4.2 由平行线截得的比例线段-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

∴ CD2=4×9=36.∴ CD =6. ∴ S△ABC= 1 2AB ·CD=12× (4+ 9)×6=39. 10. 90° 解 析:根 据 题 意,得 α β =0.6, α+β=360°, 解得 α=135°,β=225°, ∴ β- α=225°-135°=90°. 11. 是. 理由:设正方形ABCD 的边长为2a. 在正方形 ABCD 中,∠DAB=90°, AD=AB=2a. ∵ E 是AD 的中点, ∴ AE=12AD=a. 在Rt△AEB 中,EB= AB2+AE2= 5a. ∴ AH =AF=EF-AE=EB- AE=(5-1)a. ∴ HB=AB-AH=(3-5)a. ∴ AH2=(6-25)a2,AB·HB= 2a×(3-5)a=(6-25)a2. ∴ AH2=AB·HB,即AHAB= HB AH. ∴ H 是线段AB 的黄金分割点. 12. 由题意,得BC=2,∠NCB=90°. 由第二步,可得AC=12NC=1. 如题图③,在 Rt△ABC 中,AB= AC2+BC2=5. ∵ AD=AB=5, ∴ CD=AD-AC=5-1. ∴ CD BC= 5-1 2 . ∴ 矩形BCDE 为黄金矩形. 4.2　由平行线截得的 比例线段 1. C 2. C 3. B 4. 1.2 5. ∵ DE∥BC, ∴ AD AC= AE AB. ∵ CD AD= 1 2 , ∴ AD AC= 2 3. ∴ AE AB= 2 3. ∵ AB=15, ∴ AE=10. ∵ DF∥CE, ∴ AF AE= AD AC= 2 3 ,即AF 10= 2 3 ,解得 AF=203. ∴ EF=AE-AF=10-203= 10 3. 6. C 解析:∵ l1∥l3∥l4,∴ AC CD= EG GH ,即2+3 4 = 10 GH.∴ GH =8. ∴ EH=EG+GH=10+8=18. 7. C 解析:∵ DE∥BC,GF∥AC, ∴ AD AB= AE AC ,AG BG= CF BF ,ME DM= AG DG , GM MF = GD BD ,AD BD = AE CE ,且 四 边 形MECF 是平行四边形.∴ ME= FC.∴ FC DM = AG DG.∵ GD BD ≠ AD BD , ∴ GM MF≠ AE CE.∴ 选项 A,B,D都正 确,选项C错误. 8. A 解析:过点D 作DH∥BE,交 AC 于点 H.∵ F 为AD 的中点, ∴ AF=FD.∵ FE∥DH,∴ AE EH= AF FD=1.∴ AE=EH.∵ DH∥BE, ∴ EH CH = BD DC= 1 3.∴ CH=3EH. ∴ AE EC= 1 4. 9. 2 4 解析:如图,取EC 的中点 F,连结DF.∵ AB=AC,AD 为边 BC上的高,∴ D 为BC 的中点.∵ F 为EC 的中点,∴ DF∥BE,CF= EF.∵ DF∥PE,∴ AE EF= AP PD= 1 2. ∴ EF=2AE.∴ AE AC= AE AE+2EF= 1 5.∴ S△ABE S△ABC= AE AC= 1 5.∴ S△ABE= 1 5S△ABC= 1 5×10=2.∴ S△BEC= S△ABC-S△ABE=10-2=8.∵ D 为 BC 的中点,∴ S△DEC = 1 2S△BEC = 1 2×8=4. (第9题) 10. (1) ∵ DE∥BC, ∴ AD AB= AE AC. ∵ AD AB= 1 3 ,AE=3, ∴ 3 AC= 1 3 ,解得AC=9. ∴ EC=AC-AE=9-3=6. (2) ∵ DE∥BC,EF∥CG, ∴ AD AB= AE AC ,AF AG= AE AC. ∴ AD AB= AF AG. ∴ AD·AG=AF·AB. 11. (1) ∵ CE∥DA, ∴ BA EA= BD CD ,∠2=∠ACE,∠1= ∠E. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠ACE=∠E. ∴ AE=AC. ∵ BA EA= BD CD , ∴ AB AC= BD CD. (2) 9+35 2 . 解析:∵ AB=3,BC= 4,∠B=90°,∴ AC= AB2+BC2= 5.∵ AD 平分∠BAC,∴ 易得AC AB= CD BD ,即5 3= CD BD.∴ BD=38BC= 3 2.∴ AD= BD2+AB2 =352 . ∴ △ABD 的 周 长 =BD +AB + AD=32+3+ 35 2 = 9+35 2 . 4.3　相似三角形 1. C 2. D 3. 8 4. 16 5 5. (1) ∵ △ABC∽△DEC, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 76 4.2　由平行线截得的比例线段 ▶ “答案与解析”见P39 1. 新趋势·与音乐融合 如图,五线谱是由等距 离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直 线上的三个点A,B,C 都在横线上.若线段 AB=3,则线段BC 的长是 ( ) A. 2 3 B. 1 C. 3 2 D. 2 (第1题) (第2题) 2. (2024·宁波模拟)如图,l1∥l2∥l3,它们依次 交直线l4,l5 于点A,B,C 和点D,E,F.如 果DE∶DF=3∶5,AC=12,那么BC 的 长是 ( ) A. 2 B. 4 C. 24 5 D. 36 5 3. 已知线段a,b,c,求作线段x,使x=acb ,则下 列作法正确的是 ( ) A. B. C. D. 4. 如图所示为一架梯子的示意图,其中AA1∥ BB1∥CC1∥DD1,且AB=BC=CD.为使其更 稳固,在点A,D1 间加绑一条安全绳(线段 AD1),AD1交BB1于点E.若AE=0.4m,则 AD1= m. (第4题) 5. 如图,在△ABC中,D 为AC上一点,且CDAD= 1 2 ,过点D 作DE∥BC 交AB 于点E,连结 CE,过点D 作DF∥CE 交AB 于点F.若 AB=15,求EF 的长. (第5题) 6. 如图,l1,l2,l3,l4 是一组平行线,l5,l6 与这 组平行线依次相交于点A,B,C,D 和点E, F,G,H.若AB∶BC∶CD=2∶3∶4,EG= 10,则EH 的长为 ( ) A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 (第6题) (第7题) 7. 如图,在△ABC 中,DE∥BC,GF∥AC,下列 式子错误的是 ( ) A. AG BG= CF BF B. AD AB= AE AC C. GM MF= AE EC D. FC DM= AG DG 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 77 8. 如图,在△ABC 中,D 是BC 上一 点,连结AD,BDDC= 1 3 ,F 是AD 的 中点,连结BF 并延长,交AC 于点E,则AEEC 的值是 ( ) A. 1 4 B. 1 5 C. 2 5 D. 1 3 (第8题) (第9题) 9. 如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,点P 在边BC 上的高AD 上,且APPD= 1 2 ,BP 的延 长线交AC 于点E,连结DE.若S△ABC=10, 则S△ABE= ,S△DEC= . 10. 如图,在△ABC 和△ACG 中,D,E,F 分别 是AB,AC,AG 上的点,DE∥BC,EF∥ CG,ADAB= 1 3 ,AE=3. (1) 求EC 的长. (2) 求证:AD·AG=AF·AB. (第10题) 11. 请阅读材料,并解答下列问题. 角平分线分线段成比例定理:如图 ①,在△ABC 中,AD 平分∠BAC, 则AB AC= BD CD. 下面是这个定理的部分证明 过程. 证明:如图②,过点C 作CE∥DA,交BA 的 延长线于点E…… 问题: (1) 请按照上面的证明思路,补全该证明过 程的剩余部分. (2) 如图③,在Rt△ABC 中,AB=3,BC= 4,∠B=90°,AD 平分∠BAC,则△ABD 的 周长是 . (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第4章　相似三角形