期末压轴题特训考向四 生活中的数学-【拔尖特训】2025-2026学年九年级全一册数学(浙教版)

162 考向四　生活中的数学 ▶ “答案与解析”见P89 1. 某服装店试销一种成本为每件60元的服装, 规定试销期间服装的销售单价不低于成本, 且获得的利润不得高于成本的45%.经试销 发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合 一次函数关系y=-x+120.有下列结论: ① 销售单价可以是90元;② 该服装店销售 这种服装可获得的最大利润为891元;③ 销 售单价有两个不同的值满足该服装店销售这 种服装获得的利润为500元.其中,正确结论 的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 门环,在我国绵延了数千多年,是集实用、装 饰和门第等级为一体的一种古建筑构件,也 成为我国古建“门文化”中的一部分.如图所 示为一个门环图片和抽象的示意图,图中以 正六边形ABCDEF 的对角线AC 的中点O 为圆心,OB 长为半径作☉O,AQ 切☉O 于 点P,并交DE 于点Q,若AQ=123cm,则 ☉O 的半径为 cm. (第2题) 3. 如图,某学校七年级数学兴趣小组组织一次 数学活动.在一座有三道环形路的数字迷宫 的每个进口处都标记着一个数,要求进入者 把自己当成数“1”,进入时必须乘进口处的 数,并将结果带到下一个进口,依次累乘下 去,通过最后一个进口时,只有乘积是5的倍 数,才可以进入迷宫中心,现让小军从最外环 任一个进口进入. (1) 小军能进入迷宫中心的概率是多少? 请 通过画树状图进行说明. (2) 小组两名组员小张和小李商量做一个小 游戏,以猜测小军进迷宫的结果定胜负.游戏 规则如下:小军若能进入迷宫中心,小张和小 李各得1分;小军若不能进入迷宫中心,则他 在最后一个进口处所得乘积是奇数时,小张 得3分,所得乘积是偶数时,小李得3分,你 认为这个游戏公平吗? 如果公平,请说明理 由;如果不公平,请在第二道环形路进口处的 两个数中改变其中一个数使游戏公平. (3) 在(2)的游戏规则下,让小军从最外环进 口任意进入10次,最终小张和小李的总得分 之和不超过28分,请问:小军至少几次进入 迷宫中心? (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 163 4. 如图所示为小强洗漱时的侧面示意 图,洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放, 高AD=80cm,宽AB=48cm,小 强的身高为166cm,下半身FG=100cm,洗 漱时,∠FGK=80°,∠EFG=125°,脚与洗漱 台的距离GC=15cm(点D,C,G,K 在同一 直线上,结果精确到1cm,sin80°≈0.98, cos80°≈0.17,2≈1.41). (1) 此时小强头部E 与地面DK 约相距多少 厘米? (2) 此时小强头部E 是否恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方? 若是,请说明理由;若不 是,请通过计算说明他应向前还是向后移动 约多少厘米才能使头部E 恰好在洗漱盆AB 的中点O 的正上方. (第4题) 5. 太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特 点,已成为世界各国重点发展的新能源产业. 如图①所示为太阳能电板,如图②所示为其 截面示意图,其中GF 为太阳能电板,AE, CD 均为钢架且垂直于地面DE,AB 为水平 钢架且垂直于CD,测得AG=CF=0.4m, BC=0.6m,AC=0.75m.若某一时刻的太 阳光线GE,FH 垂直照射GF.求: (1) 钢架AE 的长. (2) 太阳能电板GF 的影子EH 的长(结果 精确到0.01m). (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 164 6. 如图①,排球场的长为18m,宽为 9m,网高为2.24m.队员站在底线 点O 处发球,球从点O 的正上方 1.9m的点C 发出,运动路线是抛物线的一 部分,当球运动到最高点A 时,高度为2.88m, 即BA=2.88m.这时水平距离OB=7m,以 直线OB 为x轴,直线OC 为y轴,建立如图 ②所示的平面直角坐标系. (1) 若球向正前方运动(即x 轴垂直于底 线),求球运动的高度y(m)与水平距离 x(m)之间的函数表达式(不必写出x的取值 范围),并通过计算判断这次发球能否过网, 是否会出界. (2) 若球过网后的落点是对方场地①号位内的 点P(如图①,点P距底线1m,距边线0.5m), 则发球点O 在底线上的哪个位置(参考数 据:2≈1.4)? (第6题) 7. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌 溉工具,如图,半径为3m的筒车 ☉O 按逆时针方向每分钟转56 圈, 筒车与水面分别交于点A,B,筒车的轴心O 距离水面的高度OC 为2.2m,筒车上均匀分 布着若干个盛水筒,若以某个盛水筒P 刚浮 出水面(点A)时开始计算时间 参考数据: cos43°=sin47°≈1115 ,sin16°=cos74°≈1140 , sin22°=cos68°≈38 . (1) 求盛水筒P 从点A 到达最高点所经过 的路程. (2) 求浮出水面3.4s时,盛水筒P 到水面的 距离. (3) 若接水槽MN 所在直线是☉O 的切线, 且与直线AB 交于点M,MO=8m,求出盛 水筒P 从最高点开始,经过多长时间恰好第 一次落在直线MN 上. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)九年级全一册 ∴ 2<x<4. 当x=y 时,4-x=4-y,即AG= AH. ∵ ∠BAC=90°, ∴ 易得∠AGH=45°. ∵ ∠B=45°, ∴ GH∥BC. 设OA 交GH 于点F'. ∵ 易得∠AOB=90°,GH∥BC, ∴ ∠OF'G=180°-∠AOB=90°. ∵ GF 与☉O 相切于点F, ∴ GF⊥OF. ∴ ∠OFG=90°. ∴ 易得点F'与切点F 重合,即F 为 AO 与☉O 的交点,同时也是GH 的 中点. 考向四　生活中的数学 1. B 解析:∵ 销售单价不低于成 本,且获利不得高于45%,∴ 0≤x- 60≤60×45%.∴ 60≤x≤87.故①错 误;设服装店销售这种服装可获得的利 润为w 元,则w=(x-60)(-x+ 120)=-x2+180x-7200=-(x- 90)2+900.∵ -1<0,∴ 当x<90时, w随x的增大而增大.∵ 60≤x≤87, ∴ 当x=87时,w 取最大值,最大值 为-(87-90)2+900=891.故②正确; 当 w=500时,则(x-60)(-x+ 120)=500,解得x1=70,x2=110(不合 题意,舍去),∴ 销售单价应定为70元. 故③错误.故正确结论的个数为1. 2. (3+ 6) 解析:如图,连结OP. ∵ AQ 是☉O 的切线,∴ OP⊥AQ. 设该圆的半径为rcm.∴ OB=OP= r cm.由 题 意,易 得 ∠ACB = ∠CAB=30°,AB =BC =CD = 2rcm.又∵ O 为AC的中点,∴ 易得 AO = 3rcm,AC = 23rcm. ∴ sin∠PAO=OPAO= r 3r = 33. 过点 Q 作QG⊥AC 于点G,过点 D 作 DH⊥QG 于点 H,∴ 易得四边形 DHGC是矩形.∴ HG=CD,DH= CG,∠HDC=90°.∴ sin∠PAO= QG AQ= QG 123 = 33 ,∠QDH=120°- 90°=30°.∴ QG=12cm.∴ AG= AQ2-QG2=122cm.∴ QH= (12-2r)cm,DH=(23r-122)cm. ∴ tan∠QDH =tan30°=QHDH = 12-2r 23r-122 = 33 ,解得r=3+ 6. 经检验,r=3+ 6是原分式方程的 解,且符合题意.∴ ☉O 的半径为 (3+6)cm. (第2题) 3. (1) 画树状图如图所示.由图,可知 共有12种等可能的结果,其中乘积是 5的倍数的结果有4种, ∴ P(进入迷宫中心)=412= 1 3. (2) 不公平. 由树状图可知,P(5的倍数)=13 , P(非5的倍数的奇数)=212= 1 6 , P(非5的倍数的偶数)=612= 1 2. ∵ 1 6< 1 2 , ∴ 不公平. 可将第二道环形路进口处的数4改为 任意一个奇数. (3) 设小军x 次进入迷宫中心,则 2x+3(10-x)≤28,解得x≥2. ∴ 小军至少2次进入迷宫中心. (第3题) 4. (1) 如图,过点F 作FN⊥DK 于 点N,过点E 作EM⊥FN 交NF 的 延长线于点M. ∵ EF+FG=166cm,FG=100cm, ∴ EF=66cm. ∵ 在Rt△FGN 中,∠FGN=80°, ∴ FN=FG·sin∠FGN=100·sin80°≈ 100×0.98=98(cm). ∵ ∠EFG=125°,∠GFN =90°- 80°=10°, ∴ ∠EFM=180°-125°-10°=45°. ∴ 在 Rt△EFM 中,FM =EF · cos∠EFM=66·cos45°≈66×1.412 = 46.53(cm). ∴ MN=FN+FM≈145cm. ∴ 此时小强头部E 与地面DK 约相 距145cm. (2) 不是. 如图,过点E 作EP⊥AB 于点P,延 长OB 交MN 于点H. ∵ AB=48cm,O 为AB 的中点, ∴ AO=BO=24cm. ∵ EM=EF·sin∠EFM=66·sin45°≈ 46.53(cm), ∴ 易得PH=46.53cm. ∵ GN=FG·cos∠FGK=100·cos80°≈ 17(cm),CG=15cm, ∴ 易得OH=24+15+17=56(cm), OP=OH -PH =56-46.53≈ 9(cm). ∴ 他应向前移动约9cm. (第4题) 5. (1) 如图,由题意,得AE⊥DE, CD⊥DE,AB ⊥CD,GE ⊥GF, FH⊥GF, ∴ ∠AED=∠BDE=∠ABD=90°, ∠AGE=∠GFH=90°. ∴ 四边形ABDE 是矩形. ∴ ∠BAE=90°. ∴ ∠1+∠2=90°. 又∵ 在Rt△AEG 中,∠AGE=90°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 98 ∴ ∠1+∠3=90°. ∴ ∠2=∠3. 又∵ ∠AGE=∠ABC=90°, ∴ △AEG∽△CAB. ∴ AG CB= AE CA. ∵ AG=0.4m,BC=0.6m,AC= 0.75m, ∴ AE=AG ·CA BC = 0.4×0.75 0.6 =0.5 (m). ∴ 钢架AE 的长为0.5m. (2) 如图,过点E 作EM⊥FH 于 点M, ∴ ∠EMF=90°. ∴ ∠AGE=∠GFH=∠EMF=90°. ∴ 四边形EGFM 是矩形. ∴ ∠GEM=90°,EM=GF=AG+ AC+CF=0.4+0.75+0.4=1.55(m). ∴ ∠3+∠4=90°. 又∵ ∠AED=90°, ∴ ∠4+∠5=90°. ∴ ∠3=∠5. 又∵ ∠AGE=∠HME=90°, ∴ △AEG∽△HEM. ∴ AE HE= EG EM. 在 Rt△AEG 中,由 勾 股 定 理,得 EG= AE2-AG2= 0.52-0.42= 0.3(m). ∴ EH =AE ·EM EG = 0.5×1.55 0.3 ≈ 2.58(m). ∴ 太阳能电板GF 的影子EH 的长 约为2.58m. (第5题) 6. (1) 由题意,易得点A,C的坐标分 别为(7,2.88),(0,1.9). 设球运动的高度y(m)与水平距离 x(m)之 间 的 函 数 表 达 式 为 y= a(x-7)2+2.88. 将C(0,1.9)代入,得1.9=a(0- 7)2+2.88,解得a=-150. ∴ 球运动的高度y(m)与水平距离 x(m)之 间 的 函 数 表 达 式 为 y= -150 (x-7)2+2.88. 由题意,得网距离底线18÷2=9(m). 当x=9时,y=- 1 50× (9-7)2+ 2.88=2.8>2.24. ∴ 这次发球能过网. 当y=0时,- 1 50 (x-7)2+2.88=0, 解得x1=19,x2=-5(不合题意,舍 去). ∴ 球运动的水平距离为19m. ∵ 19>18, ∴ 这次发球出界了. (2) 如图,连结OP,过点P 作直线 MN 平行于底线,分别交边线于点 M,N,过点O 作边线的平行线交MN 于点Q,易得∠OQP=90°. ∴ OQ=18-1=17(m),MN=9m. 由(1),得OP=19m. 在Rt△OPQ 中, ∵ ∠OQP=90°, ∴ PQ= OP2-OQ2= 192-172= 62(m). ∴ OH=QN=MN-PQ-PM=9- 62-0.5≈0.1(m). ∴ 发球点O 在底线上距右侧边线约 0.1m处. (第6题) 7. (1) 如图①,连结OA. 由题意,得筒车每秒旋转360°×56÷ 60=5°, 在Rt△ACO 中,cos∠AOC=OCOA= 2.2 3 = 11 15. ∴ ∠AOC≈43°. ∴ 2π×3×180-43360 = 137π 60 (m). ∴ 盛水筒P 从点A 到达最高点所经 过的路程约为137π 60 m. (2) 如图②,连结AO,OP,过点P 作 PD⊥OC于点D.盛水筒P 浮出水面 3.4s时,∠AOP=3.4×5°=17°, ∴ ∠POC=∠AOC+∠AOP=43°+ 17°=60°. 在Rt△POD 中,OD=OP·cos60°= 3×12=1.5 (m), ∵ 2.2-1.5=0.7(m), ∴ 易得盛水筒P 到水面的距离约为 0.7m. (3) 如图③, ∵ 点 P 在☉O 上,且 MN 与☉O 相切, ∴ 当点P 在直线MN 上时,P 是切 点,连结OP,则OP⊥MN,延长CO 交☉O 于点H. 在 Rt△OPM 中,cos ∠POM = OP OM= 3 8 , ∴ ∠POM≈68°. 在Rt△COM 中,cos∠COM=OCOM= 2.2 8 = 11 40 , ∴ ∠COM≈74°. ∴ ∠POH = 180°- ∠POM - ∠COM=180°-68°-74°=38°. ∴ 需要的时间为38 5=7.6 (s). ∴ 盛水筒 P 从最高点开始,经过 7.6s恰好第一次落在直线MN 上. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 09