等腰直角三角形, ∴ ∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°. ∴ ∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°. ∴ 四边形EFGH 是正方形. 专题特训一　与正方形有关的 四个常考模型 1. (1) AE=DF. (2) 如图①,过点E 作EM⊥BC于点 M,则易得四边形 ABME 为矩形. ∴ AB=EM. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠C=90°,AB=BC. ∴ EM=BC. ∵ EM⊥BC, ∴ ∠EMF=90°. ∴ ∠EMF = ∠C, ∠MEF + ∠EFM=90°. ∵ BG⊥EF, ∴ ∠CBG+∠EFM=90°. ∴ ∠CBG=∠MEF. 在△BCG 和△EMF 中, ∠CBG=∠MEF, BC=EM, ∠C=∠EMF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BCG≌△EMF. ∴ BG=EF. (3) 如图②,连接MN. ∵ 点M,N 关于EF 对称, ∴ MN⊥EF. 过点E 作EH⊥BC 于点H,过点M 作MG⊥CD于点G,则易得EH⊥MG. 由(2),同理可得△EHF≌△MGN. ∴ HF=GN. ∵ 易知AE=BH=2,BF=5, ∴ GN=HF=5-2=3. 又∵ 易知GC=MB=1, ∴ CN=NG+CG=3+1=4. (第1题) 2. (1) EF=BE+DF. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=DA,∠BAD=90°. ∴ ∠BAE+∠DAF=90°. ∵ BE⊥MN,DF⊥MN, ∴ ∠BEA=∠AFD=90°,∠DAF+ ∠ADF=90°. ∴ ∠BAE=∠ADF. 在△ABE 和△DAF 中, ∠BEA=∠AFD, ∠BAE=∠ADF, AB=DA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△DAF. ∴ BE=AF,AE=DF. ∴ EF=AF+AE=BE+DF. (2) EF=BE-DF. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=DA,∠BAD=90°. ∴ ∠BAE+∠DAF=90°. ∵ BE⊥MN,DF⊥MN, ∴ ∠BEA=∠AFD=90°,∠DAF+ ∠ADF=90°. ∴ ∠BAE=∠ADF. 在△ABE 和△DAF 中, ∠BEA=∠AFD, ∠BAE=∠ADF, AB=DA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 ∴ △ABE≌△DAF. ∴ BE=AF,AE=DF. ∴ EF=AF-AE=BE-DF. (3) EF=DF-BE. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=DA,∠BAD=90°. ∴ ∠BAE+∠DAF=90°. ∵ BE⊥MN,DF⊥MN, ∴ ∠BEA=∠AFD=90°,∠DAF+ ∠ADF=90°. ∴ ∠BAE=∠ADF. 在△ABE 和△DAF 中, ∠BEA=∠AFD, ∠BAE=∠ADF, AB=DA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△DAF. ∴ BE=AF,AE=DF. ∴ EF=AE-AF=DF-BE. 3. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ BC=DC,∠ABC=∠ADC=90°. ∴ ∠FDC=90°=∠EBC. 在△CBE 和△CDF 中, BE=DF, ∠EBC=∠FDC, CB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△CDF. ∴ CE=CF. (2) 成立. 由(1),得△CBE≌△CDF. ∴ ∠BCE=∠DCF. ∴ ∠BCE + ∠ECD = ∠DCF + ∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°. 又∵ ∠GCE=45°, ∴ ∠GCF=45°=∠GCE. 在△ECG 和△FCG 中, CE=CF, ∠GCE=∠GCF, GC=GC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ECG≌△FCG. ∴ GE=GF=DG+DF=DG+BE. (3) 如图,在 GE 上取一点 H,使 GH=GD,连接MH,NH. ∵ △GCE≌△GCF, ∴ ∠DGN=∠HGN,∠F=∠GEC. ∵ GN=GN, ∴ △DGN≌△HGN. ∴ DN = HN, ∠GDN = ∠GHN=45°. ∵ GE=GF,GD=GH,BE=DF, ∴ DF=BE=EH. ∵ 易 知 ∠F = ∠GEC = ∠BEC, EM=EM, ∴ △BEM≌△HEM. ∴ BM = HM, ∠EBM = ∠EHM=45°. ∴ ∠NHM=180°-45°-45°=90°. ∴ HM2+HN2=MN2,即BM2+ DN2=MN2. (第3题) 4. (1) 四边形BE'FE 是正方形. 理由:∵ △CBE'是由Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转90°得到的, ∴ ∠CE'B=∠AEB=90°,∠EBE'= 90°. 又∵ ∠BEF+∠AEB=180°, ∴ ∠BEF=90°. ∴ 四边形BE'FE 是矩形. 由旋转可知,BE=BE', ∴ 四边形BE'FE 是正方形. (2) CF=FE'. 如图,过点D 作DH⊥AE 于点H,则 ∠AHD=90°,∠DAH+∠ADH= 90°. ∵ DA=DE, ∴ AH=EH=12AE. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=DA,∠DAB=90°. ∴ ∠DAH+∠EAB=90°. ∴ ∠ADH=∠EAB. 在△ADH 和△BAE 中, ∠AHD=∠BEA=90°, ∠ADH=∠BAE, AD=BA, ∴ △ADH≌△BAE. ∴ AH=BE. 由旋转可知,AE=CE'. 由(1)可 知,四 边 形 BE'FE 是 正 方形, ∴ BE=E'F. ∴ E'F=AH=12AE= 1 2CE'. ∴ CF=FE'. (第4题) 专题特训二　特殊平行四边 形的最值问题 1. B 2. 32 解析:如图,作点G 关于AB 的对称点G',在CD 上截取CH,使 CH=1,连接G'H 交AB 于点E,此 时GE+CF 有最小值,最小值为G'H 的 长.∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形, ∴ CD∥AB,AD=BC=2,AB= CD=4,∠D=90°.∵ CH=EF=1, CH∥EF,∴ 四边形EFCH 是平行四 边形.∴ EH=CF.∴ G'H=EG'+ EH=EG+CF.∵ G 是AD 的中点, ∴ AG=12AD=1. 由对称,得EG= EG',AG'=AG=1.∴ DG'=AD+ AG'=3.∵ DH =CD-CH =3, ∴ G'H= DG'2+DH2=32,即 GE+CF 的最小值为32. (第2题) 3. 3 2+ 7 解析:根据题意,画 出如图所示的图形,连接PA,DE.在 菱形ABCD 中,由E 是边BC 的中点 及AE 平分∠BAC,易知△ABC 是等 边三角形,AE⊥BC.∴ ∠ABC= 60°.设AB=BC=x,则易知AE= 3x 2 .∵ 菱形ABCD 的面积为23, ∴ BC·AE=2 3,即x· 3x2 = 23,解得x=2(负值舍去).∴ AE= 3,AB=BC=2.由点A 和点C 关于 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11