23.2 解直角三角形及其应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

80 23.2　解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三角形 ▶ “答案与解析”见P42 1. 在一个直角三角形中,已知下列条件:① 两 条边的长度;② 两个锐角的度数;③ 一个锐 角的度数和一条边的长度.利用上述条件中 的一个,能解这个直角三角形的有 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 2. 如图,AD 是△ABC 的高.若BD=2CD=6, tanC=2,则边AB 的长为 ( ) A. 32 B. 35 C. 62 D. 37 (第2题) (第3题) 3. (2025·阜阳临泉期末)如图,在△ABC 中, AB=AC=5,sinB=45 ,则BC的长是( ) A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 4. (2024·哈尔滨)若△ABC 是直角三角形, AB=23,∠ABC=30°,则 AC 的 长 为 . 5. 在Rt△ABC 中,根据下面的条件,解直角三 角形(∠C=90°): (1) ∠B=60°,a=5. (2) a=3-1,b=3-3. 6. 新考法·新定义题 定义:在等腰三角形中,底 边与腰的比叫做顶角的正对,顶角A 的正对 记作sad A,即sad A= 底边 腰 .如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=4∠B,则cosB·sad A 的值为 ( ) A. 1 B. 3 2 C. 3 2 D. 3 4 (第6题) (第7题) 7. (2024·滁州天长期中)如图,在△ABC 中, ∠C=90°,AC=BC=5,D 是AC 上一点,若 tan∠DBA=14 ,则AD 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 8. (2024·宣城期末)如图,在Rt△ABC 中, ∠C=90°,BC= 5,D 是AC 上一点,连接 BD.若tanA=12 ,tan∠ABD=13 ,则CD 的 长是 ( ) (第8题) A. 5 B. 25 C. 2 D. 33 9. (2024·西宁)在平面直角坐标系中,直线AB 与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B(0, 6),点P 在y 轴上,且满足∠PAB=15°,则 OP 的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 81 10. (2024·池州贵池期末)如图,在△ABC 中, ∠B 为锐角,AD 是BC 边上的高,cosB= 5 13 ,AB=13,BC=21.求: (1) AC 的长. (2) ∠BAC 的正弦值. (第10题) 11. 如图,四边形ABCD 是一片水田的 平面示意图,某学习小组需计算其 面积,测得如下数据:∠A=90°, ∠ABD=60°,∠CBD=54°,AB=200m, BC=300m.请计算出这片水田的面积(参 考数据:sin54°≈0.809,cos54°≈0.588, tan54°≈1.376,3≈1.732). (第11题) 12. (2024·深圳)如图,在△ABC 中,AB= BC,tanB=512 ,D 为BC 上一点,且满足 BD CD= 8 5 ,过点D 作DE⊥AD 交AC 的延长 线于点E,则CEAC= . (第12题) 13. 将一副直角三角尺按如图所示的 方式放置(∠A=60°,∠DCE= 45°),CE 与CB 边重合,CD 与AB 交于点F. (1) 若CF=6,求AF 的长. (2) 探索AF 与BF 之间的数量关系,并说 明理由. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　解直角三角形 82 第2课时 仰角、俯角问题 ▶ “答案与解析”见P43 1. 新情境·热点信息 2024年5月29日16时12分, “长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在 黄海海域成功发射.当火箭上升到点A 时, 位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的 距离为a千米,仰角为θ,则此时火箭距海平 面的高度AL 为 ( ) (第1题) A. asinθ千米 B. a sinθ 千米 C. acosθ千米 D. a cosθ 千米 2. 新考向·地域文化 (2024·武汉)黄鹤楼是武 汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一 楼”的美誉.在一次综合实践活动中,某数学 小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度.具体 过程如下:如图,将无人机垂直上升至距水平地 面102m的C处,测得黄鹤楼顶端A 的俯角为 45°,底端B的俯角为63°,则测得黄鹤楼的高度 约是 m(参考数据:tan63°≈2). (第2题) 3. (2024·陕西)如图,一座小山顶的水平观景 台的海拔为1600m,小明想利用这个观景台 测量对面山顶点C 处的海拔.他在该观景台 上选定了一点A,在点A 处测得点C 的仰角 ∠CAE=42°,再在水平线AE 上选一点B, 在点B 处测得点C 的仰角α=45°,AB= 10m.求山顶点C 处的海拔(小明身高忽略 不计,参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈ 0.74,tan42°≈0.90). (第3题) 4. (2025·亳州涡阳期末)如图,某人站在楼顶 观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C 到旗杆的距离CE=8m,测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA=30°,旗杆底部B 的俯角 ∠ECB=45°,则旗杆AB 的高度是 ( ) A. (2+83)m B. (8+83)m C. 82+833 m D. 8+833 m (第4题) (第5题) 5. (2024·泰安)在综合实践课上,数学兴趣小 组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽 度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一架无 人机.如图,无人机在河上方距水面高60m 的点P 处测得瞭望台正对岸A 处的俯角为 50°,测得瞭望台顶端C 处的俯角为63.6°,已 知瞭望台BC 高12m(图中点A,B,C,P 在 同一平面内).大汶河此河段的宽AB 约为 m 参考数据:sin40°≈35,sin63.6°≈ 9 10 ,tan50°≈65 ,tan63.6°≈2 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 83 6. (2024·河北)我国的探月工程激发 了同学们对太空的兴趣.某晚,淇淇 在家透过窗户的最高点P 恰好看到 一颗星星,此时淇淇距窗户的水平距离 BQ=4m,仰角为α;淇淇向前走了3m后到 达点D,透过点P 恰好看到月亮,仰角为β, 如图所示为示意图.已知淇淇的眼睛与水平 地面BQ 的距离AB=CD=1.6m,点P 到 BQ的距离PQ=2.6m,AC 的延长线交PQ 于点E(注:图中所有点均在同一平面内).求: (1) β的大小及tanα的值. (2) CP 的长及sin∠APC 的值. (第6题) 7. 新考法·操作实践题 (2024·山西) 研学实践:为重温解放军东渡黄河 “红色记忆”,学校组织研学活动.同 学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地,在 了解相关历史背景后,利用航模搭载的3D扫 描仪采集纪念碑(如图①)的相关数据. 数据采集:如图②,A 是纪念碑顶部一点,AB 的长表示点A 到水平地面的距离.航模从纪 念碑前水平地面的点M 处竖直上升,飞行至 距离地面20米的点C 处时,测得点A 的仰 角∠ACD=18.4°;然后沿CN 方向继续飞 行,飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°, 当到达点A 正上方的点E 处时,测得AE= 9米…… 数据应用:已知图中各点均在同一竖直平面 内,E,A,B 三点在同一直线上.请根据上述 数据,计算纪念碑顶部点A 到地面的距离 AB 的 长(结 果 精 确 到1米,参 考 数 据: sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75, sin18.4° ≈ 0.32,cos18.4° ≈ 0.95, tan18.4°≈0.33). (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　解直角三角形 84 第3课时 方向角问题 ▶ “答案与解析”见P44 1. (2023·广州)如图,海中有一小岛A,在B 点测得小岛A 在北偏东30°方向上,渔船从 B 点出发由西向东航行10n mile到达C 点, 在C 点测得小岛A 恰好在正北方向上,此时 渔船与小岛A 的距离为 ( ) A. 103 3 n mile B. 203 3 n mile C. 20n mile D. 103n mile (第1题) (第2题) 2. 如图,点A 位于点C 的北偏西60°方向,点B 位于点C 的东北方向,线段AB 为一条东西 向的公路的一部分,如果点C 到公路AB 的 距离 是100 3米,那 么 公 路 AB 的 长 为 米(结果保留根号). 3. 如图,为了测量河对岸A,B 两点间的距离, 某数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C, 测得点A,B 均在点C 的北偏东37°方向上, 沿正东方向行走90米至观测点D,测得点A 在点D 的正北方向,点B 在点D 的北偏西 53°方向上.求A,B 两点间的距离(参考数 据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈ 0.75). (第3题) 4. (2024·安庆宿松期末)如图,小明先在凉亭 A 处测得湖心岛C 在其北偏西15°的方向上, 又从A 处向正东方向行驶200米到达凉亭B 处,测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上,则 凉亭B与湖心岛C之间的距离为 ( ) A. 400米 B. (1003+100)米 C. (1002+100)米 D. (1003-100)米 (第4题) (第5题) 5. (2024·池州青阳期末)如图,某社会实践活 动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽 度,在河的南岸点A 处,测得河的北岸边点 B 在其北偏东45°方向上,然后向西走80米 到达点C 处,测得点B 在点C 的北偏东60° 方向上,则这段河的宽度为 ( ) A. 80(3+1)米 B. 40(3+1)米 C. (120-403)米 D. 40(3-1)米 6. 如图,B 港口在A 港口的南偏西25°方向上, 距A 港口100海里处,一艘货轮航行到C 处,发现A 港口在货轮的北偏西25°方向上, B 港口在货轮的北偏西70°方向上,则此时货 轮与A 港口的距离约为 海里(结果 取整数,sin50°≈0.766,cos50°≈0.643, tan50°≈1.192,2≈1.414). (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 85 7. 如图,轮船B 在码头A 的正东方向,与码头 A 的距离为100海里,轮船 B 向北航行 40海里到达点C 处时,接到点D 处一艘渔 船发来的求救信号,于是沿北偏西45°方向航 行到点D 处,解救渔船后轮船沿南偏西32° 方向返回到码头A,那么码头A 与点D 的距 离约为 海里(结果保留整数,参考数 据:sin32°≈0.5,cos32°≈0.8,tan32°≈0.6). (第7题) 8. (2024·大庆)如图,CD 是一座南北 走向的大桥,一辆汽车在笔直的公路 l上由北向南行驶,在A 处测得桥头 C在南偏东30°方向上,继续行驶1500米后到 达B 处,测得桥头C 在南偏东60°方向上,桥 头D 在南偏东45°方向上,求大桥CD 的长 度(结果精确到1米,参考数据:3≈1.73). (第8题) 9. 如图,甲、乙两艘货轮同时从A 港出 发,分别向B,D 两港运送物资,最 后到达A 港正东方向的C 港装运新 的物资.甲货轮沿 A 港的东南方向航行 40海里后到达B 港,再沿北偏东60°方向航 行一定距离到达C 港.乙货轮沿A 港的北偏 东60°方向航行一定距离到达D 港,再沿南 偏东30°方向航行一定距离到达C 港(参考 数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45). (1) 求A,C 两港之间的距离(结果保留小数 点后一位). (2) 若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B,D 两港的时间相同),哪艘货轮先到达C 港? 请 通过计算说明. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　解直角三角形 86 第4课时 坡角(坡度)问题 ▶ “答案与解析”见P46 1. (2024·青岛期末)如图,某人从山脚下的点 A 走了200m后到达山顶的点B 处,已知点 B 到山脚的垂直距离为100m,则山的坡 度为 ( ) A. 3 B. 1 2 C. 3 3 D. 2 2 (第1题) (第2题) 2. 如图所示为某拦河坝改造前后河床的横断面 示意图,AD∥BC,坝高DC=8m,将原坡度 i=1∶0.25的迎水坡面AB 改为坡角为60° 的斜坡EB,此时河床面的宽减少的长度AE 等于 (结果精确到0.1m,参考数 据:3≈1.73). 3. (2023·湖北)为了防洪需要,某地决定新建 一座拦水坝,如图,拦水坝的横断面为梯形 ABCD,斜面坡度i=3∶4是指坡面的铅直 高度AF 与水平宽度BF 的比.已知斜坡CD 长度为20米,∠C=18°,求斜坡AB 的长(结 果精确到0.1米,参考数据:sin18°≈0.31, cos18°≈0.95,tan18°≈0.32). (第3题) 4. 某电力公司在进行电网改造时把某一输电线 铁塔建在一个坡度为1∶0.75的山坡CD 的 平台BC 上(如图),测得∠AED=52°,BC= 5米,CD=35米,DE=19米,则铁塔AB 的 高度约为(参考数据:sin52°≈0.79,tan52°≈ 1.28) ( ) A. 28米 B. 29.6米 C. 36.6米 D. 57.6米 (第4题) (第5题) 5. (2024·无锡锡山期末)如图,大坝横截面的 迎水坡AD 的坡比为4∶3,背水坡BC 的坡 比为2∶5,已知迎水坡AD=50m,坝顶宽 CD=15m,则坝底AB 的长为 m. (第6题) 6. 新情境·热点信息 在2020 年5月27日,我国派遣 了一支登山队成功地登 上了珠峰之巅,再次以中 国人的身份,站上了珠峰 顶部.已知一个人登山时的动作可以简化成 如图所示的示意图,他的大腿长AB=AC= 45cm,点A,B,D 在同一直线上,上坡每走 一步时大腿之间的夹角∠BAC=65°,小腿 (BD,CE)始终与水平面垂直,某段山坡DF 的坡度为i=815. 若这名登山队员要沿着这段 山坡,将自己所处位置的海拔提高50m,大 约需要走 步 结果保留整数,参考数 据:sin65°≈910 ,tan65°≈157 ,cos65°≈2150 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 87 7. 如图①所示为某校一楼梯原设计稿 的侧面图,AD∥BC,∠C=90°,楼梯 AB 的坡比为1∶22,为了增加楼 梯的舒适度,现将其改造成如图②所示的侧 面图,测得BD=2AB=18m,M 为BD 的中 点,过点M 分别作MN∥BC 交∠ABD 的平 分线于点N,MP∥BN 交AD 于点P,其中 BN 和MP 为楼梯,MN 为平地,则平地MN 的长度为 m. (第7题) 8. 方程思想 (2023·泸州)如图,某数学兴趣小 组为了测量古树DE 的高度,采用了如下的 方法:先从与古树底端D 在同一水平线上的 点A 出发,沿斜面坡度为i=2∶ 3的斜坡 AB 前进207m到达点B,再沿水平方向继 续前进一段距离后到达点C.在点C 处测得 古树DE 的顶端E 的俯角为37°,底部D 的 俯角为60°,求古树DE 的高度 参考数据: sin37°≈35 ,cos37°≈45 ,tan37°≈34 ,计算结 果用根号表示,不取近似值 . (第8题) 9. 新情境·新科技 随着我国科学技术的 不断发展,5G移动通信技术日趋完 善,某市政府为了实现5G网络全覆 盖,2021~2025年拟建设5G基站3000个. 如图,在斜坡CB 上有一建成的5G基站塔 AB,小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为 45°,然后他沿斜坡CB 行走了50米到达D 处,D 处离地平面的距离为30米且在D 处 测得塔顶A 的仰角为53° 点A,B,C,D,E 均在同一平面内,CE 为地平线,参考数据: sin53°≈45 ,cos53°≈35 ,tan53°≈43 .求: (1) 斜坡CB 的坡度. (2) 基站塔AB 的高. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第23章　解直角三角形 AP∥BQ,AP=BQ.∴ ∠PAE= ∠QBE, ∠APE = ∠BQE. ∴ △PAE≌△QBE.∴ PE=QE.设 BQ=a,则PQ= 2a,EQ=12PQ= 2 2a.∴ EQ BQ= 2 2a a = 2 2 ,BQ PQ= a 2a = 2 2.∴ EQ BQ = BQ PQ. 又∵ ∠EQB= ∠BQP, ∴ △EQB ∽ △BQP. ∴ ∠QEB=∠QBP.∴ tan∠QEB= tan∠QBP=12.∵ ∠AEP=∠QEB, ∴ tan∠AEP=tan∠QEB=12. 7. B 解析:如图,连接AD.由题意, 得AD2=22+22=8,BD2=32+32= 18,AB2=12+52=26.∴ AD2+ BD2=AB2.∴ △ABD 是直角三角 形,且∠ADB=90°.在Rt△ABD 中, BD = 18 =32,AB = 26. ∴ cosB=BDAB = 32 26 =3 1313 . 故 选B. (第7题) 8. 如图,过点D 作DE⊥AB 于点E. 设BC=2a,则易得AC=2a,AD= CD=a,BD= (2a)2+a2= 5a, AB= (2a)2+(2a)2=22a. ∵ ∠A=∠B=45°,∠DEA=90°, ∴ 易得AE=DE= 22a. ∵ 在Rt△BED 中,由勾股定理,得 BE= BD2-DE2=322a , ∴ sin∠ABD=DEBD= 2 2a 5a = 1010 , tan∠ABD=DEBE= 2 2a 32 2a =13. (第8题) 23.2　解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三角形 1. B 2. C 3. B 4. 2或 3 解析:当∠A=90°时, tanB=ACAB.∴ AC=AB·tanB= 23×tan30°=2 3× 33 =2 ;当 ∠C=90°时,sinB=ACAB.∴ AC= AB·sinB=23×sin30°=23× 1 2=3.∴ AC的长为2或3. 5. (1) ∠A=90°-∠B=90°-60°= 30°.由tanB=ba ,得b=a·tanB= 5×tan60°=53.由cosB=ac ,得 c= acosB= 5 cos60°= 5 1 2 =10. (2) 由tanB=ba = 3-3 3-1 = 3,得 ∠B=60°.∴ ∠A=90°-∠B= 90°-60°=30°.由cosB=ac ,得c= a cosB= 3-1 cos60°= 3-1 1 2 =23-2. 6. B 解析:过点A 作AD⊥BC于点 D.∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C.又 ∵ ∠BAC+∠B+∠C=6∠B= 180°,∴ ∠B=30°.设AD=a,则易得 AB=2a,BD= 3a.∵ AB=AC, AD⊥BC,∴ BC=2BD=2 3a. ∴ sad ∠BAC=BCAB= 23a 2a = 3 , cosB=BDAB= 3a 2a = 3 2.∴ cosB· sad ∠BAC= 32×3= 3 2. 7. A 解析:∵ 在△ABC 中,∠C= 90°,AC=BC=5,∴ ∠A=45°.∴ 在 Rt△ABC 中,AB= AC2+BC2= 52+52 =5 2.如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点E,则∠AED=90°. ∵ ∠A=45°,∴ ∠ADE =90°- ∠A=45°.∴ △ADE 是等腰直角三 角形.∴ AE=DE.在Rt△BDE 中, ∵ tan∠DBA=DEBE = AE BE = 1 4 , ∴ BE=4AE.∵ AB=AE+BE= 52,∴ AE= 2.∴ DE=AE= 2. ∴ 在 Rt△ADE 中, AD = AE2+DE2 = (2)2+(2)2 = 2.故选A. (第7题) 8. A 解析:在Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC = 5,tanA =BCAC = 1 2 , ∴ AC = 2BC = 25,AB = AC2+BC2= (25)2+(5)2= 5.如图,过点D 作DE⊥AB 于点E. ∵ tanA=12 ,tan∠ABD=13 ,∴ 在 Rt△ADE 中,DEAE= 1 2 ;在Rt△BDE 中,DE BE= 1 3.∴ DE=12AE ,DE= 1 3BE.∴ 1 2AE= 1 3BE.∴ BE= 3 2AE.∵ AE +BE =AB =5, ∴ AE+32AE=5 ,解得 AE=2. ∴ DE=1.在Rt△ADE 中,由勾股 定 理,得 AD = AE2+DE2 = 22+12=5.∴ CD=AC-AD= 25-5=5.故选A. (第8题) 9. 23或63 解析:如图.∵ 点A 的坐标为(6,0),点B 的坐标为(0, 6),∴ OA=OB=6.∴ △AOB 是等 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 腰直角三角形.∴ ∠BAO=45°.当点 P 在点B 下方时,∠PAO=∠BAO- ∠PAB=45°-15°=30°,tan∠PAO= OP OA ,∴ OP=OA·tan∠PAO=6× 3 3=23 ;当点P 在点B 上方时, ∠PAO=∠BAO+∠PAB=45°+ 15°=60°,tan∠PAO=OPOA ,∴ OP= OA·tan∠PAO=6× 3=63.综 上所述,OP 的长为23或63. (第9题) 10. (1) ∵ 在△ABC 中,AD 是BC 边上的高, ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. 在Rt△ABD 中, ∵ cosB=BDAB= 5 13 ,AB=13, ∴ BD=AB·cosB=13×513=5. ∴ CD=BC-BD=21-5=16. 在 Rt△ABD 中,由 勾 股 定 理,得 AD= AB2-BD2 = 132-52 = 12.在Rt△ADC 中,由勾股定理,得 AC= AD2+CD2= 122+162=20. (2) 过点C 作CH⊥AB 交AB 于 点H. ∵ △ABC 的面积=12AB ·CH= 1 2BC ·AD, ∴ 13CH=21×12. ∴ CH=25213. ∴ sin∠BAC=CHAC= 252 13 20= 63 65. 11. 如图,过点 C 作CM ⊥BD 于 点M. ∵ ∠A=90°,∠ABD=60°,AB= 200m, ∴ BD= ABcos60°= 200 1 2 =400(m), AD=AB·tan60°=200× 3= 2003(m). ∴ △ABD 的 面 积 为 12 ×200× 2003=200003(m2). ∵ ∠CMB=90°,∠CBD=54°,BC= 300m, ∴ CM=BC·sin54°≈300×0.809= 242.7(m). ∴ △BCD 的面积约为12×400× 242.7=48540(m2). ∴ 这片水田的面积约为20000× 1.732+48540=83180(m2). (第11题) 12. 20 21 解析:如图,过点A 作AH⊥ CB 于点H,过点C作CM⊥AD 于点 M.∵ AB=BC,BDDC = 8 5 ,∴ 设 BD=8a,则CD=5a,AB=BC= BD+CD =13a.∵ tanB = 512 , ∴ AH BH = 5 12.∴ 易 得 AH =5a, BH=12a.∴ DH=BH-BD=4a, CH =a.在 Rt△ACH 中,AC = AH2+CH2 = (5a)2+a2 = 26a.在 Rt△ADH 中,AD = AH2+DH2= (5a)2+(4a)2= 41a.∴ cos∠ADC = DHAD = 4 41 41 .∴ DM=CD·cos∠ADC= 20 41 41 a.∴ AM =AD -DM = 21 41 41 a.∵ DE⊥AD,CM⊥AD, ∴ CM∥DE.∴ CE AC= DM AM= 20 21. (第12题) 13. (1) 如图,过点F 作FH⊥AC 于 点H.由题意,知∠FCH=45°, ∴ FH=FC·sin45°=6×22=3. 在Rt△AFH 中,sinA=FHAF , ∴ AF= FHsin60°= 3 3 2 =2. (2) BF= 3AF.理由:如图,过点F 作FM⊥BC 于点M,则易得四边形 CMFH 是正方形. ∴ FH=FM. 设FH=FM=a. 在Rt△AHF 中,sinA=FHAF= a AF , ∴ a=AF·sin60°= 32AF. 在Rt△BFM 中,易知∠MBF=30°, sin∠MBF=FMBF= a BF , ∴ a=BF·sin30°=12BF. ∴ 3 2AF= 1 2BF. ∴ BF=3AF. (第13题) 第2课时 仰角、俯角问题 1. A 2. 51 3. 如图,过点C 作CD⊥AE,交AE 的延长线于点D. 设BD=xm. ∵ AB=10m, ∴ AD=AB+BD=(10+x)m. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 在Rt△BCD 中,∠CBD=45°, ∴ CD=BD=xm. 在Rt△ACD 中,∠A=42°,tanA= CD AD , ∴ CD=AD·tan42°≈0.9(10+ x)m. ∴ x=0.9(10+x),解得x=90. ∴ CD=90m. ∵ 小山顶的水平观景台的海拔为 1600m, ∴ 山顶点C 处的海拔约为1600+ 90=1690(m). (第3题) 4. D 解析:由题意,得∠ECA=30°, ∠ECB=45°,∠AEC=∠BEC=90°, CE=8m.在Rt△EBC中,tan∠ECB= BE EC ,∴ BE=EC·tan45°=8×1= 8(m).在Rt△AEC 中,tan∠ECA= AE EC ,∴ AE=EC·tan30°=8× 33= 83 3 (m).∴ AB =AE +BE = 8+833 m.故选D. 5. 74 解析:如 图.由 题 意 可 知, ∠NPC=∠PCF=63.6°,∠MPA= ∠EAP=50°,BC=EF=12m,CF= BE,PE=60m,∴ PF=PE-EF= 48m.在Rt△PFC 中,tan∠PCF= tan63.6°=PFCF= 48 CF ≈2.∴ CF≈ 24m.∴ BE≈24m.在Rt△APE 中, tan∠EAP=tan50°=PEAE ,∴ 60 AE≈ 6 5 ,解得AE≈50m.∴ AB=AE+ BE≈50+24=74(m). (第5题) 6. (1) 由题意,得PQ⊥AE,PQ= 2.6m,AB=CD=EQ=1.6m,AE= BQ=4m,AC=BD=3m, ∴ CE=AE-AC=4-3=1(m), PE=PQ-EQ=2.6-1.6=1(m), ∠CEP=90°. ∴ CE=PE. ∴ β=∠PCE=45°,tanα=tan∠PAE= PE AE= 1 4. (2) ∵ CE=PE=1m,∠CEP=90°, ∴ CP= CE2+PE2= 12+12= 2(m). 如图,过点C作 CH⊥AP 于点H. 在Rt△ACH 中,tanα=tan∠PAE= CH AH= 1 4. 设CH=xm,则AH=4xm,由勾股 定理,得CH2+AH2=AC2. ∴ x2+(4x)2=32,解得x=3 1717 (负值已舍去). ∴ CH=3 1717 m. ∴ sin ∠APC =CHCP = 3 17 17 2 = 3 34 34 . (第6题) 7. 如图,延长CD 交AB 于点H,则 易得四边形CMBH 为矩形. ∴ CM=HB=20米. 在Rt△ACH 中, ∵ ∠AHC=90°,∠ACH=18.4°, ∴ tan∠ACH=AHCH. ∴ CH = AHtan∠ACH = AH tan18.4°≈ AH 0.33. 在Rt△ECH 中, ∵ ∠EHC=90°,∠ECH=37°, ∴ tan∠ECH=EHCH. ∴ CH = EHtan∠ECH = EH tan37°≈ EH 0.75. 设AH=x米. ∵ AE=9米, ∴ EH=(x+9)米. ∴ x 0.33= x+9 0.75 ,解得x=29742. ∴ AH=29742 米. ∴ AB=AH +HB=29742+20≈ 27(米). ∴ 纪念碑顶部点A 到地面的距离 AB 的长约为27米. (第7题) 第3课时 方向角问题 1. D 2. (300+1003) 3. ∵ CE∥AD, ∴ ∠A=∠ECA=37°. ∴ ∠CBD=∠A+∠ADB=37°+ 53°=90°. ∴ ∠ABD=90°. 在Rt△BCD 中,∠BDC=90°-53°= 37°,CD=90米,cos∠BDC=BDCD , ∴ BD=CD·cos37°≈90×0.80= 72(米). 在Rt△ABD 中,∠A=37°,BD= 72米,tanA=BDAB , ∴ AB= BDtan37°≈ 72 0.75=96 (米). ∴ A,B 两点间的距离约为96米. 4. B 解析:过点A 作AD⊥BC于点 D,则∠ADC=∠ADB=90°.由题意 可得,∠ABD=30°.在Rt△ABD 中, AB = 200 米,∠ABD = 30°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 sin∠ABD=ADAB ,cos∠ABD=BDAB , ∴ AD=AB·sin30°=200×12= 100(米),BD=AB·cos30°=200× 3 2=1003 (米).∵ ∠ABC=30°, ∠BAC=15°+90°=105°,∴∠C= 45°.∴ 易得△ACD 为等腰直角三角 形.∴ AD=CD=100米.∴ BC= BD+CD=(1003+100)米.故选B. 5. B 解析:如图,过点B作BD⊥CA, 交CA 的延长线于点D,则∠BDC= 90°.设BD=x 米.∵ ∠BCA=90°- 60°=30°,∴ 在Rt△BCD 中,CD= BD tan30°= 3x 米.∵ ∠BAD=90°- 45°=45°,∴ 易得AD=BD=x米. ∵ CD-AD=CA,∴ 3x-x=80, 解得x= 80 3-1 =40(3+1).∴ 这段 河的宽度为40(3+1)米. (第5题) 6. 141 解析:过点B 作BD⊥AC 于 点D,则∠ADB=90°.由 题 意 知, ∠BAD=25°+25°=50°,∠BCD= 70°-25°=45°,AB =100 海 里, ∴ ∠DBC =90°-45°= 45°= ∠BCD.∴ BD=CD.在 Rt△ABD 中,sin∠BAD=BDAB ,cos∠BAD= AD AB ,∴ BD=AB·sin50°≈100× 0.766=76.6(海里),AD=AB· cos50°≈100×0.643=64.3(海里). ∴ AC=AD+CD=AD+BD= 64.3+76.6=140.9≈141(海里),即 货轮与A 港口的距离约为141海里. 7. 105 解析:如图,过点D 作DF⊥ AB,垂足为F,过点C 作CE⊥DF, 垂足为E,则∠AFD=∠CED=90°. 由题意可知,四边形BCEF 为矩形, ∴ CE=BF,BC=EF=40海里.设 DE=x 海里,则 DF=DE+EF= (x+40)海 里.在 Rt△DEC 中, ∠DCE=90°-45°=45°,tan∠DCE= DE EC ,∴ CE= DEtan45°=x 海里.∴ BF= CE=x 海 里.∵ AB=100海 里, ∴ AF=AB-BF=(100-x)海里. 在 Rt△ADF 中,∠ADF =32°, tan∠ADF=AFDF ,∴ 100-x x+40 ≈0.6 , 解得x≈47.5.经检验,x≈47.5是原 方程的解.∴ 100-x≈52.5,即AF≈ 52.5海里.在Rt△ADF中,sin∠ADF= AF AD ,∴ AD= AFsin32°≈ 52.5 0.5=105 (海 里).∴ 码头 A 与D 的距离约为 105海里. (第7题) 8. 如图,分别过点C和点D 作l的垂 线CM,DN,垂足分别为 M,N,则 ∠BMC=∠AMC=∠BND=90°,易 得四边形CMND 为矩形. ∴ DN=CM,CD=MN. 在 Rt△CBM 中,∠CBM =60°, tan∠CBM=CMBM , ∴ tan60°=CMBM=3. ∴ CM=3BM. 在Rt△ACM 中,∠A=30°,tanA= CM AM , ∴ tan30°=CMAM= 3 3. ∵ AB=1500米, ∴ CM AM = CM AB+BM = 3BM 1500+BM = 3 3 ,解得BM=750米. ∴ CM=7503米. ∴ DN=CM=7503米. 在 Rt△DBN 中,∠DBN =45°, tan∠DBN=DNBN , ∴ tan45°=7503BN =1. ∴ BN=DN=7503米. ∴ MN =BN -BM =(750 3- 750)米. ∴ CD=MN=7503-750≈548(米). ∴ 大桥CD 的长度约为548米. (第8题) 9. (1) 如图①,过点B 作BE⊥AC, 垂足为E.在Rt△ABE 中,∠BAE= 90°-45°=45°,AB =40 海 里, cos∠BAE=AEAB ,sin∠BAE=BEAB , ∴ AE=AB·cos45°=40× 22= 202(海里),BE=AB·sin45°= 40× 22=202 (海里). 在 Rt△BCE 中,∠CBE = 60°, tan∠CBE=ECBE , ∴ CE=BE·tan60°=202× 3= 206(海里). ∴ AC=AE+CE=202+206≈ 77.2(海里). ∴ A,C两港之间的距离约为77.2海里. (2) 甲货轮先到达C港.理由: 如图②,由 题 意,得∠CDF=30°, DF∥AG. ∴ ∠GAD=∠ADF=60°. ∴ ∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°. 在 Rt△ACD 中,∠CAD =90°- ∠GAD=30°, ∴ CD=12AC= (102+106)海里. ∴ 易得AD=3CD=(106+302) 海里. 在Rt△BCE 中,∠CBE=60°,BE= 202海里, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54 ∴ BC= BEcos60°= 202 1 2 =402(海里). ∴ 甲货轮航行的路程=AB+BC= 40+402≈96.4(海里),乙货轮航行 的路程=AD+CD=106+302+ 10 2+10 6=20 6+40 2 ≈ 105.4(海里). ∵ 96.4海里<105.4海里, ∴ 甲货轮先到达C港. (第9题) 第4课时 坡角(坡度)问题 1. C 2. 2.6m 3. 过点D 作DE⊥BC,垂足为E.由 题意,可得AF⊥BC,DE=AF. ∵ 斜面AB 的坡度i=3∶4, ∴ AF BF= 3 4. 设AF=3x米,则BF=4x米. 在Rt△ABF 中,AB= AF2+BF2= (3x)2+(4x)2=5x(米). 在 Rt△DEC 中,∠C=18°,CD= 20米, ∴ DE=CD·sin18°≈20×0.31= 6.2(米). ∴ AF=DE=6.2米. ∴ 3x=6.2,解得x=3115. ∴ AB=5×3115≈10.3 (米),即斜坡 AB 的长约为10.3米. 4. B 解析:延长AB 交ED 的延长 线于点G,过点C作CF⊥ED,交ED 的延长线于点F,∴ GF=BC=5米. ∵ 山坡CD 的坡度为1∶0.75,∴ 设 DF=3k米,CF=4k米.∴ 由勾股定 理,得CD=5k 米=35米.∴ k=7. ∴ DF=21米,BG=CF=28米. ∴ EG=GF+DF+DE=5+21+ 19=45(米).∵ ∠AED =52°, ∴ AG=EG·tan52°≈45×1.28= 57.6(米).∴ AB =AG -BG = 29.6米.故选B. 5. 145 解析:∵ 迎水坡AD 的坡比 为4∶3,∴ DE AE= 4 3. 设DE=4xm, 则AE=3xm.在Rt△ADE 中,由勾 股 定 理,得 AE2 +DE2 =AD2. ∴ (3x)2+(4x)2=502,解得x=10 (负值舍去).∴ DE=40m,AE= 30m.由题意可知,四边形DEFC 为 矩形,∴ CF=DE=40m,EF=CD= 15m.∵ 背水坡BC 的坡比为2∶5, ∴ CF BF= 2 5.∴ 40 BF= 2 5 ,解得BF= 100m.∴ AB=AE+EF+FB= 30+15+100=145(m). 6. 232 解析:如图,过点C 作CH⊥ AD 于点H,延长CE 交DG 于点M, 易 知 四 边 形 CHDM 为 矩 形, ∴ CH=DM.根据题意可知,山坡 DF 的坡度为i=EMDM = 8 15 ,AB= AC=45cm,∠BAC=65°,∴ sin∠BAC= sin65°=CHAC= CH 45 ≈ 9 10.∴ CH ≈ 45×910= 81 2 (cm).∴ EM DM= EM CH = EM 81 2 =815.∴ EM=1085 cm.∵ 登山 队员每走一步,海拔大约提高108 5cm , 50m=5000cm,∴ 若这名登山队员 要沿着这段山坡,将自己所处位置的 海拔提高50m,大约需要走5000÷ 108 5 ≈231.48≈232 (步). (第6题) 7. (35-22) 解析:如图①,过 点A 作AF⊥BC于点F.∵ 楼梯AB 的坡比为1∶2 2,∴ AF BF= 1 22 . ∴ 设AF=km,则BF=22km. ∴ 在 Rt△ABF 中, AB = AF2+BF2 =3k m.∵ BD = 2AB=18m,∴ AB=3km=9m,解 得k=3.∴ AF=3m,BF=62m. ∵ ∠C=∠AFB=90°,∴ AF∥CD. ∵ AD∥BC,∴ 四边形AFCD 是矩形. ∴ CD=AF=3m,AD=CF.∴ 在 Rt△BCD 中,BC= BD2-CD2= 182-32 =3 35 (m).∴ AD= CF=(3 35-62)m.延长 MN 交 AB 于点E.∵ ME∥BC∥AD,M 为 BD 的中点,∴ E 是 AB 的 中 点. ∴ BE = 12AB = 9 2 m ,ME = 1 2AD = 3 35-62 2 m ,BM = 1 2BD=9m. 如图②,过点E 作EG∥ BM 交 BN 的 延 长 线 于 点 G, ∴ ∠G=∠MBG.∵ BN 是∠ABD 的 平 分 线,∴ ∠EBG = ∠MBG. ∴ ∠G= ∠EBG.∴ EG=BE= 1 2AB = 9 2 m.∵ EG ∥BM, ∴ △EGN∽△MBN.∴ EG BM= EN MN. ∵ EN =EM - MN,∴ 9 2 9 = 3 35-62 2 -MN MN ,解 得 MN = (35-22)m. (第7题) 8. 如图,延长BC,DE 交于点H,过 点 B 作 BF ⊥AD 于 点 F,则 ∠AFB=∠BFD=90°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64 ∵ 斜坡AB 的坡度为i=2∶3, ∴ 设BF=2km,则AF=3km. 在 Rt△ABF 中,由 勾 股 定 理,得 BF2+AF2=AB2. ∵ AB=207m, ∴ (2k)2+(3k)2=(207)2,解得 k=20(负值已舍去). ∴ BF=2×20=40(m). ∵ BC为水平方向,DE 为竖直方向, ∴ DH⊥CH. ∴ ∠BHD=90°. ∵ ∠BFD=∠FDH=∠BHD=90°, ∴ 四边形BFDH 是矩形. ∴ DH=BF=40m. 在Rt△CDH 中, ∵ ∠DCH=60°,tan∠DCH=DHCH , ∴ CH = DHtan∠DCH = 40 tan60°= 403 3 (m). 在Rt△CEH 中, ∵ ∠ECH=37°,tan∠ECH=EHCH , ∴ EH=CH·tan∠CEH=4033 · tan37°≈4033 × 3 4=103 (m). ∴ DE=DH-EH=(40-103)m. ∴ 古 树 DE 的 高 度 约 为 (40- 103)m. (第8题) 9. (1) 如图,过点D 作AB 的垂线, 交AB 的延长线于点F,过点D 作 DM⊥CE,垂足为M.根据“他沿斜坡 CB 行走了50米到达D 处,D 处离地 平面的距离为30米”,得CD=50米, DM=30米. 在 Rt△CDM 中,由 勾 股 定 理,得 CM= CD2-DM2=40米, ∴ 斜坡CB 的坡度=DM∶CM= 3∶4. (2) 易知四边形DMNF 是矩形, ∴ DM=FN=30米,设DF=MN= 4a米. 由(1),易得BF=3a米. ∵ ∠ACN=45°, ∴ ∠CAN=∠ACN=45°. ∴ AN=CN=(40+4a)米. ∴ AF=AN-FN=40+4a-30= (4a+10)米. 在Rt△ADF 中, ∵ DF=4a 米,AF=(4a+10)米, ∠ADF=53°, ∴ tan∠ADF=AFDF= 4a+10 4a ≈ 4 3 , 解得a≈152. ∴ AF≈4×152+10=40 (米),BF≈ 3×152= 45 2 (米). ∴ AB =AF -BF ≈40-452 = 35 2 (米),即 基 站 塔 AB 的 高 约 为 35 2 米. (第9题) 专题特训八　解直角三角形 应用的几种常见类型 1. 8 2. 右边小汽车在打开车门最大角时 会碰到左边小汽车.理由:如图,过点 A 作AC⊥OB,垂足为C. 在Rt△AOC中, ∵ ∠AOB =68°,OA =1.2 米, sin∠AOB=ACAO , ∴ AC=OA·sin68°≈1.2×0.93= 1.116(米). ∵ 1.116米>0.8米, ∴ 右边小汽车在打开车门最大角时 会碰到左边小汽车. (第2题) 3. 如图,过点P 作PC⊥AB 于点C. 由题意知,PM∥AB, ∴ ∠A=37°,∠B=45°. 在 Rt△APC 中,AP =100 海 里, sinA=PCAP ,cosA=ACAP , ∴ PC=AP·sinA=100×sin37°≈ 100×0.6=60(海里),AC=AP· cos37°≈100×0.8=80(海里). 在Rt△PBC中, ∵ ∠B=45°, ∴ 易得BC=PC≈60海里. ∴ AB=AC+BC≈80+60=140(海里). ∴ B 处距离A 处约有140海里. (第3题) 4. 如图,由题意可得,CE∥AD,CD= 5m, ∴ ∠A=α=17°,∠CBD=β=45°. 在Rt△ACD 中, ∵ CD=5m,tanA=CDAD , ∴ AD=CDtanA≈ 5 0.31≈16 (m). 在Rt△BCD 中, ∵ ∠CBD=45°, ∴ ∠BCD=90°-45°=45°. ∴ ∠BCD=∠CBD=45°. ∴ BD=CD=5m. ∴ AB=AD-BD≈16-5=11(m). ∴ 最远点与最近点之间的距离AB 约为11m. (第4题) 5. 如图,延长BA 交PQ 的延长线于 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 74