第21章 二次函数与反比例函数 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(沪科版)

38 第21章整合拔尖 ▶ “答案与解析”见P21 数学(沪科版)九年级上 39 考点一 二次函数的图象与性质 典例1 (2024·宿州模拟)如图,抛物线y= ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过点(2, 0),且对称 轴 为 直 线 x=12 ,有 下 列 结 论: ① abc>0;② a+b>0;③ 4a+2b+3c<0; ④ 无论a,b,c 取何值,抛物线一定经过点 c 2a ,0 ;⑤ 4am2+4bm-b≥0.其中,正确的有 ( ) (典例1图) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 [变式](2024·安庆潜山模拟)如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1, 给出下列结论:① ac>0;② b2-4ac>0; ③ 2a-b=0;④ a-b+c=0;⑤ 4a-2b+c> 0.其中,正确的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 考点二 二次函数的综合应用 典例2 已知m,n 是一元二次方程x2+4x+ 3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y= x2+bx+c经过点A(m,0),B(0,n),C 是其与 x轴的另一个交点,如图所示. (1) 求该抛物线对应的函数表达式. (2) P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点,若 △PBC 的面积等于△ABC 面积的一半,求点P 的坐标. (典例2图) [变式](2024·芜湖期中)如图,在平面直角坐标 系中,抛物线y=- 1 2x 2+12x+3 与x 轴的正 半轴交于点B,与y轴交于点C,且过点A(-1, 2),连接AB,AC,BC. (1) 点B 的坐标为 . (2) 若P 是抛物线对称轴上一点,且S△ABC= 2S△BCP,则点P 的坐标为 . 考点三 二次函数的实际应用 典例3 (2024·滨州)春节期间,全国各影院上 映多部影片,某影院每天运营成本为2000元, 该影院每天售出的电影票数量y(张)与售价 x(元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 40 且x是整数),部分数据如下表: 电影票的售价x/(元/张) 40 50 每天售出的电影票数量y/张 164 124 (1) 请求出y与x之间的函数表达式. (2) 设该影院每天的利润为w 元,求w 与x 之 间的函数表达式. (3) 该影院将电影票的售价定为多少时,每天的 利润最大? 最大利润是多少元? [变式]新考向·地域文化 在美丽的泉州,流行一 种簪花,其色彩绚丽美观,展现了人们的朴素美 与对生活的热爱,簪花文化的传播,也带动了簪 花的销售.某商店购进一批成本为每件30元的 簪花,销售时单价不低于成本价,且不高于 50元,据市场调查分析发现,该簪花每天的销售 量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数 关系,且当销售单价为35元时,可销售90件;当 销售单价为45元时,可销售70件. (1) 求出y与x之间的函数表达式. (2) 当销售单价定为多少时,才能使销售该簪花 每天获得的利润最大? 最大利润是多少? 考点四 反比例函数与一次函数的综合应用 典例4 (2024·乐山)如图,点A(1,m),B(n,1) 在函数y= 3 x (x>0)的图象上,过点A 的一次 函数y=kx+b的图象与y轴交于点C(0,1). (1) 求m,n的值和一次函数的表达式. (2) 连接AB,求点C 到线段AB 的距离. (典例4图) [变式](2024·株洲模拟)如 图,A,C 是反比例函数y= m x (m>0)图象上不同的两点, 其中点A 的横坐标为2 m,点C 的纵坐标为 3m,点B 为直线OA 与该反比例函数图象的 另一交点,连接AC 和BC.若△ABC 的面积为 11,则m 的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)九年级上 41 1. (2024·广州)函数y1=ax2+bx+c与y2= k x 的图象如图所示,当y1,y2 均随x 的增大 而减小时,x的取值范围是 ( ) (第1题) A. x<-1 B. -1<x<0 C. 0<x<2 D. x>1 2. (2023·衡阳)已知m>n>0,关于x 的方程 x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1<x2), 关于x的方程x2+2x-3-n=0的解为x3, x4(x3<x4),则下列结论中,正确的是( ) A. x3<x1<x2<x4 B. x1<x3<x4<x2 C. x1<x2<x3<x4 D. x3<x4<x1<x2 3. (2024·盐城模拟)如图,直线y= 1 2x-1 与 x轴交于点B,与反比例函数y= k x (x> 0)的图象交于点A,过点B 作x 轴的垂线, 与反比例函数y= k x (x>0)的图象交于点 C.若AB=AC,则k的值为 . (第3题) (第4题) 4. 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的对 称轴为直线x=1,与y 轴交于点C,与x 轴 交于点A,B(-1,0),有下列结论:① abc> 0;② 二次函数的最大值为a+b+c;③ a- b+c<0;④ b2-4ac<0;⑤ 当y>0时, -1<x<3;⑥ 3a+c=0.其中,正确的有 (填序号). 5. (2023·安庆潜山模拟)已知抛物线 y=x2-2ax+a2+2a(a>0). (1) 若a=1,则抛物线的顶点坐标 为 . (2) 直线x=m 与直线y=2x-2交于点P, 与抛物线y=x2-2ax+a2+2a交于点Q. 若当m<3时,PQ 的长度随m 的增大而减 小,则a的取值范围是 . 6. (2024·潍坊模拟)某公司营销A,B 两种产品,根据市场调研,确定以下 两条信息: 信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与 销售产品x(吨)之间存在二次函数关系,如 图所示; 信息2:销售B种产品所获利润y(万元)与销 售产品x(吨)之间存在正比例函数关系 y=0.3x. 根据以上信息,解答下面的问题: (1) 求二次函数的表达式. (2) 该公司准备购进A,B两种产品共10吨, 请设计一个营销方案,使销售A,B两种产品 获得的利润之和最大,最大利润是多少万元? (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第21章　二次函数与反比例函数 (3) 13 2 ;5. 解析:当2≤x≤4时, y= 1 2x 2+7x-16,∴ 其图象的对称 轴为直线x=- 7 2×12 =-7.∴ 当 2≤x≤4时,y 随x 的增大而增大. ∴ 当 x=4 时,y 取 得 最 大 值, y最大值= 1 2×4 2+7×4-16=20.当 4<x≤10时,y=-x2+13x-16= - x-132 2 +1054 .∵ -1<0,4< 13 2<10 ,∴ 当x=132 时,y 取得最大 值,y最大值= 105 4 .∵ 20<1054 ,∴ 当 x=132 时,y有最大值.要使每天的利 润不低于2400元,则当2≤x≤4时, 显然不符合,故令y=-x2+13x- 16=24,解得x=5或x=8,结合图 象,知 要 使 每 天 的 利 润 不 低 于 2400元,则5≤x≤8.又∵ 要尽可能地 减少半成品食材的浪费,∴ x应定为5. 因忽略自变量的取值范围 求最值时导致错误 求商品最大利润问题时,要注 意实际问题中自变量的取值范围, 有时根据二次函数图象的顶点坐 标求出的最大值并不一定是函数 在实际问题中的最大值,实际问题 中的最大值应在自变量的取值范 围内取得. 第21章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 D 解析: ① ∵ 抛物线的对 称轴为直线x=12 ,即对称轴在y轴 的右侧,∴ ab<0.∵ 抛物线与y 轴 交于负半轴,∴ c<0.∴ abc>0.故① 正确;② ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=12 ,∴ -b2a= 1 2.∴ -2b=2a. ∴ a+b=0.故②不正确;③ ∵ 抛物 线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且 a≠0)经过点(2,0),∴ 4a+2b+c= 0.∵ c<0,∴ 4a+2b+3c<0.故③ 正确;④ 由对称性知,抛物线与x 轴 的另 一 交 点 的 坐 标 为 (-1,0). ∵ a+b=0, 4a+2b+c=0, ∴ c= -2a. ∴ c 2a=-1.∴ 无论a,b,c取何值, 抛物线一定经过点 c 2a ,0 .故④正 确;⑤ ∵ b=-a,∴ 4am2+4bm- b=4am2-4am+a=a(4m2-4m+ 1)=a(2m-1)2.∵ a>0,∴ a(2m- 1)2≥0,即4am2+4bm-b≥0.故⑤ 正确.综上所述,正确的有4个. [变式] A 解析: ① ∵ 抛物线开 口向下,对称轴为直线x=1,与y 轴 交于正半轴,∴ a<0,-b2a=1 ,c>0. ∴ b=-2a>0.∴ ac<0.结论①错 误;② ∵ 抛物线与x轴有两个交点, ∴ Δ=b2-4ac>0.结论②正确; ③ 由①知,b=-2a,∴ 2a+b=0.结 论③错误;④ ∵ 抛物线的对称轴为 直线x=1,∴ 易得当x=3或-1时, y=0.∴ 当x=-1时,y=a-b+ c=0.结论④正确;⑤ 由④知,抛物线 与x轴的交点为(3,0),(-1,0).观 察图象,当x=-2时,y<0,即4a- 2b+c<0.结论⑤错误.综上所述,正 确的有2个. 典例2 (1) ∵ x2+4x+3=0, ∴ x1=-1,x2=-3. ∵ m,n 是一元二次方程x2+4x+ 3=0的两个实数根,且|m|<|n|, ∴ m=-1,n=-3. ∵ 抛物线y=x2+bx+c经过点A(m, 0),B(0,n), ∴ 1-b+c=0, c=-3, 解得 b=-2 , c=-3. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-2x-3. (2) 由(1)知,A(-1,0),B(0,-3), C(3,0), ∴ S△ABC= 1 2AC ·OB=12×4× 3=6. ∵ △PBC的面积等于△ABC面积的 一半, ∴ S△PBC=3. ∵ P 是直线BC 下方抛物线上的一 个动点, ∴ 设P(t,t2-2t-3)(0<t<3). 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+a(k≠0).把B(0,-3),C(3,0) 代入,得 3k+a=0, a=-3, 解得 k=1 , a=-3. ∴ 直线BC对应的函数表达式为y= x-3. 如图,过点P 作PG∥y轴,交直线BC 于点G,则G(t,t-3), ∴ PG=t-3-(t2-2t-3)= -t2+3t. ∴ S△PBC=S△PBG+S△PGC= 1 2PG · OC=12 (-t2+3t)×3=3. ∴ t1=1,t2=2.当t=1时,t2-2t- 3=-4;当t=2时,t2-2t-3=-3. ∴ 点P 的坐标为(1,-4)或(2,-3). (典例2图) [变式] (1) (3,0) 解析:令y= -12x 2+12x+3=0 ,解得x1=3, x2=-2.∵ 点B 在x 轴的正半轴 上,∴ B(3,0). (2) 1 2 ,7 2 或 12,32 解析:在 y=- 1 2x 2+12x+3 中,令x=0,得 y=3,即C(0,3).设直线AB 对应的 函数表达式为y=kx+b.把B(3,0), A(-1,2)代入,得 3k+b=0, -k+b=2, 解得 k=-12 , b=32. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线AB 对应的函数表 达式为y=- 1 2x+ 3 2. 设直线AB 交y轴于点D,抛物线对称轴交x轴 于点E,连接BP,CP.在y=- 1 2x+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 3 2 中,令x=0,得y= 3 2.∴ D 0, 3 2 .∴ S△ABC = 1 2CD ·(xB - xA)= 1 2× 3- 3 2 ×(3+1)=3. ∵ S△ABC=2S△BCP,∴ S△BCP= 3 2. ∵ 抛物线的对称轴为直线x=12 , ∴ 设P 12 ,p .当点P 在BC 上方 时,S△BCP =S梯形PCOE +S△PBE - S△OBC= 3 2 ,即1 2 (3+p)× 1 2+ 1 2× 3-12 p-12×3×3=32,解得 p= 7 2.∴ P 12 ,7 2 .当点P 在BC 下方时,S△BCP=S△OBC-S梯形PCOE- S△PBE= 3 2 ,即1 2×3×3- 1 2 (3+ p)× 1 2- 1 2× 3- 1 2 p=32,解得 p= 3 2.∴ P 12 ,3 2 .综上所述,点 P 的坐标为 12 ,7 2 或 12,32 . 典例3 (1) 设y与x之间的函数表 达式 为y=kx+b.由 题 表,可 得 40k+b=164, 50k+b=124, 解得 k=-4 , b=324. ∴ y与x 之间的函数表达式为y= -4x+324(30≤x≤80,且x是整数). (2) 由题意,得w=x(-4x+324)- 2000=-4x2+324x-2000,即w 与 x之间的函数表达式为w=-4x2+ 324x-2000(30≤x≤80,且x 是 整数). (3) 由(2)知,w=-4x2+324x- 2000=-4x-812 2 +4561. ∵ -4<0,30≤x≤80,且x是整数, ∴ 当x=40或41时,w 取得最大值, 此时w=4560. ∴ 该影院将电影票的售价定为40元/ 张或41元/张时,每天的利润最大,最 大利润是4560元. [变式] (1) ∵ 该簪花每天的销售 量y(件)与销售单价x(元)之间满足 一次函数关系, ∴ 设y 与x 之间的函数表达式为 y=kx+b(k≠0). ∵ 当销售单价为35元时,可销售 90件;当销售单价为45元时,可销售 70件, ∴ 35k+b=90, 45k+b=70, 解得 k=-2 , b=160. ∴ 设y 与x 之间的函数表达式为 y=-2x+160. (2) 设销售该簪花每天获得的利润为 w 元. 由题 知,w = (x-30)(-2x+ 160)= -2x2 +220x-4800= -2(x-55)2+1250. ∵ -2<0, ∴ 当x<55时,w 随x 的增大而 增大. 又∵ 30≤x≤50, ∴ 当x=50时,w 有最大值,最大值 为-2×(50-55)2+1250=1200. ∴ 当销售单价定为50元时,才能使 销售该簪花每天获得的利润最大,最 大利润是1200元. 典例4 (1) ∵ 点A(1,m),B(n,1) 在函数y= 3 x (x>0)的图象上, ∴ m=3,n=3. ∴ A(1,3),B(3,1). 又∵ 一次函数y=kx+b的图象过 点A(1,3),C(0,1), ∴ k+b=3, b=1, 解得 k=2 , b=1. ∴ 一次函数的表达式为y=2x+1. (2) 如图,连接BC,过点A 作AD⊥ BC,垂足为D,过点C 作CE⊥AB, 垂足为E. ∵ C(0,1),B(3,1), ∴ BC∥x轴,BC=3. ∵ A(1,3),B(3,1),AD⊥BC, ∴ D(1,1),AD=2,BD=2. 在 Rt△ADB 中,由 勾 股 定 理,得 AB= AD2+BD2 = 22+22 = 22. 又∵ S△ABC= 1 2BC ·AD=12AB · CE, ∴ CE=BC ·AD AB = 3×2 22 =322 ,即 点C到线段AB 的距离为322 . (典例4图) [变式] 23 解析:如图,连接OC, 过点C作CE∥x 轴,交y 轴于点E, 过点A 作AF⊥x轴于点F,交CE 的 反向延长线于点D.∵ 点A 的横坐 标为2 m,点A 在反比例函数y= m x (m>0)的图象上,∴ A 2 m, m 2 .∵ 点C 的纵坐标为 3m,点 C在反比例函数y= m x (m>0)的图 象上,∴ C 3m 3 ,3m .∴ 易得 D(2 m, 3m).∴ CD=2 m - 3m 3 ,AD= 3m- m2 .∴ S△ACD= 1 2×CD ·AD = 12 × 2 m - 3m 3 3m- m2 = 13312-1 m. ∵ 反比例函数y= m x (m>0)的图象 是关 于 原 点 成 中 心 对 称 的 图 形, ∴ OB=OA.∴ S△BOC =S△AOC = 1 2S△ABC= 11 2. 根据反比例函数k值 的几何意义可知,S△OCE+S△AOF=m. ∵ S矩形OFDE-S△ACD-S△OCE-S△AOF= S△AOC,∴ 23m- 133 12 -1 m- m=112 ,解得m=23. ［综合素能提升］ 1. D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 2. B 解析:关于x的方程x2+2x- 3-m=0的解为抛物线y=x2+ 2x-3与直线y=m 的交点的横坐 标,关于x的方程x2+2x-3-n=0 的解为抛物线y=x2+2x-3与直线 y=n的交点的横坐标.∵ m>n>0, ∴ 画出它们的大致图象如图所示.由 图,可知x1<x3<x4<x2. (第2题) 3. 4 解析:∵ 直线y= 1 2x-1 与 x轴交于点B,∴ 当y=0时,x=2. ∴ 点B 的坐标为(2,0).又∵ 过点B 作x轴的垂线,与反比例函数y= k x (x>0)的图象交于点C,∴ 点C的坐 标为 2,k2 .∵ AB=AC,∴ 点A 在线段BC的垂直平分线上.∴ 点A 的纵坐标为k 4.∵ 点A 在反比例函 数y= k x (x>0)的图象上,∴ k 4= k x ,解得x=4.∴ A 4,k4 .又∵ 点 A 4,k4 在直线y= 12x-1上, ∴ k 4= 1 2×4-1 ,解得k=4. 4. ②⑤⑥ 解析:∵ 二次函数图象 的对称轴在y 轴的右侧,且图象与 y轴交于正半轴,∴ ab<0,c>0,即 abc<0.故①不正确;∵ 二次函数y= ax2+bx+c 图象的对称轴为直线 x=1,∴ 顶点坐标为(1,a+b+c). ∵ 函数图象开口向下,∴ 二次函数 的最大值为a+b+c.故②正确; ∵ 抛物线过点 B(-1,0),∴ 当 x=-1时,y=0,即a-b+c=0.故 ③不正确;∵ 抛物线与x轴有两个交 点,∴ b2-4ac>0.故④不正确;∵ 对 称轴为直线x=1,B(-1,0),∴ 易得 A(3,0).由图象可知,当-1<x<3 时,y>0.故⑤正确;∵ 对称轴为直线 x=-b2a=1 ,即b=-2a,且a-b+ c=0,∴ a+2a+c=0.∴ 3a+c=0. 故⑥正确.综上,正确的有②⑤⑥. 5. (1) (1,2) (2) a≥2 解析:当x=m 时,yP= 2m-2,则点P 的坐标为(m,2m- 2),yQ=m2-2am+a2+2a,则点Q 的坐标为(m,m2-2am+a2+2a). ∴ yQ-yP=m2-2am+a2+2a- (2m-2)=(a-m)2+2(a-m)+ 2=(a-m+1)2+1>0.∴ 点Q 恒在 点P 的上方.∴ PQ=yQ -yP = [m-(a+1)]2+1.∵ 1>0,∴ 当 m<a+1时,PQ 的长度随m 的增大 而减小.∵ 当m<3时,PQ 的长度随 m 的增大而减小,∴ a+1≥3,解得 a≥2. 6. (1) 设销售A种产品所获利润y (万元)与销售产品x(吨)之间的函数 表达式为y=ax2+bx(a≠0). 将 (1,1.4),(3,3.6)代 入,得 a+b=1.4, 9a+3b=3.6, 解得 a=-0.1 , b=1.5. ∴ 销售A种产品所获利润y(万元) 与销售产品x(吨)之间的函数表达式 为y=-0.1x2+1.5x. (2) 设购进A种产品m 吨,则购进 B种产品(10-m)吨,销售A,B两种 产品获得的利润之和为W 万元. 根据题意,得W=-0.1m2+1.5m+ 0.3(10-m)=-0.1m2+1.2m+ 3=-0.1(m-6)2+6.6. ∵ -0.1<0, ∴ 当m=6时,W 取得最大值,最大 值为6.6.此时,10-m=4. ∴ 当购进A种产品6吨,B种产品 4吨时,销售A,B两种产品获得的利 润之和最大,最大利润是6.6万元. 第22章　相 似 形 22.1　比例线段 第1课时 相似多边形 与成比例线段 1. D 2. B 3. B 4. C 5. 9 4cm 6. 120° 7. ∵ C是AB 的中点,AB=24, ∴ AC=BC=12. ∵ 点D 在BC上,BD=5, ∴ CD=BC-BD=7,AD=AB- BD=19. ∴ BC BD= 12 5 ,CD AB= 7 24 ,AD CD= 19 7. 8. B 9. C 解析:设AD=x,AB=y,则易 得AE=12x.∵ 矩形AEFB 与矩形 ABCD 相似,∴ AE AB= AB AD.∴ 1 2x y = y x ,即y2= 1 2x 2.∴ x2 y2 =2,即xy = 2(负值舍去).∴ x∶y= 2∶1.故 选C. 10. 3 2 或23或233 解析:设添加 的数是x.当x∶1= 3∶2或x∶ 3=1∶2时,x= 32 ;当x∶ 3=2∶ 1或x∶2= 3∶1时,x=23;当 x∶1=2∶3或x∶2=1∶3时,x= 23 3 . 故这个数是 3 2 或23或233 . 忽略线段成比例的顺序 而导致错误 四条线段或四个数成比例时, 因其内外项的位置的顺序不同,所 列的比例式也不同,解得的结果有 可能不同,应分不同情况分类讨论 求解. 11. 这两个矩形不相似. ∵ A'D'=6,矩形A'B'C'D'的面积 为57, ∴ A'B'=576= 19 2. 又∵ AB=16,AD=10, ∴ A'D' AD = 3 5 ,A'B' AB = 19 32. ∴ A'D' AD ≠ A'B' AB . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32