第一章 模型构建专题与正方形有关的常考模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

能力提升 5.46.107.解：(1)△ABC是等边三角形，∠ABC=60°.：点D是AC的中点， AF是BC边的中线，∴.AF=BD,∠CBD=30°，AF⊥BC,∠AFB=∠AFC=90. :△BDE是等边三角形，.BE=BD,∠DBE=6O°，∴AF=BD=BE,∠EBF=∠EBD +∠CBD=60°+30°=90°，∴.∠EBF=∠AFC=90°，∴.AF∥BE,∴.四边形AEBF为平 行四边形，又，∠AFB=90°，.四边形AEBF为矩形；(2)，AC=4,△ABC是等边三 角形，：BC=AC=AB=4.:AF是BC边的中线，∠AFB=90°，BF=令BC=2.在 Rt△ABF中，由勾股定理，得AF=√AB-BF产=√/4-2=2√3.又：四边形AEBF 是矩形，.SE形EBF=AF·BF=23X2=4V5,即四边形AEBF的面积为43. 思维拓展 8.解：(1)：|a-√131+√6-2+(c-3)2=0,且|a-√/13|≥0,6-2≥0，(c-3)≥ 0,.a-√13=0，b-2=0,c-3=0,a=√/13，b=2,c=3.6+c2=22+32=13= a2,∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.：PM⊥AB,PN⊥AC,∴.∠AMP= ∠ANP=90°，∴.∠BAC=∠AMP=∠ANP=90°，∴.四边形AMPN是矩形；(2)存在. 连接AP.四边形AMPN是矩形，∴.MN=AP.易得当AP⊥BC时，AP最短.此时 Sa版=AB·AC=BC·AP2X3=VEAP,∴AP-6区即MN的长度最 13 小值为3 13 微专题1与60°角有关的矩形和菱形 1.242.C3.D4.C 教材母题变式专题矩形中的折叠问题 1.B2.5.13.解：(1)MN=CN.证明如下：，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线 折叠，使点D落在点D'处，∴∠CMD=∠CMD'.,四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC, ∴.∠CMD=∠MCN,∴∠CMD'=∠MCN,.MN=CN;(2)由折叠的性质可知∠D= ∠D'=90°，DC=D'C=4,MD=MD=8.设MN=NC=x,.ND'=MD'-MN=8 x.在Rt△ND'C中，由勾股定理，得ND2十DC2=NC,∴.(8-x)2十4=x2,解得x= 5,.MN=CN=5.同(1)可得EN=MN=5,.EC=EN+CN=10. 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.D2.90°3.C4.B5.60E6.27.证明：四边形ABCD是正方形，.AD= CD,∠A=∠BCD=∠ADC=90°，∴.∠DCF=90°.：DE⊥DF,∴.∠EDF=90°， ∴·∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.在△ADE和△CDF中， ∠A=∠DCF, AD=CD, ,.△ADE≌△CDF(ASA),.DE=DF.8.15°或75 ∠ADE=∠CDF, 能力提升 9.B10. 1L.解：(1)90°-a(2)AF=DE.证明如下：：△OEF是等腰直角三 角形，.OE=OF.四边形ABCD是正方形，.OA=OD,∠COD=90°.∠AOF= 90°-a,∠DOE=90°-a,.∠AOF=∠DOE,.△AOF≌△DOE(SAS),.AF=DE. 思维拓展 12.解：(1)PE十PF的值是定值.：四边形ABCD为正方形，∴.AC⊥BD,∴∠AOB= 90°.：PF⊥BD,PE⊥AC,∴∠PFO=∠PEO=90°，.∠EOF=∠PFO=∠PEO= 90°，.四边形PFOE为矩形，.PE=OF.又∠PBF=45°，易得△PBF是等腰直角 三角形，PF=BF.PE+PF=OF+BF=OB=号a,(2)同()可证，∠EOF= ∠PEO=∠PFO=90°，.四边形PFOE为矩形，PE=OF.又，∠PBF=∠ABO= 46,易得△PBF是等腰直角三角形PF=BD,∴PE-PF=OF-BF=OB-号。. 第4页（共54页） 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.证明：连接AC,交BD于点O.,AB⊥BC,∠ABC=90°.又四边形ABCD 是平行四边形，.四边形ABCD是矩形.，四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD,∴四边 形ABCD是正方形.3.D4.AC=BD(答案不唯一)5.证明：：四边形ABCD是 正方形，.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.又：AA'=BB'=CC= DD',.DA=A'B=BC=C'D.易得△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C (SAS),∴.DA'=A'B=B'C'=CD',∴.四边形A'B'C'D是菱形.由全等知∠AD'A'= ∠BA'B'.又∠ADA'+∠AA'D'=90°，.∠AA'D'+∠BA'B'=90°，∠DA'B'= 180°-（∠AAD'+∠BA'B)=90°，.四边形A'B'C'D'是正方形.6.C 能力提升 7.C8.(40√2-40)9.解：(1).AB=AC,AD⊥BC,.∠BAD=∠DAC..AN是 △ABC外角∠CAM的平分线，.∠MAE=∠CAE,.∠DAC+∠CAE=∠BAD十 ∠MAE.:∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE=180°，∴.∠DAE=∠DAC+∠CAE =90°.：AD⊥BC,CE⊥AN,∴.∠ADC=∠CEA=90°，.四边形ADCE为矩形：(2)答 案不唯一，如：当∠BAC=90时，四边形ADCE是一个正方形.证明如下：AB=AC, ∠BAC=90°，∠ACB=∠B=45°.AD⊥BC,∴.∠CAD=∠ACD=45°，.DC= AD.,四边形ADCE为矩形，.矩形ADCE是正方形.故当∠BAC=90°时，四边形 ADCE是一个正方形 思维拓展 10.解：(1)如图， 过点E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,则∠EQF= B O F C ∠EPD=90°.：四边形ABCD为正方形，∴.∠BCD=90°，∠DCA=∠BCA,.∠QEP =90°，EQ=EP.又：四边形DEFG为矩形，∴∠DEF=90°，∴.∠QEP=∠DEF, ∴.∠QEP-∠FEP=∠DEF-∠FEP,即∠QEF=∠PED.在△EQF和△EPD中， r∠QEF=∠PED, EQ=EP, ∴△EQF≌△EPD(ASA),.EF=ED,∴.矩形DEFG是正方形： ∠EQF=∠EPD, (2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC=√2AB=2√2.又：CE=√2， .AE=CE=√2，即E是AC的中点，∴.DE⊥AC,点F与点C重合，此时△DCG是等 腰直角三角形，∴.四边形DECG是正方形，.CG=CE=√2；(3)分两种情况进行讨论： ①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°；②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC =30°.综上所述，∠EFC=120°或30°. 模型构建专题与正方形有关的常考模型 1.解：探究：分别过点A,D作AN∥GH,DM∥EF,分别交BC,AB于点N,M,如图②. C四边形ABCD是正方形，∴.AB∥CD,AB=CD,∠DAB=∠B=90°， B ∴.四边形DMEF是平行四边形，.ME=DF=1,DM=EF.:DM∥EF,GH⊥EF, .DM⊥GH.同理，得四边形AGHN是平行四边形，.GH业AN..AN⊥DM, ∴.∠DAN+∠ADM=90°.：∠DAN+∠BAN=90°，.∠ADM=∠BAN.在△ADM 和△BAN中，.'∠ADM=∠BAN,AD=BA,∠DAM=∠B,.△ADM≌△BAN (ASA)DM=AN,EF=DM=GH=AN.:E为AB的中点∴AE=号AB=2。 ∴.AM=AE-ME=2-1=1,∴.DM=√AD+AMr=√/4+1=√/17，∴.GH=√I7. 2.解：(1)四边形ABCD和四边形A1BCO是正方形，.AO=BO,∠AOB= ∠A1OC1=90°，∠OAB=∠OBC=45°，.∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB= 90°，∠AOE=∠BOF.∴△AOE≌△BOF(ASA);(2)两个正方形重叠部分的面积等 于子a,理由如下：△AOE2△BOF,SaE=S=Sam十Sam =SAROB十S△OE=SAOAB=- SE方能D=子d.3.解：四边形ABCD是正方形， 第5页（共54页） .BA=BC,∠ADB=∠ABE=∠CBE=45°.又BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS), ∠BEA=∠BEC.:∠BEA=∠ADB+∠DAF=45°+15°=60°，∠BEC=60°. 4.证明：在AB上截取BM=BE,连接ME.:四边形ABCD是正方形，∠B=∠DCB =90°，AB=BC,∴.∠BME=∠BEM=45°，.∠AME=180°-∠BME=180°-45°= 135°.，CF是正方形外角∠DCG的平分线，.∠DCF=45°，∴.∠ECF=∠ECD十 ∠DCF=90°+45°=135°，∴.∠AME=∠ECF.∠AEF=90°，∴.∠AEB+∠CEF= 90°.又∠AEB+∠MAE=90°，∴∠MAE=∠CEF.:AB=BC,BM=BE,∴AB BM=BC-BE,即AM=EC..△AME≌△ECF(ASA),.AE=EF.5.解：【问题原 型】，四边形ABDE,AGFC都是正方形，.AB=AE,AG=AC,∠BAE=∠GAC= AB=AE, 90°，∴·∠BAG=∠EAC=90°-∠BAC.在△BAG和△EAC中，∠BAG=∠EAC, AG=AC, ∴.△BAG≌△EAC(SAS),∴.BG=CE:【发现结论】设EH交AB于点L.由【问题原 型】，得△BAG≌△EAC,.∠ABG=∠AEC.·∠BLH=∠ALE,.∠GHE=∠ABG 十∠BLH=∠AEC+∠ALE=90°，∴.EH⊥BG.6.解：(I)四边形BEFE是正方形. 理由如下：·将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90得到△CBE,∴∠AEB=∠E =90°，BE=BE,∠EBE=90°.∠BEF=180°-∠AEB=90°，∴.∠BEF=∠E= ∠EBE=90°，∴.四边形BEFE是矩形.又：BE=BE,.四边形BE'FE是正方形； (2)由(1)，得BE=BE=6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE=√AB-BE= √I0-6=8.过点D作DH⊥AE于点H,∴∠DHA=∠AEB=90°.四边形ABCD 是正方形，.DA=AB,∠DAB=90°，∴.∠DAH+∠EAB=90°=∠DAH+∠HDA, ∠DHA=∠AEB, .∠HDA=∠EAB.在△ADH和△BAE中，∠HDA=∠EAB,∴.△ADH≌△BAE DA=AB, (AAS),∴.AH=BE=6,DH=AE=8,∴.HE=AE-AH=8-6=2.在Rt△DHE中， 由勾股定理，得DE=√D+HE=√⑧+2=2√17.7.解：(1)，四边形ABCD 是正方形，BC=CD,∠B=∠CDF=90°.又BE=DF,.△CBE≌△CDF(SAS), ∴.CE=CF;(2)GE=BE+GD成立.理由如下：由(I),得△CBE≌△CDF,∴∠BCE= ∠DCF,∴.∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠BCD=∠ECF=9O.又：∠GCE =45°，∴.∠GCF=∠ECF-∠GCE=90°-45°=45°，∴.∠GCF=∠GCE.又CE=CF, GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS),∴.GE=GF.:GF=DF+GD=BE+GD,.GE= BEGD. 第一章整合与提升 宁夏常考题型演练 1.C2.323.解：(1)D是边BC的中点，.BD=CD.DF=ED,.四边形BFCE 是平行四边形.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC的中点，∴BE=CE,∴.四边 形BFCE是菱形：(2)：四边形BFCE是菱形，BC=4,EF=2,∴BD=号BC=2,DE= EF=1.D,E分别是边BC,AC的中点，.DE是△ABC的中位线，AB=2DE= 1 2.“AD=VAB+BD=2E.4.C5.号6.解：I选择①，：AD/BC.AB/ CD,∴四边形ABCD是平行四边形.，∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形：选择②， :AD∥BC,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形.∠ABC=90°，.四边形AB CD是矩形：(2)：AB=3,AC=5,∠ABC=90°，∴.BC=√/AC-AB=√5-32=4， .四边形ABCD的面积为AB·BC=3×4=12.7.B8.12十4√39.26°10.D 11.证明：(1)·四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD.:PM⊥ AD,PN⊥AB,.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°，.四边形PMAN是正方形； (2):四边形PMAN是正方形，∴∠MPN=90°.：∠EPB=90°，∴.∠MPE+∠EPN =∠NPB+∠EPN=90°，∴·∠MPE=∠NPB.在△EPM和△BPN中， ∠PME=∠PNB, PM-PN, ,.△EPM≌△BPN(ASA),..EM=BN.12.解：(1)△BPE≌ ∠MPE=∠NPB, △CQP.理由如下：经过1s后，BP=4cm,CQ=4cm,∴.BP=CQ.,正方形ABCD的 第6页（共54页）模型构建专题与正 类型1 十字模型 模型归纳 模型条件：端，点在正方形的边上的两条互相垂直的线段 模型结论：两条线段等长 解题思路：过线段端点作正方形边的平行线，分别以 这两条线段为斜边构建直角三角形，两个三角形全 等.（由两线段互相垂直得到相等，或者由线段相等得 到互相垂直.) 解题步骤：构造全等(AAS或ASA), 图示： 过点F作FM⊥BC 过点G作GN⊥DC E 1.【感知】 如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上 一点（点E不与点A,B重合），连接DE,过 点A作AF⊥DE,交BC于点F,易证：DE AF.(不需要证明) 【探究】 如图②，在正方形ABCD中，E,F分别为边 AB,CD上的点（点E,F不与正方形的顶点 重合)，连接EF,作EF的垂线分别交边 AD,BC于点G,H,垂足为O.若E为AB的 中点，DF=1,AB=4,求GH的长. 图① 图② 方形有关的常考模型 类型2对角线交点的垂直模型 模型归纳 如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,正方形A1B1C1D1的顶点D1与点O重合，则 △AOE≌2△BOF. 2.(教材P25习题T4变式)如图，正方形ABCD 的对角线AC和BD相交于点O,O又是正 方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点 E,OC1交BC于点F. (1)求证：△AOE≌△BOF: (2)如果两个正方形的边长都为a,那么正方 形A1B1CO绕点O转动时，两个正方形 重叠部分的面积等于多少？为什么？ 第一章特殊平行四边形18 类型3轴对称模型 模型归纳 如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，则 △ABE≌△CBE,△ADE≌△CDE. 3.如图，在正方形ABCD中，∠DAF=15°，AF 交对角线BD于点E,交CD于点F,连接 CE,求∠BEC的度数. 类型4正方形中“外角平分线”问题模型 模型归纳 在正方形ABCD中，点E在直线BC上，EF交 外角∠DCG的平分线（图①）或其所在直线（图②）于 点F,AE⊥EF,则有AE=EF, G 图① 图② 4.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC 上任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角 ∠DCG的平分线CF于点F.求证：AE=EF 19名师测控·数学I九年级上册(BS) 类型5“手拉手”模型 模型归纳 四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形. 结论：(1)BD⊥CF;(2)BD=CF;(3)AO平分 ∠BOC;(4)S△AB=S△AFD· 5.【问题原型】如图①，四边形ABDE,AGFC 都是正方形，AB>AC,连接CE,BG.求证： BG=CE; 【发现结论】如图②，设图①中的直线CE与 直线BG交于点H.求证：EH⊥BG 图① 图② 6.如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB= 90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转 90°得到△CBE(点A的对应，点为点C).延 长AE交CE于点F,连接DE. (1)试判断四边形BEFE的形状，并说明理由； (2)若AB=10,BE=6,求DE的长. 0 类型6半角模型 模型归纳 D 45 延长CB至点G 45 使得BG=DF 连接AG G 在正方形ABCD中，“∠EAF=45”和“BE十 DF=EF”可以互相推导！ 7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点， F是AD延长线上一点，且DF=BE (1)求证：CE=CF; (2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE= BE+GD成立吗？为什么？ D 第一章特殊平行四边形20