第一章 3 正方形的性质与判定-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

14 3　正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 ▶ “答案与解析”见P7 1. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 为正方形,点C 的坐标为(3,2),则点A 的坐 标为 ( ) A. (-2,2) B. (-2,3) C. (-3,2) D. (-3,3) (第1题) (第2题) 2. (2024·吉林)如图,正方形ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,E 是OA 的中点,F 是 OD 上一点,连接EF.若∠FEO=45°,则EFBC 的值为 . 3. 如图,在正方形ABCD 的内部作等边三角形 ABE,连接DE,CE,DB. (1) 求证:CE=DE. (2) 求∠EDB 的度数. (第3题) 4. 如图,在正方形ABCD 中,E 为AB 边上一 点,AE=3,BE=1,∠EDC 的平分线交BC 于点F,G 是DE 的中点,则GF 的长为 ( ) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 (第4题) (第5题) 5. ★如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 交 于点O,M 是边AD 上一点,连接OM,过点 O 作ON⊥OM,交CD 于点N.若四边形 MOND 的面积是1,则AB 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 6. 如图,边长为 2的正方形ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点O,点E 在BD 上,DE 与 DC 关于直线DF 对称,连接CE,交DF 于点 F,DF 交AC 于点M,则OM 的长为 ( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3-1 D. 2-1 (第6题) (第7题) 7. 如图,在直线AP 上方有一个正方形ABCD, ∠PAD=30°,以点B 为圆心,AB 长为半径 作弧,与AP 交于点A,M,分别以点A,M 为 圆心,AM 长为半径作弧,两弧交于点E,连 接ED,则∠ADE 的度数为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 15 8. 如图,在正方形ABCD 中,E,F 分别是AB, CD 的中点,AF,DE 相交于点M,G 为BC 上一点,N 为EG 的中点.若BG=3,CG=1, 则线段MN 的长为 . (第8题) 9. 将正方形ABCD 和菱形EFGH 按照如图所 示的方式摆放,顶点D 与顶点H 重合,菱形 EFGH 的对角线HF 经过点B,点E,G 分 别在AB,BC 上. (1) 求证:△ADE≌△CDG. (2) 若AE=BE=2,求BF 的长. (第9题) 10. 新考法·项目式学习 小红在学习了 正方形的性质后,进一步进行以下 探究活动:在正方形ABCD 的边 BC 上任意取一点G,以BG 为边向外作正 方形BEFG,将正方形BEFG 绕点B 顺时 针旋转. (1) 如图①,当BG 在BC 上时,连接DF, AC 相交于点P,小红发现P 恰为DF 的中 点.针对小红发现的结论,请给出证明. (2) 如图②,在(1)的条件下,连接EG 并延 长,与DF 相交,小红发现交点恰好也是 DF 的中点P.根据小红发现的结论,请判 断△APE 的形状,并说明理由. (3) 如图③,将正方形BEFG 绕点B 按顺 时针方向旋转α,连接DF,P 是DF 的中 点,连接AP,EP,AE,则△APE 的形状是 否发生改变? 请说明理由. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形 16 第2课时 正方形的判定 ▶ “答案与解析”见P9 1. 一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件 便得到正方形:a. 两组对边分别相等;b. 一 组对边平行且相等;c. 一组邻边相等;d. 一 个角是直角.有下列添加条件的次序:① a→ c→d;② b→d→c;③ a→b→c.其中,正确 的是 ( ) A. ① B. ③ C. ①② D. ②③ 2. (2024·龙东地区)如图,在菱形ABCD 中, 对角线AC,BD 相交于点O,请添加一个条 件: ,使得菱形ABCD 为 正方形. (第2题) 3. 如图,在△ABC 中,∠CAB=90°,AD 是BC 边上的中线,以AD,CD 为边作▱ADCF,连 接BF,分别与AD,AC 相交于点E,G. (1) 当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADCF 为正方形? 请说明理由. (2) 在(1)的条件下,若AB=62,求EF 的长. (第3题) 4. 如图,正方形ABCD 的边长为2,G 是对角线 BD 上一动点,GE⊥CD 于点E,GF⊥BC 于 点F,连接AG,EF.下列结论错误的是( ) A. AG=EF B. 若BG=AB,则∠DAG=22.5° C. 若G 为BD 的中点,则四边形CEGF 是 正方形 D. BF=EF (第4题) (第5题) 5. 如图,在矩形ABCD 中,AD>AB,点E,F 分别在边AD,BC 上,EF∥AB,AE=AB, AF 与BE 相交于点O,连接OC.若BF= 2CF,则OC与EF之间的数量关系为 ( ) A. 2OC=5EF B. 5OC=2EF C. 2OC=3EF D. OC=EF 6. 将图①中两个三角形按如图②所示的方式摆 放,其中四边形ABCD 为矩形,连接PQ, MN.甲认为若四边形ABCD 为正方形,则 四边形PQMN 必是正方形.乙认为若四边 形PQMN 为正方形,则四边形ABCD 必是 正方形.下列判断正确的是 ( ) (第6题) A. 甲正确,乙不正确 B. 甲不正确,乙正确 C. 甲、乙都不正确 D. 甲、乙都正确 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 17 7. 如图,在△ABC 中,O 是AC 上一动点,过点 O 作直线MN∥BC,设MN 交∠BCA 的平 分线于点E,交△ABC 的外角∠ACD 的平 分线于点F,连接AE,AF.如果点O 运动到 AC 的 中 点 处,那 么 当∠ACB 的 度 数 为 时,四边形AECF 是正方形. (第7题) 8. 如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 交于点O, 以点B 为圆心,12AC 长为半径画弧,以点C 为圆心,1 2BD 长为半径画弧,两弧交于点 P,连接BP,CP. (1) 试判断四边形BPCO 的形状,并说明 理由. (2) 当▱ABCD 的对角线满足什么条件时, 四边形BPCO 是正方形? 请说明理由. (第8题) 9. 以四边形ABCD 的边AB,BC,CD, DA 为斜边分别向外侧作等腰直角 三角形,直角顶点分别为E,F,G, H,顺次连接这四个点,得到四边形EFGH. (1) 如图①,当四边形ABCD 为正方形时,我 们发现四边形EFGH 是正方形;如图②,当 四边形 ABCD 为矩形时,请判断四边形 EFGH 的形状(不要求说明理由). (2) 如图③,当四边形ABCD 为平行四边形 时,设∠ADC=α(0°<α<90°). ① 试用含α的代数式表示∠HAE. ② 求证:HE=HG. ③ 判断四边形EFGH 的形状,并说明理由. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　特殊平行四边形 (2) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠ABC=90°. ∵ E 为AC的中点, ∴ BE=CE=BC= 1 2AC. ∴ △BCE 是等边三角形. ∴ ∠CBE=60°. ∴ ∠ABE=90°-60°=30°. 7. (1) 四边形PECF 是矩形. 理由:∵ 在△ABC 中,AC2+BC2= 32+42=52=AB2, ∴ △ABC 是 直 角 三 角 形,且 ∠ACB=90°. ∵ PE⊥AC,PF⊥BC, ∴ ∠PEC=∠ACB=∠CFP=90°. ∴ 四边形PECF 是矩形. (2) CM 的长会改变. 连接PC. 由(1),得四边形PECF 是矩形. ∴ EF=PC. ∵ M 为EF 的中点, ∴ M 也是PC的中点. ∴ CM=12PC. 过点C 作CD⊥AB 于点D,当点P 运动到点D 的位置时,PC 最短,此时 易得PC=AC ·BC AB = 3×4 5 =2.4. ∵ 点P 在斜边AB 上(不与点A,B 重合), ∴ PC<BC=4. ∴ PC 长 的 取 值 范 围 是 2.4≤ PC<4. ∴ CM 长 的 取 值 范 围 是 1.2≤ CM<2. 8. (1) PE+PF=125. 理由:如图①,连接OP,设点C到BD 的距离为h1. 在矩 形 ABCD 中,AB=CD =4, AD=BC=3,∠BCD=90°. 在Rt△BCD 中, BD= BC2+CD2= 32+42=5. ∵ S△BCD= 1 2BD ·h1= 1 2BC ·CD, ∴ 5h1=3×4,解得h1= 12 5. ∵ 四边形ABCD 为矩形, ∴ OC=OD. ∵ S△COD=S△DOP+S△COP, ∴ 1 2OD ·h1= 1 2OD ·PE + 1 2OC ·PF. ∴ PE+PF=h1= 12 5. (2) PE+PF=125. 理由:如图②,连接OP,设点O 到AD 的距离为h2. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠ADC=90°,OD=OA=OC= OB,AC=BD=5. ∴ OD=OA=12AC= 5 2 ,易得h2= 1 2CD=2. ∵ S△AOD=S△OPD+S△OPA, ∴ 1 2AD ·h2= 1 2OD ·PE+ 1 2OA ·PF. ∴ 1 2×3×2= 1 2× 5 2PE+ 1 2× 5 2PF. ∴ PE+PF=125. (3) PE-PF=125. 如图③,连接OP,BP. ∵ S△BPD=S△COD+S△COP+S△BOP, ∴ 1 2BD ·PE= 12OD ·12 5 + 1 2OC ·PF+12OB ·PE. ∴ 2PE=125+PF+PE. ∴ PE-PF=125. (第8题) 3　正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 1. B 2. 1 2 3. (1) ∵ △ABE 为等边三角形, ∴ ∠EAB = ∠EBA =60°,AE = BE=AB. ∵ 四边形ABCD 为正方形. ∴ AD = BC = AB,∠DAB = ∠CBA=90°. ∴ ∠DAE=∠CBE=90°-60°= 30°,AD=AE=BC=BE. 在△ADE 和△BCE 中, AD=BC, ∠DAE=∠CBE, AE=BE, ∴ △ADE≌△BCE. ∴ DE=CE. (2) ∵ BD 是正方形ABCD 的对 角线, ∴ ∠ADB=45°. ∵ ∠DAE=30°,AD=AE, ∴ ∠ADE=12× (180°-30°)=75°. ∴ ∠EDB = ∠ADE - ∠ADB = 75°-45°=30°. 4. B 5. C 解析:∵ 四边形ABCD 为正方 形,∴ OD= 12BD ,OC= 12AC , AC=BD,AC⊥BD,易得∠MDO= ∠NCO=45°.∴ OD=OC,∠DOC= 90°.∵ ON ⊥OM,∴ ∠MON = ∠DOC=90°.∴ 易 得 ∠MOD = ∠NOC.∴ △OMD ≌ △ONC. ∴ S△OMD =S△ONC.∴ S四边形MOND = S△OMD+S△DON =S△ONC +S△DON = S△DOC=1.∴ S正方形ABCD=4×1=4. ∴ AB=4=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 用正方形的旋转对称性 解决其旋转问题 正方形每旋转90°便与自身重 合,也就是说正方形是旋转对称图 形,旋转中心是两对角线的交点 (中心对称图形是特殊的旋转对称 图形).过旋转中心的每对互相垂 直的直线将正方形分成的四部分 全等,进一步地,若直角的顶点在 旋转中心上,则直角无论如何旋 转,其与正方形重叠部分的面积恒 为正方形面积的1 4. 6. D 解析:∵ 四边形ABCD 是正 方形,∴ AB=AD=BC=CD= 2, ∠DCB= ∠COD = ∠BOC =90°, OD=12BD ,OC=12AC ,AC=BD. ∴ 易得BD=2.∴ OC=OD=1.由 对称,得DE=CD= 2,DF⊥CE. ∴ OE= 2-1,∠OCE+∠OEC= ∠EDF+∠FED=90°.∴ ∠OCE= ∠ODM.在 △OEC 和 △OMD 中, ∠EOC=∠MOD, OC=OD, ∠OCE=∠ODM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OEC ≌ △OMD.∴ OE =OM.∴ OM = 2-1. 7. 15°或45° 解析:∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AD=AB,∠DAB= 90°.∴ ∠ADB =45°,∠BAM = 180°-90°-30°=60°.如图,当点E 与 正方形ABCD 在直线AP 的同侧时, 由题 意,易 得 点 E 与 点 B 重 合, ∴ ∠ADE=45°.当点E'与正方形 ABCD 在直线AP 的两侧时,由题意, 得E'A=AM=E'M,∴ △AE'M 为 等边 三 角 形.∴ ∠E'AM =60°. ∴ ∠DAE'=360°-60°-60°-90°= 150°. ∵ 易 知 AD = AE', ∴ ∠ADE'=12× (180°-150°)= 15°.综上所述,∠ADE 的度数为15° 或45°. (第7题) 8. 17 2 解析:连接DG,EF.∵ 四 边形ABCD 是正方形,E,F 分别是 AB,CD 的 中 点,∴ 易 得 四 边 形 AEFD 是矩形.∴ M 是ED 的中点. 在正方形ABCD 中,BG=3,CG=1, ∴ BC=DC=4.在Rt△DGC 中,由 勾股定理,得DG= DC2+CG2= 42+12= 17.∵ M 是ED 的中 点,N 是 EG 的 中 点,∴ MN 是 △EDG 的 中 位 线.∴ MN = 1 2DG= 17 2 . 9. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AD=CD,∠A=∠C=90°. ∵ 四边形EFGH 是菱形, ∴ ED=GD. ∴ Rt△ADE≌Rt△CDG. (2) 如图,过点E 作EQ⊥DF 于点 Q,则∠EQB=90°. ∵ 四边形ABCD 是正方形,AE= BE=2, ∴ ∠A=90°,AD=AB=AE+BE= 4,易得∠EBQ=∠CBD=45°. ∴ ∠QEB=45°=∠EBQ. ∴ EQ=BQ. ∵ 在 Rt△EQB 中,EQ2+BQ2= BE2, ∴ EQ=BQ=2. ∴ DE= AD2+AE2=25. ∵ 四边形EFGH 是菱形, ∴ EF=DE=25. ∴ QF= EF2-EQ2=32. ∴ BF=QF-BQ=22. (第9题) 10. (1) 如图①,延长FG,交AC 于 点H. ∵ 四边形ABCD 和四边形BEFG 是 正方形, ∴ AB=BC=CD,FG=BG,CD∥ AE,FG∥AE,∠ABC=∠CGH = ∠BGF=90°. ∴ 易得∠ACB=45°,CD∥FG. ∴ ∠CHG=45°=∠ACB,∠CDP= ∠HFP,∠DCP=∠FHP. ∴ CG=GH. ∴ CG+BG=GH+FG. ∴ BC=FH. ∴ CD=FH. ∴ △CDP≌△HFP. ∴ DP=FP,即P 是DF 的中点. (2) △APE 是等腰直角三角形. 理由:如图②,延长EG,交AD 的延 长线于点M,设DF 和EG 交于点Q. ∵ 四边形ABCD 和四边形BEFG 是 正方形, ∴ ∠BAD=90°,AD=AB,BE= EF,AD∥BC∥EF,易得∠BAC= ∠BEG=45°. ∴ ∠M=45°,∠M=∠GEF, ∠MDQ=∠EFQ. ∴ ∠M=∠BEG. ∴ AM=AE. ∴ AM - AD = AE - AB,即 DM=BE. ∴ DM=EF. ∴ △DQM≌△FQE. ∴ DQ=FQ. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 ∴ 点Q 和点P 重合,即EG 与DF 的 交点恰好也是DF 的中点P. ∵ ∠BAC=45°,∠BEG=45°, ∴ ∠APE=90°,AP=EP. ∴ △APE 是等腰直角三角形. (3) △APE 的形状不发生改变,仍然 是等腰直角三角形. 理由:如图③,延长EP 至点Q,使 PQ=PE,连接 DQ,AQ,延长 DA, FE,交于点N. ∵ P 是DF 的中点, ∴ DP=PF. 又∵ ∠DPQ=∠FPE, ∴ △PDQ≌△PFE. ∴ DQ=FE,∠PQD=∠PEF. ∴ DQ∥EF. ∴ ∠N+∠ADQ=180°. ∵ 四边形ABCD 和四边形BEFG 是 正方形, ∴ ∠BAN=∠DAB=90°,∠BEN= ∠BEF=90°,AB=AD,BE=EF. ∴ ∠N+∠ABE=360°-∠BAN- ∠BEN=360°-90°-90°=180°, DQ=BE. ∴ ∠ABE=∠ADQ. ∴ △ADQ≌△ABE. ∴ AQ=AE,∠DAQ=∠BAE. ∴ ∠BAE + ∠BAQ = ∠DAQ + ∠BAQ=∠BAD=90°. ∴ ∠QAE=90°. ∴ AP⊥EQ,AP=PE=12EQ. ∴ △APE 是等腰直角三角形. (第10题) 第2课时 正方形的判定 1. C 2. 答案不唯一,如AC=BD 3. (1) 当△ABC 满足AC=AB 时, 四边形ADCF 为正方形. 理由:∵ ∠CAB=90°,AC=AB,AD 是BC边上的中线, ∴ AD=CD=BD,AD⊥BC. ∵ 四边形ADCF 是平行四边形,且 AD=CD, ∴ 四边形ADCF 是菱形. ∵ AD⊥BC, ∴ 四边形ADCF 为正方形. (2) 由(1),得∠ADB=90°. ∵ AD=BD,AB=62, ∴ 易得AD=BD=AF=6. ∵ 四边形ADCF 为正方形, ∴ ∠FAD=90°,AF∥CD. 在△FAE 和△BDE 中, ∠AEF=∠DEB, ∠FAE=∠BDE=90°, AF=DB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FAE≌△BDE. ∴ AE=DE=12AD= 1 2×6=3 , EF=BE. ∴ EF=BE= AF2+AE2=35. 4. D 5. A 解析:如图,过点O 作OH⊥ BC于点H.∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ AD ∥BC,∠ABC =90°. ∵ EF∥AB,∴ 四边形ABFE 是矩 形.又∵ AE=AB,∴ 四边形ABFE 是正方形.∴ EF=BF,∠BOF= 90°,OB=OF.∴ BH=HF=OH= 1 2BF= 1 2EF.∵ BF=2CF,∴ 易 得 CH = 2OH. ∴ OC = OH2+CH2= 5OH,即2OC= 5EF. (第5题) 6. B 解析:若四边形ABCD 是正方 形,则可设AB=BC=CD=AD=x, ∴ AQ=4-x,AP=3+x.∴ PQ2= AQ2 + AP2, 即 PQ = AQ2+AP2 = (4-x)2+(3+x)2.∴ x的取值不 同则PQ的长度不同.∴ 甲不正确.若 四边形PQMN 为正方形,则PQ= PN=MN=MQ=5,且∠QMD+ ∠MQD = ∠MQD + ∠AQP = ∠AQP+ ∠QPA = ∠QAP=90°. ∴ ∠QMD = ∠AQP,∠MQD = ∠QPA.在 △QMD 和 △PQA 中, ∠QMD=∠PQA, MQ=QP, ∠MQD=∠QPA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △QMD ≌ △PQA.∴ QD=PA,MD=QA.同 理,可得QD=AP=MC=BN.又 ∵ BP=MD=AQ,∴ QD-AD= PA-AB.∴ AB=AD.同理,可得 AB=CD=AD=BC,∴ 四 边 形 ABCD 为菱形.∵ ∠DAB=180°- ∠QAP=90°,∴ 四边形ABCD 为正 方形.∴ 乙正确. 7. 90° 解析:过点E 作EH⊥BD 于 点H,过点F 作FG⊥BD 于点G. ∵ CE,CF 分别为∠ACB,∠ACD 的 平 分 线,∴ ∠ECH = ∠ECO, ∠FCO=∠FCG.∴ 易得∠ECF= 90°.∵ MN ∥BC,∴ ∠FEC = ∠ECH. ∴ ∠FEC = ∠ECO. ∴ OE=OC.同理,可得OC=OF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 ∴ OE=OF.∵ 点O 运动到AC的中 点处,∴ OA=OC.∴ 四边形AECF 为矩形.若∠ACB=90°,则 AC⊥ BD.∵ MN∥BC,∴ AC⊥MN,即 AC⊥EF.∴ 四 边 形 AECF 为 正 方形. 8. (1) 四边形BPCO 为平行四边形. 理由:∵ 四边形ABCD为平行四边形, ∴ OC=OA=12AC ,OB=OD= 1 2BD. 由题意,得BP=12AC ,CP=12BD. ∴ OB=CP,BP=OC. ∴ 四边形BPCO 为平行四边形. (2) 当AC⊥BD,AC=BD 时,四边 形BPCO 为正方形. 理由:∵ AC⊥BD, ∴ ∠BOC=90°. ∵ AC=BD,OB= 12BD ,OC= 1 2AC , ∴ OB=OC. ∵ 四边形 BPCO 为平行四边形, ∴ 四边形BPCO 为正方形. 9. (1) 四边形EFGH 是正方形. (2) ① ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB∥CD. ∴ ∠BAD = 180°- ∠ADC = 180°-α. ∵ △HAD 和△EAB 都是等腰直角 三角形, ∴ ∠HAD=∠EAB=45°. ∴ ∠HAE =360°- ∠HAD - ∠EAB-∠BAD=360°-45°-45°- (180°-α)=90°+α. ② ∵ △EAB 和△DGC 都是等腰直 角三角形, ∴ ∠EAB = ∠EBA = ∠GDC = ∠GCD=45°. 又∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=DC. ∵ ∠EAB = ∠GDC,∠EBA = ∠GCD, ∴ △AEB≌△DGC. ∴ AE=DG. ∵ △HAD 是等腰直角三角形, ∴ HA=HD,∠HDA=45°. ∴ ∠HDG= ∠HDA + ∠ADC+ ∠GDC=90°+α. 由①,得∠HAE=90°+α. ∴ ∠HAE=∠HDG. ∴ △HAE≌△HDG. ∴ HE=HG. ③ 四边形EFGH 是正方形. 理由:由②,同 理 可 得 GH =GF, GF=EF. ∵ HE=HG, ∴ HG=HE=EF=GF. ∴ 四边形EFGH 是菱形. 由②,得△HAE≌△HDG. ∴ ∠AHE=∠DHG. 又∵ △HAD 是等腰直角三角形, ∴ ∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°. ∴ ∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°. ∴ 四边形EFGH 是正方形. 专题特训一　与正方形有关的 四个常考模型 1. (1) AE=DF. (2) 如图①,过点E 作EM⊥BC于点 M,则易得四边形 ABME 为矩形. ∴ AB=EM. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠C=90°,AB=BC. ∴ EM=BC. ∵ EM⊥BC, ∴ ∠EMF=90°. ∴ ∠EMF = ∠C, ∠MEF + ∠EFM=90°. ∵ BG⊥EF, ∴ ∠CBG+∠EFM=90°. ∴ ∠CBG=∠MEF. 在△BCG 和△EMF 中, ∠CBG=∠MEF, BC=EM, ∠C=∠EMF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BCG≌△EMF. ∴ BG=EF. (3) 如图②,连接MN. ∵ 点M,N 关于EF 对称, ∴ MN⊥EF. 过点E 作EH⊥BC 于点H,过点M 作MG⊥CD于点G,则易得EH⊥MG. 由(2),同理可得△EHF≌△MGN. ∴ HF=GN. ∵ 易知AE=BH=2,BF=5, ∴ GN=HF=5-2=3. 又∵ 易知GC=MB=1, ∴ CN=NG+CG=3+1=4. (第1题) 2. (1) EF=BE+DF. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=DA,∠BAD=90°. ∴ ∠BAE+∠DAF=90°. ∵ BE⊥MN,DF⊥MN, ∴ ∠BEA=∠AFD=90°,∠DAF+ ∠ADF=90°. ∴ ∠BAE=∠ADF. 在△ABE 和△DAF 中, ∠BEA=∠AFD, ∠BAE=∠ADF, AB=DA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△DAF. ∴ BE=AF,AE=DF. ∴ EF=AF+AE=BE+DF. (2) EF=BE-DF. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=DA,∠BAD=90°. ∴ ∠BAE+∠DAF=90°. ∵ BE⊥MN,DF⊥MN, ∴ ∠BEA=∠AFD=90°,∠DAF+ ∠ADF=90°. ∴ ∠BAE=∠ADF. 在△ABE 和△DAF 中, ∠BEA=∠AFD, ∠BAE=∠ADF, AB=DA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01