精品解析：广西部分学校2025-2026学年高一上学期开学质量检测数学试卷

2025年秋季学期高一开学质量检测卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：初中内容，高中北师大版必修第一册第一章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的元素个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 2. 下列几何图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，则（ ） A. 是真命题， B. 是真命题， C. 是假命题， D. 是假命题， 4. 每支铅笔0.5元，每支圆珠笔1元，小华买了铅笔和圆珠笔共20支，花了14元，设小华买了铅笔支，圆珠笔支，则满足的方程组为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“互为邻补角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积为8，则（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 7. 若，则（ ） A. 11 B. 14 C. 30 D. 45 8. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 函数与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，分别在线段上，且，与交于点是正方形内一点，且的面积与的面积相等，则（ ） A. B. C. D. 周长的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，直线被直线所截，，则__________. 13. 已知，且，则的最小值是__________. 14. 如图，数轴上放置的等边三角形的边长为2个单位长度，它的两个顶点分别与数轴上表示和的两个点重合.现将该等边三角形绕顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，则该等边三角形翻滚2025周后，点落在数轴上所对应的数是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）因式分解：. （2）若求的取值范围. 16. 某中学为了解高一年级同学暑假阅读情况，从中随机抽取20名同学进行调查，这20名同学阅读课外书的数量统计如下表： 阅读课外书的数量/本 0 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 2 4 6 3 2 （1）样本中这20名同学各自阅读课外书的数量的众数为__________，中位数为__________； （2）若该中学高一年级有1200名同学，试估计该校高一年级的同学暑假阅读4本以上（不含4本）课外书的人数； （3）现从样本中暑假阅读5本和6本课外书的同学中随机抽取2人，求这2人恰有1人暑假阅读了6本课外书的概率. 17. 如图，矩形的边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形变成四边形.已知与交于点. （1）证明：. （2）若，求四边形的面积（用表示）. （3）若，求四边形的面积. 18. 如图，在等腰中，是为圆心的直径，分别是与线段的交点，是线段的中点. （1）证明：. （2）证明：是的切线. （3）若，求的面积. 19. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过两点. （1）求该二次函数的解析式. （2）是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值. （3）在该二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高一开学质量检测卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：初中内容，高中北师大版必修第一册第一章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的元素个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的交运算求，即可得元素个数. 【详解】由题意可得，则有2个元素. 故选：B 2. 下列几何图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称以及中心对称的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，等腰三角形､正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， 故选:A. 3. 已知命题：，则（ ） A. 是真命题， B. 是真命题， C. 是假命题， D. 是假命题， 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定和存在量词和全称量词的否定求解. 【详解】由，得或，则当时，，故是假命题，. 故选：C 4. 每支铅笔0.5元，每支圆珠笔1元，小华买了铅笔和圆珠笔共20支，花了14元，设小华买了铅笔支，圆珠笔支，则满足的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列方程组即可. 【详解】由题意可知满足的方程组为. 故选：A 5. “”是“互为邻补角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，推不出互为邻补角； 由互为邻补角，得， 则“”是“互为邻补角”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 如图，函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积为8，则（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合平行四边形面积公式求，再确定点的坐标，由点在函数的图象上可得结论. 【详解】因为平行四边形的面积为8， 所以，解得. 因为点，所以点， 则. 故选：C. 7. 若，则（ ） A. 11 B. 14 C. 30 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由，得. 故选：D 8. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式求解. 【详解】由是方程的两个实数根，得， 则，所以. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由不等式性质的同向可加性可判断；对于B，当时，不等式不成立；对于C，根据不等式性质同乘一个正数不等号方向不变；对于D，可举例判断. 【详解】由，得，则A符合题意； 当时，满足， 此时，则，B不符合题意； 由，得，C符合题意； 当时，满足， 此时，则，D不符合题意. 故选：AC. 10. 函数与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线与抛物线有公共点，再结合；，；；三种情况讨论即可. 【详解】令，得.令，得或，则函数与在轴上有公共点，排除B. 当时，，抛物线开口向上，直线过一二三象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致， A选项可能. 当，时，，抛物线开口向下，直线过一二四象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致，C选项可能. 当时，，抛物线开口向下，直线过二三四象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致，D选项可能. 故选：ACD 11. 如图，在正方形中，分别在线段上，且，与交于点是正方形内一点，且的面积与的面积相等，则（ ） A. B. C. D. 周长的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】取线段的中点，连接，证得，再由，可判定A正确；证得，可判定B正确；由，求得，得到，得到，可判定C错误；过点作，得到在线段上，设关于的对称点为，当为线段的中点时，在线段上，得到的周长的最小值，作，求得的长，得到的周长取得最小值，可判定D正确. 【详解】取线段的中点，连接，因为，且， 所以，所以， 又因为分别为线段的中点，所以，所以，所以A正确； 因为，所以，所以， 所以，所以B正确； 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，所以，所以C错误； 过点作，交于点，交于点，则在线段上， 设关于的对称点为，当为线段的中点时，在线段上， 此时取得最小值，则的周长的最小值， 作，垂足为，则，所以，所以， 所以当为线段的中点时，可得， 所以的周长取得最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，直线被直线所截，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行，同位角相等可得结论. 【详解】因为，直线被直线所截，, 为同位角，， 所以. 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值是__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值是. 故答案为：. 14. 如图，数轴上放置的等边三角形的边长为2个单位长度，它的两个顶点分别与数轴上表示和的两个点重合.现将该等边三角形绕顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，则该等边三角形翻滚2025周后，点落在数轴上所对应的数是__________. 【答案】12149 【解析】 【分析】根据翻滚1周点落在数轴上的长度为6，即可求解. 【详解】因为等边三角形的边长为2个单位长度，所以等边三角形的周长为6个单位长度，所以该等边三角形翻滚2025周后，点落在数轴上所对应的数是 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）因式分解：. （2）若求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式进行因式分解； （2）先通过因式分解法解不等式得到的取值范围，再利用，结合不等式的性质求出的取值范围. 【详解】（1）. （2）由， 得，则， 由，得，可得. 16. 某中学为了解高一年级同学暑假阅读情况，从中随机抽取20名同学进行调查，这20名同学阅读课外书的数量统计如下表： 阅读课外书的数量/本 0 1 2 3 4 5 6 人数 1 2 2 4 6 3 2 （1）样本中这20名同学各自阅读课外书的数量的众数为__________，中位数为__________； （2）若该中学高一年级有1200名同学，试估计该校高一年级的同学暑假阅读4本以上（不含4本）课外书的人数； （3）现从样本中暑假阅读5本和6本课外书的同学中随机抽取2人，求这2人恰有1人暑假阅读了6本课外书的概率. 【答案】（1）众数为4，中位数为4. （2）300 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义计算； （2）根据20名同学的读书情况可估计全体学生的阅读情况； （3）根据列举法进行求解. 【小问1详解】 由题中统计表可知，4出现的次数最多，众数是4； 中位数是从小到大排列的第10和第11个数的平均数，故中位数是4 【小问2详解】 由题中统计表可知该中学高一年级同学暑假阅读5本课外书的频率为， 该中学高一年级同学暑假阅读6本课外书的频率为， 则该中学高一年级同学暑假阅读4本以上课外书的频率为， 故该中学高一年级同学暑假阅读4本以上课外书的人数的估计值为. 【小问3详解】 样本中暑假阅读5本课外书的3名同学记为，样本中暑假阅读6本课外书的2名同学记为. 从这5人中随机抽取2人，有，共10种， 其中这2人恰有1人暑假阅读了6本课外书的情况有，共6种， 故所求概率. 17. 如图，矩形的边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形变成四边形.已知与交于点. （1）证明：. （2）若，求四边形的面积（用表示）. （3）若，求四边形的面积. 【答案】（1） 因为四边形是矩形，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以， 因为四边形是矩形，所以，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求证四边形是平行四边形，即可得出，利用平行线的传递性即可； （2）作，垂足为，求出即可求面积； （3）求出，再利用第（2）问即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作，垂足为， 在中，，则， 故四边形的面积为. 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， 由（2）可知四边形的面积为. 18. 如图，在等腰中，是为圆心的直径，分别是与线段的交点，是线段的中点. （1）证明：. （2）证明：是的切线. （3）若，求的面积. 【答案】（1） 连接， 因为是的直径，所以，所以， 因为，所以是线段的中点， 因为是的直径，所以，所以， 因为分别是的中点， 所以，则. （2） 连接， 因为，所以， 因为，且是线段的中点， 所以，所以， 由（1）可知，则，所以， 所以，即， 所以，即是的切线. （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，由圆、等腰三角形及中位线的性质得是线段的中点、、，即可证； （2）连接，根据已知得到角的相关关系得，结合圆切线的定义即可证； （3）根据已知易得，利用相似比列方程求得，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，且，所以， 因为，所以， 所以，则，所以， 因为是的直径，所以的半径， 则的面积. 19. 已知二次函数的图象关于直线对称，且经过两点. （1）求该二次函数的解析式. （2）是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，过点作轴的垂线交直线于点，求的最大值. （3）在该二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）. （3）存在，或. 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解解析式即可； （2）设，则，表示为关于的函数，求解最大值即可； （3）作菱形，使得.因为，所以.因为，且，所以，所以.作轴，垂足为，设，则，故点的坐标为.求出直线的方程联立抛物线求得点的坐标即可. 【小问1详解】 （方法一）由题意可得解得 故该二次函数的解析式为. （方法二）依题意可设， 则解得 故该二次函数的解析式为. 【小问2详解】 因为，所以直线的表达式为. 设，则， 故. 因为， 所以的最大值为. 【小问3详解】 如图， 作菱形，使得. 因为，所以. 因为，且，所以， 以. 作轴，垂足为，设，则 ，故点的坐标为. 作，垂足为，则，所以， 所以，解得，故点的坐标为 . 设直线的表达式为， 则解得故直线的表达式为. 由得，解得或. 当时，，则点的坐标为. 因为，所以点的坐标为. 同理可得直线的表达式为. 由得，解得或. 当时，，则点的坐标为. 综上，点的坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $