第21章 二次函数与反比例函数 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

(3) 如图②,过点C作CN⊥AD 于点 N,CM ⊥AB 交 AB 的 延 长 线 于 点M. ∵ ∠BAD=90°,即AB⊥AD, ∴ ∠A=∠M=∠CNA=90°. ∴ 四边形AMCN 是矩形. ∴ AM=CN,AN=CM. 在△BAD 和△BCD 中, AD=CD, AB=BC, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAD≌△BCD. ∴ ∠BCD=∠A=90°. ∴ ∠ABC+∠ADC=360°-∠A- ∠BCD=180°. ∵ ∠ABC+∠CBM=180°, ∴ ∠ADC=∠CBM,即∠MBC= ∠NDC. ∵ ∠CND=∠M=90°, ∴ △BCM∽△DCN. ∴ BM DN= BC CD= AB AD= 2 3. 设BM=2y,则DN=3y,设AB= BC=2x,则AD=CD=3x, ∴ CN=AM=AB+BM=2x+2y. 在 Rt△CND 中,由 勾 股 定 理,得 DN2+CN2=CD2. ∴ (3y)2+(2x+2y)2=(3x)2, 解得5x=13y或x=-y(舍去). ∵ ∠ADE + ∠CFN = ∠NCF + ∠CFN=90°, ∴ ∠ADE=∠NCF. 又∵ ∠DAE=∠CNF=90°, ∴ △ADE∽△NCF. ∴ CF DE= CN AD= 2x+2y 3x = 12 13. (第4题) 拔尖测评 第21章拔尖测评 一、 1. C 2. B 3. C 4. B 5. C 6. C 7. A 解析:∵ 抛 物 线 C2:y= -(x-2)2-1开口向下,顶点坐标为 (2,-1),∴ 无论 m 取何值,都有 n2<0,故甲说得对.∵ 抛物线C1: y=-(x+1)2+2的顶点坐标为 (-1,2),抛物线C2:y=-(x-2)2- 1的顶点坐标为(2,-1),∴ 将抛物线 C1:y=-(x+1)2+2先向右平移 3个单位,再向下平移3个单位得到抛 物线C2:y=-(x-2)2-1.∴ 点P 移 动 到 点 P' 的 最 短 路 程 为 32+32 =32,故 乙 说 得 对. ∵ PQ=|-(m+1)2+2+(m- 2)2+1|=|-6m+6|,∴ 当-3< m<1时,PQ=-6m+6.∴ PQ 随着 m 的增大而减小.∴ 当-3<m<1 时,随着m 的增大,线段PQ 由长变 短,故丙说得不对. 8. D 解析:连接 AC.∵ 四边形 AECD 的面积是△ABE 面积的3倍, ∴ S△ABE = 1 4S▱ABCD = 1 2S△ABC. ∴ E 是BC 的中点.∵ 点E 在y 轴 上,横坐标是0,∴ B,C 两点的横坐 标互为相反数.设点C的横坐标为a, 则点B 的横坐标为-a.∵ 点A 的坐 标为(0,-2),点 D 的横坐标为3, ∴ a-(-a)=3-0.∴ a=1.5.设 D(3,b).∵ C,D 两点在反比例函数 y=kx-1 的图象上,∴ 点C 的纵坐 标为3b 1.5=2b.∴ C(1.5,2b).∵ A(0, -2),B(-1.5,0),C(1.5,2b),D(3, b),且四边形ABCD 是平行四边形, ∴ 2b-b=0-(-2).∴ b=2. ∴ D(3,2).∴ k=3×2=6. 9. A 解析:∵ 一次函数y=-x+b 的图象经过第一、二、四象限,∴ b> 0.∴ 函数y=x2-bx+k-1的图象 开口向上,对称轴为直线x=b2>0. 由图象可知,反比例函数y= k x 在第 一象限内的图象与一次函数y= -x+b的图象有两个交点(1,k)和 (k,1),∴ -1+b=k.∴ b=k+1. ∴ 对于函数y=x2-bx+k-1,当 x=1时,y=1-b+k-1=-1.∴ 函 数y=x2-bx+k-1的图象过点 (1,-1).∵ 反比例函数y= k x 在第 一象限内的图象与一次函数y= -x+b的图象有两个交点,∴ 方程 k x=-x+b 有两个不相等的实数 根.∴ Δ=b2-4k=(k+1)2-4k= (k-1)2>0.∴ k-1≠0.∴ 对于函 数y=x2-bx+k-1,当x=0时, y=k-1≠0.∴ 函数y=x2-bx+k- 1的图象不过原点.∴ 符合以上条件的 只有A选项. 10. B 解析:由题意,可得当0<t≤2 时,点P在边AD 上,AP=2tcm,CQ= tcm,S=12CQ ·CD=2t.当2<t<4 时,点P 在边CD 上,如图.∵ AD+ CD=8cm,∴ CP=(8-2t)cm. ∴ S= 12CQ ·CP=-t2+4t= -(t-2)2+4.∵ -1<0,∴ 抛物线 开口向下,当2<t<4时,S 随t的增 大而减小.故符合题意的只有选项B. (第10题) 二、 11. -1 12. -7≤y<9 13. 6 解析:如图,以AB 的中点为 原点,1米为1个单位建立平面直角 坐标系,则易得顶点C 的坐标为(0, 12),B(8,0).设抛物线对应的函数表 达式为y=mx2+12,将B(8,0)代 入,得0=64m+12.∴ m=-316. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 55 y=- 3 16x 2+12.∵ 显示屏底部距离 地面至少8米,∴ 令y=8+1=9,得 9=-316x 2+12,解得x1=4,x2= -4.∴ D(4,9).又∵ 显示屏 M,N 处距离左右墙壁各留至少1米的维修 空间,∴ PQ=MN=2×(4-1)= 6(米).∴ 宽PQ 的最大长度为6米. (第13题) 14. ②④⑤ 解析:∵ 抛物线的开口 向下,∴ a<0.∵ 对称轴在y轴的左 侧,∴ a,b同号,即b<0.∴ ab>0. 故①不正确;∵ 抛物线的顶点坐标为 -32 ,m ,∴ 对称轴是直线x= -b2a=- 3 2.∴ b=3a,即b-3a=0. 故②正确;∵ 抛物线的顶点坐标为 -32 ,m ,∴ 函数的最大值为y= m,即ax2+bx+2≤m.∴ ax2+ bx≤m-2.故③不正确;∵ 抛物线的 对 称 轴 是 直 线 x = - 32 ,而 -4.5+1.5 2 =- 3 2 ,点(-4.5,y1)和 点(1.5,y2)都 在 此 函 数 图 象 上, ∴ y1=y2.故④正确;∵ 函数y= ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点坐 标为 -32 ,m ,∴ 94a-32b+2= m,即9a-6b=4m-8.∵ b=3a, ∴ 9a-18a=4m-8,即9a=8-4m. 故⑤正确.综上所述,正确的有② ④⑤. 15. (1) 3 解析:在Rt△OAB 中, AB=2,∠AOB=30°,∴ OB=4, OA=23.∴ A(23,0),B(23, 2).∵ C 是OB 的中点,∴ OC= BC=AC= 12OB=2. 过点 C 作 CP⊥OA 于点P.∴ 易得△OPC≌ △APC (HL).∴ OP = AP = 1 2OA= 3. 在 Rt△OPC 中,PC= OC2-OP2= 4-3=1,∴ C(3, 1).∵ 反比例函数y= k x (k>0)的图 象经过斜边OB 的中点C,∴ 1=k 3 , 解得k=3. (2) 4 解析:设直线AC 对应的函数 表达式为y=k1x+b(k1≠0).把 A(23,0),C(3,1)代 入,得 23k1+b=0, 3k1+b=1, 解得 k1=- 3 3 , b=2. ∴ 直 线AC 对应的函数表达式为y= - 33x+2.∵ AC∥BD,∴ 易得直线 BD 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y = - 33x+4.∵ 点D 既在反比例函数 图象上,又在直线BD 上,∴ 联立,得 y= 3 x , y=- 3 3x+4 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 x1=23+3, y1=2-3, x2=23-3, y2=2+3. 当 点 D 的 坐 标 为 (23+3,2- 3)时,BD2=(23+ 3-23)2+(2- 3-2)2=9+3= 12,∴ OB2-BD2=16-12=4;当点 D 的坐标为(2 3-3,2+ 3)时, BD2=(23-3-23)2+(2+ 3- 2)2=9+3=12,∴ OB2-BD2=16- 12=4.综上所述,OB2-BD2 的值 为4. 三、 16. (1) ∵ 抛物线y=x2+bx+ c经过点A(3,0),B(0,-3), ∴ 9+3b+c=0, c=-3. ∴ b=-2, c=-3. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-2x-3. ∵ y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-4). (2) 设直线AB 对应的函数表达式为 y=kx+n. 把A (3,0),B(0,-3)代 入,得 3k+n=0, n=-3, 解得 k=1 , n=-3. ∴ 直线AB 对应的函数表达式为y= x-3. ∵ AB 与该抛物线的对称轴交于 点P,抛物线的对称轴为直线x=1, ∴ 当x=1时,y=1-3=-2. ∴ 点P 的坐标为(1,-2). 17. (1) 当0≤x≤4时,设直线对应 的函数表达式为y=kx(k≠0). 将(4,8)代入,得8=4k,解得k=2. ∴ 直线对应的函数表达式为y=2x. 当4<x≤10时,设反比例函数的表 达式为y= a x . 将(4,8)代入,得8=a4 ,解得a=32. ∴ 反比例函数的表达式为y= 32 x. ∴ 血液中药物浓度上升阶段的函数表 达式为y=2x(0≤x≤4),下降阶段的 函数表达式为y= 32 x (4<x≤10). (2) 在y=2x中,当y=4时,4=2x, 解得x=2.在y= 32 x 中,当y=4时, 4=32x ,解得x=8. ∵ 8-2=6(时), ∴ 血液中药物浓度不低于4微克/毫 升的持续时间为6小时. 18. (1) 把A(2,0),B(0,-4)代入 y = - 1 2x 2 + bx + c, 得 -12×2 2+2b+c=0, c=-4, 解得 b=3,c=-4. ∴ 这个二次函数的表达式为y= -12x 2+3x-4. (2) ∵ 该二次函数图象的对称轴为 直线x=- 3 2× -12 =3, ∴ 点C的坐标为(3,0). ∴ AC=OC-OA=3-2=1. ∴ S△ABC= 1 2AC ·OB=12×1× 4=2. 19. (1) 将A(1,2),C(4,0)代入y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 kx+b,得 k+b=2, 4k+b=0, 解得 k=-23 , b=83. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线 AC 对应的函数表达式为 y=- 2 3x+ 8 3. 将A(1,2)代入y= m x (x>0),得2= m 1 ,解得m=2. ∴ 双曲线对应的函数表达式为y= 2 x (x>0). (2) ∵ 直线AC:y=- 2 3x+ 8 3 与 y轴交于点D, ∴ 点D 的坐标为 0,83 . ∵ 直线AC:y=- 2 3x+ 8 3 与双曲 线:y= 2 x (x>0)相交于A(1,2),B 两点, ∴ 联立,得 y=- 2 3x+ 8 3 , y= 2 x (x>0), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x1=1, y1=2, x2=3, y2= 2 3. ∴ 点B 的坐标为 3,23 . ∴ S△AOB=S△COD-S△BOC-S△AOD= 1 2×4× 8 3- 1 2×4× 2 3- 1 2× 8 3× 1=83. (3) 当x>0时,关于x 的不等式 kx+b>mx 的解集是1<x<3. 20. (1) 把(-1,5)代入y=x2- (m+1)x+2m+3,得5=1+m+1+ 2m+3,解得m=0. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-x+3. (2) ∵ y=x2-(m+1)x+2m+3= x2-mx-x+2m+3=x2-x+ m(-x+2)+3,当x=2时,y=5, ∴ 抛物线开口向上,经过定点(2,5). 设EF 所在直线对应的函数表达式为 y=kx+b(k≠0). 将 E(-1,-1),F(3,7)代入y= kx+b,得 -1=-k+b, 7=3k+b, 解得 k=2 , b=1. ∴ y=2x+1. 将x=2代入y=2x+1,得y=5. ∴ 点(2,5)在直线y=2x+1上. 如图①,当x=-1时,抛物线在点E 的下方,符合题意. 把x=-1代入y=x2-(m+1)x+ 2m+3,得y=5+3m. ∴ 5+3m<-1,解得m<-2. 如图②,当x=3时,抛物线在点F 的 下方,符合题意. 把x=3代入y=x2-(m+1)x+ 2m+3,得y=9-m. ∴ 9-m<7,解得m>2. 令x2-(m+1)x+2m+3=2x+1. 整理,得x2-(m+3)x+2m+2=0. 当(m+3)2-4(2m+2)=0时,符合 题意. ∴ m1=m2=1. 综上所述,当 m<-2或 m>2或 m=1时,符合题意. ∵ 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x= -- (m+1) 2 = m+1 2 , ∴ 该抛物线的顶点的横坐标的取值 范围是x<-12 或x>32 或x=1. (第20题) 21. (1) w= -x2+52x+620(1≤x≤30), -40x+2480(31≤x≤60). (2) 当1≤x≤30时,w=-x2+ 52x+620=-(x-26)2+1296. ∵ -1<0, ∴ 当x=26时,w 有最大值,最大值 为1296. 当31≤x≤60时,w=-40x+2480. ∵ -40<0, ∴ 当x=31时,w 有最大值,最大值 为-40×31+2480=1240. ∵ 1296>1240, ∴ 这种商品在第26天的日销售利润 最大,最大日销售利润是1296元. 22. (1) ∵ C(0,3), ∴ 正方形OABC的边长为3. ∵ AD=2DB,AM=2MO, ∴ AD=2,OM=1. ∴ 易得D(-3,2),M(-1,0). 将D(-3,2)代入y= k x ,得k=-6. ∴ 反比例函数的表达式为y=- 6 x. 将D(-3,2),M(-1,0)代入y= ax+b,得 -3a+b=2, -a+b=0, 解得 a=-1 , b=-1. ∴ 一次函数的表达式为y=-x-1. (2) 设P(x,y).由题意,知S△OMP= 1 2OM ·|y|=3. ∴ |y|=6,解得y=±6. 将y=6代入y=- 6 x 中,得x=-1. ∴ P1(-1,6). 将y=-6代入 y=- 6 x 中,得x=1. ∴ P2(1,-6). ∴ 点P 的坐标为(-1,6)或(1,-6). 23. (1) ∵ 抛物线y=-x2+bx+c 过点(-2,-5),(2,3), ∴ -4-2b+c=-5, -4+2b+c=3, 解得 b=2 , c=3. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=-x2+2x+3. (2) 在y=-x2+2x+3中,当x=0 时,y=3. ∴ 点C的坐标为(0,3). 当y=0时,即-x2+2x+3=0,解得 x=3或x=-1. ∵ 点A 位于点B 的左侧, ∴ 点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐 标为(3,0). ① 设点P 的横坐标为a(0<a<3), 则点P 的纵坐标为-a2+2a+3. 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+n.将(3,0),(0,3)代 入,得 n=3, 3k+n=0, 解得 k=-1 , n=3. ∴ 直线 BC 对应的函数表达式为 y=-x+3. ∴ 点Q 的纵坐标为-a+3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 75 ∴ PQ=-a2+2a+3-(-a+ 3)=-a2+3a=- a-32 2 +94. ∵ -1<0, ∴ 此抛物线的开口向下. ∵ 0<a<3, ∴ 当a=32 时,PQ 有最大值94 ,此 时点P 的坐标为 32 ,15 4 . ② 存在以B,C,M 为顶点的三角形 是直角三角形. ∵ 抛物线y=-x2+2x+3的对称 轴为直线x=- 22×(-1)=1 , ∴ 设点M 的坐标为(1,m).分两种情 况:(i) 如图①,以BC 为直角边,则 BC2+CM21=BM21 或BC2+BM22= CM22, ∴ 18+1+(m-3)2=4+m2 或18+ 4+m2=1+(m-3)2,解得m=4或 m=-2. ∴ 点M1的坐标为(1,4),点M2的坐 标为(1,-2). (ii) 如图②,以BC为斜边,则BC2= CM2+BM2, ∴ 18=1+(m-3)2+4+m2.整理,得 m2-3m-2=0,解得m=3± 172 . ∴ 点 M3 的 坐 标 为 1,3+ 172 , 点M4的坐标为 1,3- 172 . 综上所述,点M 的坐标为(1,-2)或(1, 4)或 1,3+ 172 或 1,3- 172 . (第23题) 第22章拔尖测评 一、 1. C 2. B 3. C 4. D 5. A 6. D 7. B 解析:∵ OF=30cm,GF= 50cm,∴ OG=GF-OF=20cm. ∵ CD∥AB,∴ △COD∽△BOA. ∴ CD BA= OG OF= 2 3. 又∵ AB=40cm, ∴ CD 40= 2 3 ,解得CD=803cm. 故 选B. 8. D 解析:如图,过点D 作GD∥EC 交AB 于点G.∵ AD 是BC 边上的 中线,∴ BG GE= BD DC=1.∴ BG=GE= 1 2EB.∵ GD∥EC,∴ AE EG= AF FD= 1 5.∴ AE=EG5.∴ AE ∶EB = EG 5∶2EG=1∶10. 故选D. (第8题) 9. A 解析:当3,4为直角边长,6,8 也为直角边长时,此时两个三角形相 似,不合题意.当三边长分别为3,4, 7和6,8,27时,此时两个三角形相 似,不合题意.当3,4为直角边长, m=5时,令8为另一直角三角形的斜 边长,其直角边长n= 82-62 = 27,此时两个直角三角形不相似,符 合题意.故m+n=5+27.当6,8为 直角边长,n=10时,令4为另一直角 三角形的斜边长,其直角边长 m= 42-32=7,此时两个直角三角形 不相似,符合题意.故m+n=10+ 7.综上所述,m+n 的值为5+27 或10+7. 10. A 解析:如图,过点B 作BH⊥ AD 于点 H.∵ △DAB∽△DCA, ∴ DA DC= BD AD.∴ 12 BD+10= BD 12 ,解得 BD=8(负 值 舍 去).由△DAB∽ △DCA,得ACAB= AD BD= 3 2.∴ AC= 3 2AB.∵ AC2=AB(AB+BC), BC=10,∴ 3 2AB 2 =AB(AB+ 10),解得AB=8或AB=0(不合题 意,舍去).∴ AB=BD=8.∵ BH⊥ AD,AB=BD,∴ AH=12AD=6. 在Rt△ABH 中,BH= AB2-AH2= 82-62 =27.∵ AD =3AP, AD=12,∴ AP=4.∵ 当PQ⊥AB 时,PQ 的 值 最 小,∴ ∠AQP = ∠AHB = 90°.又 ∵ ∠PAQ = ∠BAH,∴ △PAQ ∽ △BAH. ∴ PA BA= PQ BH ,即4 8= PQ 27 .∴ PQ= 7.故选A. (第10题) 二、 11. 98.9 12. 2 13. 6cm2 解析:∵ △ABC 是面积 为18cm2的等边三角形,被一矩形所 截,AB 被截成三等分,EH∥BC, ∴ EH∥FG,AE=EF=BF.∴ EH∥ FG∥BC.∴ △AEH ∽ △AFG ∽ △ABC.∴ S△AEH S△ABC= AE AB 2 = 13 2 = 1 9 ,S△AFG S△ABC = AF AB 2 = 23 2 = 49. ∵ S△ABC=18cm2,∴ S△AEH=2cm2, S△AFG=8cm2.∴ S涂色 =S△AFG - S△AEH=6cm2. 14. 1+ 17 2 解析:如图,连接CE,过 点E作EF⊥BC于点F.设BD=x,则 BC=BD+CD=x+2.∵ ∠ACB= 90°,E 为AD 的中点,∴ CE=AE= DE= 12AD.∴ ∠CAE=∠ACE, ∠ECD=∠EDC.∴ ∠CED=2∠CAD. ∵ BE=BC,∴ ∠ECD=∠BEC. ∴ ∠EDC=∠BEC.又∵ ∠ECD= ∠BCE,∴ △ECD∽△BCE.∴ CE BC= CD CE ,∠CED=∠CBE.∴ CE2=CD· BC=2(x+2)=2x+4.∵ AD 平分 ∠CAB,∴ ∠CAB = 2∠CAD. ∴ ∠CAB = ∠CED.∴ ∠CAB = ∠CBE.∵ ∠ACB=∠BFE=90°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 85 数学(沪科版)九年级上 1 第21章拔尖测评 ◎ 满分:120分 ◎ 时间:120分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 下列y关于x的函数中,一定是二次函数的是 ( ) A. y=ax2+bx+c B. y=(x-5)2-x2 C. y=x2+1 D. y= 2 x2 2. 已知抛物线y=x2-4x+5,下列结论错误的是 ( ) A. 抛物线开口方向向上 B. 当x<2时,y随x的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线x=2 D. 抛物线与y轴的交点坐标为(0,5) 3. 设A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)是抛物线y=- 1 2x- 1 2 2 +k上的三个点,则y1,y2,y3 的大小关系是 ( ) A. y1<y2<y3 B. y2<y1<y3 C. y3<y1<y2 D. y2<y3<y1 4. 已知二次函数y=x2+2x-10中x,y的一些对应值如下表: x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … y … -1.39 -0.76 -0.11 0.56 1.25 … 则可以估计x2+2x-10=0中x的一个近似值为 ( ) A. 2.2 B. 2.3 C. 2.4 D. 2.5 5. 如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= k x (k>0)的图象交于点A(1,2),B(m,-1), 则关于x的不等式ax+b>kx 的解集是 ( ) A. x<-2或0<x<1B. x<-1或0<x<2C. -2<x<0或x>1D. -1<x<0或x>2 (第5题) (第7题) 6. 一位篮球运动员跳起投篮,篮球运动的高度y(米)关于篮球运动的水平距离x(米)的函数表 达式为y=- 1 5 (x-2.5)2+3.5.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米,如果篮球运动的高 度达到最高点之后能准确投入篮圈,那么篮球运动的水平距离为 ( ) A. 1米 B. 2米 C. 4米 D. 5米 7. 学习“二次函数的图象和性质”时,九年级某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究:如图,将 抛物线C1:y=-(x+1)2+2平移到抛物线C2:y=-(x-2)2-1,点P(m,n1),Q(m,n2)分 别在抛物线C1,C2上. 甲:“无论m 取何值,都有n2<0.” 乙:“若点P 平移后的对应点为P',则点P 移动到点P'的最短路程为32.” 丙:“当-3<m<1时,随着m 的增大,线段PQ 先变长后变短.” 下列判断正确的是 ( ) A. 只有丙说得不对 B. 只有乙说得不对 C. 只有甲说得对 D. 甲、乙、丙说得都对 8. 如图,在▱ABCD 中,点A 的坐标为(0,-2),点B 在x轴的负半轴上,C,D 两点在反比例函 数y=kx-1的图象上,且点D 的横坐标为3,四边形AECD 的面积是△ABE 面积的3倍.k 的值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (第8题) (第9题) (第10题) 9. 已知反比例函数y= k x 在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示,则函数 y=x2-bx+k-1的图象可能为 ( ) A. B. C. D. 10. 如图,正方形ABCD 的边长为4cm,点P 以2cm/s的速度从点A 出发沿A-D-C 运动,同 时点Q 以1cm/s的速度从点C 出发沿CB 运动,当点P 运动到点C 时,两点同时停止运动, 连接PQ 和PC,设运动时间为t(s),△PQC 的面积为S(cm2)(S≠0).下列图象能正确反映 出S与t的函数关系的是 ( ) A. B. C. D. 二、 填空题(每小题3分,共15分) 11. 已知y=(m-1)xm 2+1+2x-3是二次函数,则m 的值为 . 12. 二次函数y=x2-4x-3,当-2<x≤3时,y的取值范围是 . 13. 如图,为了提醒司机安全驾驶,要在隧道中安装电子显示屏.已知隧道截面为抛物线形,水平路 面宽AB=16米,抛物线顶点C到AB的距离为12米.根据计划,安装矩形显示屏MNPQ的高 MQ为1米,为了确保行车安全,显示屏底部距离地面至少8米,若显示屏M,N 处距离左右墙 壁各留至少1米的维修空间,则该矩形显示屏MNPQ的宽PQ的最大长度为 米. (第13题) (第14题) (第15题) 14. 如图,函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象的顶点坐标为 -32 ,m ,有下列结论:① ab<0; ② b-3a=0;③ ax2+bx≥m-2;④ 若点(-4.5,y1)和点(1.5,y2)都在此函数图象上,则 y1=y2;⑤ 9a=8-4m.其中,正确的是 (填序号). 15. 如图,O 是坐标原点,Rt△OAB 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上,AB=2,∠AOB=30°,反 比例函数y= k x (k>0)的图象经过斜边OB 的中点C. (1) k的值为 . (2) D 为该反比例函数图象上的一点,若DB∥AC,则OB2-BD2的值为 . 三、 解答题(共75分) 16. (7分)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,-3). (1) 求抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标. (2) 连接AB,与该抛物线的对称轴交于点P,求点P 的坐标. 17. (8分)某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体实验,测得成人 服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x(时)之间的函数关系如图所示(当4< x≤10时,y与x成反比例). (1) 根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式. (2) 血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时? (第17题) 2 18. (8分)如图,二次函数y=- 1 2x 2+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,-4)两点. (1) 求这个二次函数的表达式. (2) 设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接AB,BC,求△ABC 的面积. (第18题) 19. (9分)如图,直线y=kx+b与双曲线y= m x (x>0)相交于A(1,2),B 两点,与x轴、y轴相交 于点C(4,0),D. (1) 分别求直线AC 和双曲线对应的函数表达式. (2) 连接OA,OB,求△AOB 的面积. (3) 直接写出当x>0时,关于x的不等式kx+b>mx 的解集. (第19题) 20. (9分)已知抛物线y=x2-(m+1)x+2m+3. (1) 若抛物线经过点(-1,5),求抛物线对应的函数表达式. (2) 已知点E(-1,-1),F(3,7).若该抛物线与线段EF 只有一个交点,求该抛物线的顶点 的横坐标的取值范围. 21. (10分)某商店销售的某种商品的进价为每件30元,这种商品在近60天中的日销售价与日销 售量的相关信息如下表(1≤x≤60,且x为整数),设这种商品的日销售利润为w 元. 时间:第x天 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价/(元/件) 0.5x+35 50 日销售量/件 -2x+124 (1) 直接写出w 与x之间的函数表达式为 . (2) 这种商品在第几天的日销售利润最大? 最大日销售利润是多少? 22. (11分)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合,点C 的坐标为 (0,3),点A 在x轴的负半轴上,点D,M 分别在边AB,OA 上,且AD=2DB,AM=2MO, 一次函数y=ax+b的图象过点D,M,反比例函数y= k x 在第二象限的图象经过点D,与BC 的交点为N. (1) 求反比例函数和一次函数的表达式. (2) 若点P 在反比例函数y= k x 的图象上,且使△OMP 的面积等于3,求点P 的坐标. (第22题) 23. (13分)如图①,抛物线y=-x2+bx+c过点(-2,-5),(2,3). (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 已知该抛物线与x轴交于点A,B(点A 位于点B 的左侧),与y轴交于点C. ① 若P 是该抛物线位于第一象限部分上的一动点,过点P 作x轴的垂线交BC 于点Q, 求PQ 的最大值及此时点P 的坐标. ② 若M 是抛物线对称轴上一动点,是否存在以B,C,M 为顶点的三角形是直角三角形? 若存在,请在如图②所示的图形中画出符合条件的图形,并求出点M 的坐标;若不存 在,请说明理由. (第23题)