2.1 平方根 预习讲义 2025-2026学年 苏科版八年级数学上册

2025-2026学年数学苏科版八年级上册 第2章 实数的初步认识 2.1 平方根（预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 知识与技能： · 理解平方根的概念，会用根号表示一个非负数的平方根。 · 知道一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 · 会求一些非负数的平方根。 · 了解算术平方根的概念，知道正数a的算术平方根是指正数a的正的平方根。 2. 过程与方法： · 通过具体实例抽象出平方根的概念，感受从具体到抽象的数学思想。 · 在求平方根的过程中，体会平方运算与开平方运算的互逆关系。 3. 情感态度与价值观： · 通过学习平方根，进一步感受数学与生活的联系，激发学习数学的兴趣。 · 在解决问题的过程中，培养严谨的思维习惯和勇于探索的精神。 知识点梳理 1. 平方根的定义： · 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 · 数学表达：如果 x² = a，那么 x 叫做 a 的平方根。 · 例如：因为 3² = 9，(-3)² = 9，所以 3 和 -3 都是 9 的平方根。 2. 平方根的表示方法： · 一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数，分别记为 “√a” 和 “-√a”，合起来可记为 “±√a”。 · 这里的符号 “√” 读作“根号”，“√a” 读作“二次根号a”（或“根号a”），a叫做被开方数。 · 例如：9的平方根可表示为 ±√9，即 ±3。 3. 平方根的性质： · 正数的平方根有两个，它们互为相反数。 · 例如：4的平方根是 ±2，因为 2² = 4，(-2)² = 4，且 2 和 -2 互为相反数。 · 0的平方根是0本身，即 √0 = 0。 · 负数没有平方根。因为任何数的平方都是非负数（即大于或等于0），所以负数不存在平方根。 · 例如：-4 没有平方根，因为找不到一个数的平方等于 -4。 4. 开平方运算： · 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 · 开平方运算与平方运算互为逆运算。我们可以利用平方运算来检验开平方的结果是否正确。 · 例如：要计算 √25，因为 5² = 25，所以 √25 = 5；要计算 -√16，因为 4² = 16，所以 -√16 = -4。 5. 算术平方根： · 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作 “√a”。 · 0的算术平方根是0。 · 例如：9的平方根是 ±3，其中 3 是 9 的算术平方根，可表示为 √9 = 3。 · 注意：算术平方根一定是非负数（即大于或等于0）。 6. 求一个数的平方根举例： · 求 100 的平方根：因为 10² = 100，(-10)² = 100，所以 100 的平方根是 ±10，即 ±√100 = ±10。 · 求 25/36 的平方根：因为 (5/6)² = 25/36，(-5/6)² = 25/36，所以 25/36 的平方根是 ±5/6，即 ±√(25/36) = ±5/6。 · 求 0.01 的平方根：因为 0.1² = 0.01，(-0.1)² = 0.01，所以 0.01 的平方根是 ±0.1，即 ±√0.01 = ±0.1。 知识点总结 · 平方根的定义是核心：如果x² = a，那么x叫做a的平方根（a≥0）。 · 表示方法要牢记：正数a的平方根是±√a，读作“正负根号a”。 · 性质是关键： · 正数有两个平方根，互为相反数； · 0的平方根是0； · 负数没有平方根。 · 开平方与平方互为逆运算：可以通过平方来求平方根，也可以通过平方来检验平方根。 · 算术平方根是平方根中的非负根：√a 表示a的算术平方根（a≥0），且√a ≥ 0。 巩固练习 一、选择题 1．2的算术平方根是（　　） A． B．2 C．± D．±2 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（　　） A．-2 B．-1 C．1 D．2 4．下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．36的算术平方根是6 C．的平方根是 D．的算术平方根是5 5． 若实数1-2a有平方根，则a可以取的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．下列判断中，错误的是（　　） A．的平方根是 B．的倒数是 C．的绝对值是1 D．的平方的相反数是 7． 下列说法正确的是（　　） A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10 C．是100的一个平方根 D．的平方根是 二、填空题 8．　 　． 9．若正数的平方根分别是和，则_____． 10．计算： ＝　 　． 11．已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是　 　． 12．已知，，，则　 　． 13．一个正方形的面积扩大为原来的4倍，则它的边长变有原来的　 　倍． 三、解答题 14．若一个正数a的两个平方根分别是和． （1）求a和b的值； （2）求的平方根． 15．已知2a–1的平方根是± ，3a+b–1的算术平方根是6，求a+4b的算术平方根. 16．解下列方程或方程组： （1）； （2）． 17．已知，． （1）已知的算术平方根为3，求的值； （2）如果一个正数的平方根分别为，，求这个正数． 参考答案 1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8． 9． 10．2 11． 12．3 13．2 14．（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． 15．解：由题意得，2a﹣1=17，3a+b﹣1=62， 解得a=9，b=10， 所以，a+4b=9+4×10=9+40=49， ∵72=49， ∴a+4b的算术平方根是7. 16．（1）解： 代入得：，解得：， 将代入得：， 原方程组的解为：； （2）解： ， 或． 17．（1）解：的算术平方根是3 解得： （2）解：一个正数的平方根分别为， ，即 解得： 这个正数是 学科网（北京）股份有限公司 $$