第十三章 全等三角形（复习讲义）数学冀教版2024八年级上册

第十三章 全等三角形（复习讲义） ①掌握定义、命题的概念和应用，学会写出题设和结论；理解真命题、假命题和互逆命题等； ②掌握全等图形的概念和性质，学会找出生活中的全等图形； ③掌握全等三角形的概念、性质和判定，学会运用全等三角形的判定定理，运用全等三角形的性质解决问题； ④掌握几种尺规作图的方法，学会用尺规作图添加辅助线； 重点01 定义与命题 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 重点02 全等图形 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 重点03 全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 重点04 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 重点05 全等三角形的判定 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 重点06 尺规作图 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 题型一 命题的概念 1．下列句子中属于命题的是（   ） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等 2．下列语句中，是命题的是（　　） ①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a＞b，b＞c，那么a＞c；⑤直角都相等． A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．②③④⑤ 3．下列语句中，不是命题的是（    ） A．x一定小于吗? B．两点之间线段最短 C．等腰三角形是轴对称图形 D．对顶角相等 4．有下列语句：（1）画线段AB=2cm；（2）两条直线相交，有几个交点？（3）内错角相等；（4）直角都相等；（5）若 ，则． 其中是命题的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 命题的真假 5．下列命题是假命题的是（   ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．若，则 D．同位角相等 6．下列命题一定是真命题的是（  ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．在同一平面内，过一点不只有一条直线与已知直线垂直 D．对于三条不同的直线，如果，那么 7．命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 8．如图，如果 ，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）． 题型三 逆命题 9．下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 10．已知下列命题：①若，则；②互为相反数的两数之和为0；③两直线平行，内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ． 12．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 题型四 证明 的说法如下． 珍珍：得分不少于67分； 欣欣：得分不少于64分； 丁丁：得分为奇数． 其中珍珍是卧底，则通过三人的对话，分析可知校篮球队本周比赛的得分为（   ） A．63分 B．64分 C．65分 D．67分 14．网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（    ） A．15元 B．18元 C．19元 D．20元 15．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（   ） A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边 B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙 C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁 D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边 16．某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（     ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁 题型五 图形的全等 13．三位同学玩谁是卧底游戏，其中卧底提供的信息是完全相反的．关于校篮球队本周比赛的得分，三人17．下列各组图形、是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 18．下列各组图形中是全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   19．下列说法：①全等图形的面积相等；②全等图形的形状相同；③全等图形的对应边相等；④全等图形的对应角相等．其中正确的说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．下列说法中，正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 题型六 网格中的全等图形 21．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 22．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 23．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 24．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 题型七 全等三角形的概念 25．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 26．下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 28．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画 个． 题型八 全等三角形的性质 29．如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 30．如图，已知与全等，那么 ． 31．如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为 ． 32．如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 题型九 全等三角形的判定——SSS 33．如图，在中，，分别以为一边，向外作和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为 ． 35．如图，已知，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 36．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 题型十 全等三角形的判定——SAS 37．如图所示，，则（   ） A． B． C． D．无法计算 38．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 39．已知中，，为边上的中线，中线的最小整数值为 ． 40．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 题型十一 全等三角形的判定——ASA、AAS 41．如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 42．如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 43．如图，在四边形中，分别是和的平分线，若，则 ． 44．在中，，，直线经过点，，，垂足分别为． (1)如图（）， 求证：； (2)如图（） 将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由． 题型十二 全等三角形的判定——HL 45．如图，是的高，，则大小为 ． 46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    47．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 48．如图，已知． 【初步探究】（1）如图1，为边的中点，连接并延长到点，使，连接，求与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图2，若，过点作于点，为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，试说明：． 题型十三 结合尺规作图的全等问题 49．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 50．已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 51．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    52．如图，D为外部一点，连接，已知． (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到： ， ； ②判定的依据是 （从或中选填）； (3)求． 题型十四 倍长中线模型 53．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 54．在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 55．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 56．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 题型十五 一线三等角模型 57．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 58．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 59．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 60．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 题型十六 旋转模型 61．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 62．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 63． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 64．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 题型十七 半角模型 65．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    66．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 67．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 68．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 题型十八 三角形的尺规作图 69．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． 70．如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）． 71．1.已知：线段a，b，c．如图，求作：，使．补全下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） 作法： （1）作一条线段； （2）分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A； （3）连接，，就是所求作的三角形． 72．如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 2．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·一模）如图，在中，点O是边上的点．按下列要求作图： ①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F； ③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧； ④作直线，交线段于点M． 下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，点为的中点，的延长线交于点，为上的一点，与垂直，交于点，则下面判断正确的有（　　） ①是 的平分线；②是的边上的中线；③是 的边上的高；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图所示的方格中， ． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为 ． 9．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，，，，点在边上，与相交于点． (1)试说明：． (2)若，，，求与的周长之和． 10．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，平分是线段上一点，交直线于点，且． (1)求证:; (2)求的度数． 能力提升进阶练 11．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案（如图）： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可 ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案I、II，说法正确的是（   ） A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行 12．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，垂直的平分线于点、为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（    ）      A．1 B．2 C． D．3 14．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（   ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 15．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，垂直的平分线于点，若的面积为，则的面积为 （用含的代数式表示）． 16．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，，于点，于点，且，点从点向点运动，每分钟走，点从点向点运动，每分钟走，若、两点同时开始出发，运动 分钟后． 17．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，点D在边上，且，连接，分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．点G在射线上，若，则与的数量关系为 ． 18．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，，A、B、D三点在一条直线上； （1）线段和的位置关系是： ； （2）若，，则的长为 ． 19．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【数材呈现】 活动2用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点、、是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）嘉嘉得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，． 求证：． 证明： （3）淇淇连接筝形ABCD的对角线，交于点，发现“筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线”请你帮他补全证明过程． 已知：如图3，在筝形中，，，分别连接筝形的对角线，交于点． 求证：垂直平分． 证明： 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 20．（23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，） (2)求证：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 全等三角形（复习讲义） ①掌握定义、命题的概念和应用，学会写出题设和结论；理解真命题、假命题和互逆命题等； ②掌握全等图形的概念和性质，学会找出生活中的全等图形； ③掌握全等三角形的概念、性质和判定，学会运用全等三角形的判定定理，运用全等三角形的性质解决问题； ④掌握几种尺规作图的方法，学会用尺规作图添加辅助线； 重点01 定义与命题 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 重点02 全等图形 全等图形的概念 能够完全重合的图形叫做全等图形，简称全等形. 全等图形的性质 全等图形的性质：①形状相同，②大小相等. 几何变换与全等图形 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状和大小都没有改变，也就是说，平移、翻折、旋转前后的图形全等. 重点03 全等三角形的概念及表示 1.两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形 2.全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 3.全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在记两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上，如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 4.确定全等三角形对应关系的方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）. 重点04 全等三角形的性质 1.最主要的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2.其它性质： （1）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等； （2）全等三角形的周长相等，面积相等，但是，周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形. 重点05 全等三角形的判定 边角边 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角边角 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写“角边角”或“ASA”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简称为“角角边”或“AAS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 边边边 三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”. 如上图所示，在△ABC与△A’B’C’中，已知. 斜边、直角边 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为“斜边、直角边”或“HL”. 如上图所示，在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，，已知 . 重点06 尺规作图 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 题型一 命题的概念 1．下列句子中属于命题的是（   ） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 根据命题的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、美丽的天空，不是命题，故此选项不符合题意； B、你的作业完成了吗？，不是命题，故此选项不符合题意； C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，故此选项不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是命题，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列语句中，是命题的是（　　） ①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②同位角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a＞b，b＞c，那么a＞c；⑤直角都相等． A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2，是命题，符合题意； ②同位角相等吗？是疑问句，不是命题，不符合题意； ③画线段AB＝CD，没有对事情作出判断，不是命题，不符合题意； ④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命题，符合题意； ⑤直角都相等，是命题，符合题意， 命题有①④⑤． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 3．下列语句中，不是命题的是（    ） A．x一定小于吗? B．两点之间线段最短 C．等腰三角形是轴对称图形 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题，根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、一定小于吗？，不是命题，符合题意； B、两点之间线段最短，是命题，不符合题意； C、等腰三角形是轴对称图形，是命题，不符合题意； D、对顶角相等，是命题，不符合题意； 故选：A． 4．有下列语句：（1）画线段AB=2cm；（2）两条直线相交，有几个交点？（3）内错角相等；（4）直角都相等；（5）若 ，则． 其中是命题的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，所以需要找到可以判断真假的语句，对各个选项各个分析即可． 【详解】解：根据命题的定义，需要可以判断真假的语句． （1）画线段AB=2cm，不是判断真假的语句，故不是命题； （2）两条直线相交，有几个交点？，不是判断真假的语句，故不是命题； （3）内错角相等，是判断真假的语句，是命题； （4）直角都相等，是判断真假的语句，是命题； （5）若 ，则，是命题． 所以属于命题的是（3）（4）（5），共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题的定义，要求对命题的定义有很好的掌握，属于基本的题型，比较简单． 题型二 命题的真假 5．下列命题是假命题的是（   ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．若，则 D．同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，垂线段最短，对顶角，同位角的性质，根据垂线段最短、对顶角相等、非负数的性质、平行线的性质判断． 【详解】解：A、垂线段最短，是真命题，不符合题意； B、对顶角相等，是真命题，不符合题意； C、若，则，则有，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，符合题意； 故选：D． 6．下列命题一定是真命题的是（  ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．在同一平面内，过一点不只有一条直线与已知直线垂直 D．对于三条不同的直线，如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题真假的问题，掌握对顶角、同旁内角、垂线、平行线的性质是解题的关键．根据对顶角、同旁内角、垂线、平行线的性质对各项进行判断即可． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等但不是对顶角，故A为假命题． B．同旁内角互补需满足两直线平行，否则不成立，故B为假命题． C．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故C中“不只有一条”错误，为假命题． D．如果，那么，符合平行公理推论，故D为真命题． 故选D． 7．命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．利用平行线的性质对命题进行判断即可确定答案． 【详解】解：∵两直线平行，同旁内角互补， ∴命题“两直线平行，同旁内角相等”错误，是假命题， 故答案为：假． 8．如图，如果 ，那么（请添加一个适当的条件，使该命题为真命题）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要查了平行线的判定．根据平行线的判定定理解答即可． 【详解】解：如果，那么，是真命题． 故答案为：（答案不唯一） 题型三 逆命题 9．下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 【答案】D 【分析】本题考查了原命题与逆命题，判断逆命题的真假，解题的关键是熟练掌握命题的结构． 根据原命题，写出逆命题，判断逆命题的真假即可． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， ∴①正确， ∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角， ∴②不正确， ∴只有②不正确， 故选：． 10．已知下列命题：①若，则；②互为相反数的两数之和为0；③两直线平行，内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断一个命题及其逆命题的真假，先判断原命题的真假，再把原命题的条件和结论互换写出其逆命题，然后判断逆命题的真假即可得到答案． 【详解】解：①若，则，该命题是真命题； 原命题的逆命题为：若，则，该逆命题是假命题； ②互为相反数的两数之和为0，该命题是真命题； 原命题的逆命题为：如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数，该逆命题是真命题； ③两直线平行，内错角相等，该命题是真命题； 原命题的逆命题为：内错角相等，两直线平行，该逆命题是真命题； 故选：C． 11．命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，根据题意写出命题的逆命题即可． 【详解】解：命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数， 故答案为：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 12．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了写逆命题，判断命题的真假及举反例等知识，理解这些知识是关键； （1）交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断是真命题即可； （2）先改写成：“如果……，那么……”的形式，再交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断真假，若是假命题，则举出符合命题条件，但不符合命题结论的例子即可． 【详解】（1）解：逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形；是真命题； （2）解：原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角有公共顶点且相等； 逆命题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角； 是假命题． 反例如下：如图：，且共顶点O，但这两个角不是对顶角； 题型四 证明 的说法如下． 珍珍：得分不少于67分； 欣欣：得分不少于64分； 丁丁：得分为奇数． 其中珍珍是卧底，则通过三人的对话，分析可知校篮球队本周比赛的得分为（   ） A．63分 B．64分 C．65分 D．67分 【答案】C 【分析】本题考查了推理与论证，根据题意得到丁丁和欣欣说的是真话是解题的关键． 根据题意，根据丁丁和欣欣说的是真话，可得珍珍说的是相反的，则校篮球队本周比赛的得分是奇数，据此即可解答． 【详解】根据题意，珍珍是卧底，珍珍提供的信息是完全相反的，丁丁和欣欣的说法正确的， 根据丁丁和欣欣的说法，则校篮球队本周比赛的得分是奇数，且得分少于67分；不少于64分； 即得分取值范围为大于等于64分，少于67分，且为奇数， 故校篮球队本周比赛的得分为65分， 故选：C． 14．网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（    ） A．15元 B．18元 C．19元 D．20元 【答案】C 【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得手机支架的价格，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 甲、乙、丙的说法都是错误的， 甲的说法错误，说明手机支架的价格少于20元， 乙、丙的说法错误，说明手机支架的价格高于18元， 又因为琪琪同学花整数元购买了一个手机支架， 所以手机支架的价格是19元， 故选：C． 【点睛】本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到手机支架的价格． 15．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（   ） A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边 B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙 C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁 D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边 【答案】D 【分析】根据图形分析出四个人在桌子边的位置进而判断即可． 【详解】解：由题意可得，∵甲说他看到的是“6，丁说他看到的是“9”， 说明两人做对面，乙和丙做对面， 又∵乙说他看到的是“”， ∴乙在甲右边，则丙在丁右边． 故选D． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，利用得到的视图培养了学生的空间想象能力． 16．某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（     ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁 【答案】D 【详解】①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙； ②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁； 故选D． 题型五 图形的全等 13．三位同学玩谁是卧底游戏，其中卧底提供的信息是完全相反的．关于校篮球队本周比赛的得分，三人17．下列各组图形、是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据全等图形能够完全重合解答即可． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； 故选：D． 18．下列各组图形中是全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】 解：A.   是全等图形，符合题意； B.   ，形状不同，不是全等图形，不符合题意； C.   大小不同，不是全等图形，不符合题意； D.   大小不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查全等图形，熟记全等图形的定义：大小和形状完全相同的两个图形是全等图形是解题的关键． 19．下列说法：①全等图形的面积相等；②全等图形的形状相同；③全等图形的对应边相等；④全等图形的对应角相等．其中正确的说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的性质，熟练掌握全等图形的性质是解答本题的关键．全等图形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边． 【详解】解：①全等图形的面积相等，说法正确； ②全等图形的形状相同，说法正确； ③全等图形的对应边相等，说法正确； ④全等图形的对应角相等，说法正确； 综上分析可知，正确的说法的个数是4个． 故选：D． 20．下列说法中，正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的概念，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用． 根据全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等求解即可． 【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误； C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； D、符合全等形的概念，正确． 故选：D． 题型六 网格中的全等图形 21．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性质．如图，根据题意得，，，，先判断为等腰直角三角形得到，再证明，得到，则，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 根据题意得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 22．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 23．如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 24．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型七 全等三角形的概念 25．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察图形，找到与长度相等的边即可． 【详解】解：观察图形可知：，， ∴和是对应边， 而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为． 故选D． 26．下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 27．如图，与全等，可以确定与 是对应角，若与是对应边，则与 是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 28．已知的三边长互不相等，若以为两个顶点画不同位置的三角形（与原三角形不重合），使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可以画 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形全等的定义，根据题意画出图形，得出答案即可． 【详解】解：如图，可以画、、与全等，因此这样的三角形最多可以画3个． 故答案为：3． 题型八 全等三角形的性质 29．如图，已知，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在边上，与交于点F．如果，，则线段的长是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：20． 30．如图，已知与全等，那么 ． 【答案】72 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边所对的角是对应角，由此即可得到答案． 【详解】解：∵与全等，和是对应边， ∴， 故答案为：72． 31．如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，由可得，进而求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ，，，， ， 故答案为：． 32．如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】4或或16 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P到上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于4或或16秒时，与全等， 故答案为：4或或16． 题型九 全等三角形的判定——SSS 33．如图，在中，，分别以为一边，向外作和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理； 证明，可得，求出，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 34．如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“边边边”证明，根据对应角相等可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 35．如图，已知，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用． （1）先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，． 36．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，是解题的关键 （1）根据证； （2）根据，得，由求出即可． 【详解】（1）证明：在和中， ． （2）解：， ， ． 题型十 全等三角形的判定——SAS 37．如图所示，，则（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】先通过角的等量代换找到全等三角形的条件，证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质和三角形外角的性质来求解的度数．本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和外角性质是解题的关键． 【详解】解： ，即 又，， ∴ ，，， 故选：B． 38．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 由E、F分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：∵E、F分别是、上的任意点， ∴与不一定相等，故①错误； ∵于点B，于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， ∴平分，故③⑤正确； 当平分时，，而， ∴， 即只有当时，平分， 但是动点，角度不固定，故④错误； 故选：C． 39．已知中，，为边上的中线，中线的最小整数值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，倍长中线构造全等是关键．延长到E，使，证明 ，则，根据三角形的三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：延长到E，使， ∵， ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴，即， ∴中线的最小整数值为， 故答案为： 40．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 题型十一 全等三角形的判定——ASA、AAS 41．如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； 证明即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 无法得出， 故选：B． 42．如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 43．如图，在四边形中，分别是和的平分线，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 延长，于点，先证明，再证明，即可得到． 【详解】解：延长，于点， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 44．在中，，，直线经过点，，，垂足分别为． (1)如图（）， 求证：； (2)如图（） 将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，三角形内角和定理，垂直定义，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （）根据，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，进而即可得到结论； （）由，则，得出，然后根据“”可证得，再利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 题型十二 全等三角形的判定——HL 45．如图，是的高，，则大小为 ． 【答案】 【分析】根据是的高，，可知是等腰直角三角形，，，所以得到，根据题意可得，由此即可求出答案． 【详解】解：∵是的高，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的全等的判定和性质，掌握直角三角形判定全等的条件是解题的关键． 46．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 47．如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，等量代换得，根据，，则，根据，则，即可； （2）由（1）可得，，则，根据，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 48．如图，已知． 【初步探究】（1）如图1，为边的中点，连接并延长到点，使，连接，求与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图2，若，过点作于点，为边上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，试说明：． 【答案】（1），；理由见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据线段中点的定义得出，进而证明，根据全等三角形的性质，平行线的判定，即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，证明， 得出，，证明，得出，证明， 得出，即可得证． 【详解】（1）解：，，理由如下： 为边的中点， ， 在和中， ，，， ， ，， ． （2）证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ． 在和中， ，， ， ， ， ∴， 即， ∴， 在和中， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 题型十三 结合尺规作图的全等问题 49．根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、根据，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B、，，，能画出唯一，故此选项不符合题意； C、，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； D、，，，不能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 50．已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据证明三角形全等即可． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图可知，，，， 在和中， ， 故选：D． 51．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 52．如图，D为外部一点，连接，已知． (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到： ， ； ②判定的依据是 （从或中选填）； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． （2）①根据题意可得答案．②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得． 【详解】解：（1）如图，点M即为所求． （2）①通过作图可以得到：． 故答案为：；． ②判定的依据是． 故答案为：． （3）在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴． 题型十四 倍长中线模型 53．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 54．在中，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延长”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作出图形，延长到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的范围，再除以 2 即可得解． 【详解】解：如图，延长到，使， ∵是三角形的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 55．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 56．【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 题型十五 一线三等角模型 57．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 58．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 59．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 60．某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 题型十六 旋转模型 61．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 62．如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 63． 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 64．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十七 半角模型 65．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 66．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 67．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 68．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质；根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 题型十八 三角形的尺规作图 69．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． 作射线，在射线上截去，尺规作出，两线相交于点A，连接，则即为所求． 【详解】解：如答图，即为所求． 70．如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图；作，在射线上截取，在射线上顺次截取，连接，即为所求． 【详解】解：如图： 作法： 作， 在射线上截取，在射线上顺次截取， 连接，即为所求． 71．1.已知：线段a，b，c．如图，求作：，使．补全下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） 作法： （1）作一条线段； （2）分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A； （3）连接，，就是所求作的三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作三角形，根据题目描述作图即可． 【详解】解：如图，就是所求作的三角形． 72．如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查了基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【详解】（1）解：如图所示即为所求． ； （2）证明：根据作图得：，，， ∴． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 【答案】B 【分析】通过分别将正方形方格放在不同位置，依据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形全等 ），判断直线分割后两部分是否全等．本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形能够完全重合的性质是解题的关键． 【详解】解：方格放在①位置，此时观察图形，直线分割后，两部分的正方形分布和数量无法完全重合． 放在②位置后，直线将图形分割，两侧的正方形数量、排列可完全重合． 放在③位置，直线分割后的两侧图形，正方形的组成和布局可完全重合． 放在④位置，直线分割后，两侧图形的正方形数量与排列无法重合． 综上，方格可放的位置为②或③， 故选： ． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，据此求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 3．（2025·河北沧州·一模）如图，在中，点O是边上的点．按下列要求作图： ①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F； ③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧； ④作直线，交线段于点M． 下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据不一定相等，可得不一定相等． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴，一定成立，故C不符合题意； ∴一定成立，故B不符合题意； D．∵不一定相等， ∴不一定相等， ∴不一定成立，故D符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，点为的中点，的延长线交于点，为上的一点，与垂直，交于点，则下面判断正确的有（　　） ①是 的平分线；②是的边上的中线；③是 的边上的高；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线，高，全等三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握各定义和性质．利用三角形的角平分线，中线，高以及全等三角形可逐一进行判断． 【详解】解： ∴是 的平分线，故①正确； 无法证明点为的中点, 所以不是的边上的中线，故②错误； ∵与垂直， ∴是 的边上的高，故③正确； ∵与垂直， ∴, 又，（公共边） ,故④正确， 故选：C． 5．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    【答案】/100度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定是解题的关键．由条件可证明，再结合外角的性质可求得，再利用三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图所示的方格中， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，标记点、、、、，记一个小方格边长为，得出，，，利用证明，得出，根据三角形的内角和定理，得出，等量代换即可得出答案． 【详解】解：如图，标记点、、、、，记一个小方格边长为， 由图可得：，，， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的性质－全等三角形的对应边相等．分和，两种情况讨论求解． 【详解】解：∵P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米， ∴，， ①当时，则：， ∴， 解得：； ②当时，则：， 即： 解得：， 此时：米， ∵点C在线段MA上，米， ∴， 故不符合题意； 综上：当时，与全等； 故答案为：10． 9．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，，，，点在边上，与相交于点． (1)试说明：． (2)若，，，求与的周长之和． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（）由得，进而由即可求证； （）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 10．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，平分是线段上一点，交直线于点，且． (1)求证:; (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“AAS”判定和全等即可． （2）先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据，进一步求得的度数． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【详解】（1）证明： 在和中 （2） 平分 能力提升进阶练 11．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案（如图）： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可 ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案I、II，说法正确的是（   ） A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行 【答案】C 【分析】本题考查了作图—作角等于已知角，直线、射线、线段，平行线的判定与性质，三角形的内角和，根据平行线的判定与性质可对方案（I）进行判断；根据三角形的内角和可对方案（II）进行判断． 【详解】解：对于方案（I）： ， ， 等于直线所夹的锐角， 测量的大小即可， ∴方案（I）正确； 对于方案（II）： 和直线所夹锐角组成三角形， 直线所夹锐角等于， 所以测量和的大小可计算出直线所夹的锐角， ∴方案（II）正确． 故选：C． 12．（2025·河北张家口·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 13．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，垂直的平分线于点、为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（    ）      A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的判定与性质，三角形中线的性质，延长交于点N，根据条件证明，可得，进而得到，再根据为中点，即可求解． 【详解】解：延长交于点N，如图，   ∵平分，垂直的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 故选：A． 14．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（   ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，即可得到一定正确的结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴；故①，②都正确； ∴，故④正确； 无法证明平分，．故③⑤不正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 15．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，垂直的平分线于点，若的面积为，则的面积为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键．延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴ 故答案为：． 16．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，，于点，于点，且，点从点向点运动，每分钟走，点从点向点运动，每分钟走，若、两点同时开始出发，运动 分钟后． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，求出和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】解：若时，则， ∴， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， 则当分钟时，两个三角形全等； 故答案为：4． 17．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，点D在边上，且，连接，分别过点B，C作直线的垂线，垂足分别为E，F．点G在射线上，若，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再证明，得到，得到，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 18．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，，A、B、D三点在一条直线上； （1）线段和的位置关系是： ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平角的定义，熟练掌握全等三角形对应边、对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质和平角的定义即可求解； （2）根据全等三角形的对应边相等，即，，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵A、B、D三点在一条直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 19．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【数材呈现】 活动2用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点、、是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）嘉嘉得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，． 求证：． 证明： （3）淇淇连接筝形ABCD的对角线，交于点，发现“筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线”请你帮他补全证明过程． 已知：如图3，在筝形中，，，分别连接筝形的对角线，交于点． 求证：垂直平分． 证明： 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）或 【分析】（1）取格点的关于的对称点，连接、即可求解； （2）连接，利用证得即可求解； （3）利用（2）的证得，得、，再利用即可求解； （4）根据题意，分两种情况：①当筝形中，，时；②当筝形中，，时，分别求解即可． 【详解】解：（1）如图，四边形为所求． （2）如图，连接， 在和中， ， ， ． （3）由（2）得， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 垂直平分． （4）根据题意，可分两种情况： ①如图，当筝形中，，， 由（2）得：， ； ②当筝形中，，， ， 在中，， ， 是的一个外角， ， ． 综上所述，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点睛】本题主要考查了网格作图，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角的性质，熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题关键． 20．（23-24八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，的平分线交于点D． (1)尺规作图：在上求作一点E，使，交于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：，，，） (2)求证：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析, ； (2)见解析； (3)33． 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用作一个角等于已知角的方法作图，再根据全等三角形的判定定理分析即可； （2）利用“”证明全等即可； （3）由（2）可知，得到，，根据的周长得到，即可求出的周长． 【详解】（1）解：如图，点为所求作，作图依据是； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ； （3）解：由（2）可知， ，， 的周长为15， ， ， 的周长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$