专题09 直线与圆锥曲线的位置关系11大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题09 直线与圆锥曲线的位置关系11大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线与圆锥曲线的位置关系 1 题型二、中点弦问题之中点弦所在直线方程问题 3 题型三、中点弦问题之对称问题 6 题型四、弦长问题 9 题型五、三角形（四边形）面积问题 13 题型六、定点问题 18 题型七、定值问题 24 题型八、四点共圆问题 29 题型九、斜率和差商积问题 33 题型十、范围与最值问题 40 题型十一、切线问题 46 B 综合攻坚・能力跃升 52 题型一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与曲线（）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】取，原方程变为，两个椭圆与直线有4个公共点， 故选：D 2．若直线与圆O：相切，则过点的直线与椭圆的交点个数是 ． 【答案】2 【详解】因为直线与圆O：相切， 所以圆心到直线的距离，所以， 而，所以点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2． 故答案为：2. 3．过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 【答案】 【详解】设直线的方程为：，联立双曲线得： 当时，方程有唯一解，此时. 当时，令，则 解得． 故答案为：. 4．过点的直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有 条. 【答案】2 【详解】因为点在抛物线上， 所以，当过点的直线与抛物线相切，或平行于轴时，与抛物线只有一个公共点， 所以满足条件的直线有条. 故答案为： 5．若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 【答案】 【详解】联立方程组消去y所得的方程为，由题意，设方程的两根为， 则 解得或． 所以k的取值范围为． 题型二、中点弦问题之中点弦所在直线方程问题 6．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 7．设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则 ． 【答案】 【详解】设， 已知，则， 两式相减得， 故，即， 即． 故答案为：. 8．已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率为 【答案】/ 【详解】由题意设，，， 则， 两式相减可得：， 因为：，，所以 即直线斜率为， 又直线斜率为，所以，即， 由，得，即，得，得. 故答案为： 9．为椭圆内一定点，过点作一弦，使此弦被点平分，求此弦所在直线的方程． 【答案】 【详解】解法1 如图，设所求直线方程为． 由方程组 消去，得．由题可得判别式大于0. 设弦的两端点为，由韦达定理． 又是弦的中点，所以， 所以，解得． 所以弦所在的直线方程是，即． 解法2 设弦的两端点为，弦所在直线的斜率为， 则，两式相减整理得：. 由题，则，又直线过点， 则弦所在的直线方程为，即． 10．已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线. 【答案】，存在 【详解】设直线与双曲线交于， 中点，则， 将代入双曲线方程有， 两式相减得：， 代入中点坐标：，即斜率. 得. 将直线方程代入双曲线方程得， 整理得， ， 方程有两个不同的实根，所以直线与双曲线有两个不同的交点， 故存在符合条件的直线. 题型三、中点弦问题之对称问题 11．已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即，即，即， 又因为点在直线上，则， 则有，解得，故线段的中点为. 故选：A. 12．已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得，即，即， 即，① 又因为点在直线上，则，② 联立①②可得，故线段的中点为. 故选：C. 13．已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题意可知直线的斜率，可知直线AB的斜率． 设，线段AB的中点为，则， 可得，． 因为A，B为双曲线上的两点， 所以，两式相减整理得， 即，解得，所以直线， 因为线段AB的中点在直线上，又在直线OM上，故两直线交点即为中点 联立得， 解得，可知线段AB中点的坐标为． 故答案为：. 14．不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 . 【答案】 【详解】设， 则，两式相减得， 即， 即 ，所以， 因为是AB垂直平分线，有，所以， 即，化简得，故，则. 故答案为： 题型四、弦长问题 15．过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有 条． 【答案】4 【详解】由题知双曲线右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时，不符合题意； 当直线斜率存在时，设，， ， ， ， 则或， 综上，这样的直线有4条. 故答案为：4. 16．已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则 . 【答案】 【详解】设直线，点， 由消去得， 所以， 所以， 解得，方程，解得， 于是，由余弦定理得. 故答案为： 【点睛】结论点睛：直线l：上两点间的距离； 直线l：上两点间的距离. 17．焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有 条. 【答案】5 【详解】因为实轴长为，虚轴长为，所以， 双曲线为，右焦点 设直线与双曲线交于， 当直线斜率不存在时，直线方程的方程为， 令，则，得，此时弦长为，不符合题目； 当直线斜率存在时，设直线方程为 联立，可得， ， 解得且 ， 解得或，过右焦点共有3条直线符合条件； 所以根据对称性可知过左焦点与相交所得弦长为4的直线有条. 综上，总共有5条直线符合条件 故答案为：5. 18．已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得， 故的方程为. （2）联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 19．已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点． (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹相交于，两点，若的内切圆半径为、且，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）圆：的圆心，半径，连接，则， ， 因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，而焦距，短半轴长， 所以点的轨迹方程为. （2）由（1）知是点的轨迹的右焦点，则过的直线与该轨迹必交于两点， 且直线不垂直于轴，设其方程为，， 则，由为的内切圆半径，且的周长为， 得， 又，因此，解得， 所以直线的方程为. 题型五、三角形（四边形）面积问题 20．如图，过椭圆上一点作直线交曲线于点，且，且，求面积的取值范围．    【答案】 【详解】由前面的结论可知，当时，直线过原点， 又因为，所以． 设，，，则点． 由于点在椭圆上，则有， 由此可得，． 在中，设， 所以，由得． 当时，达最大值． 所以． 21．已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由已知，即． 又由可得，所以， 则椭圆C的方程为． （2）由题直线l与椭圆C有两个交点A和B，设，． 联立，得，即， ∴且，． 由直线l不过原点可得且． 利用弦长公式 ， 且点O到直线l的距离． ∴ ， 当且仅当，即，此时直线． 22．如图所示，直线过点是抛物线上关于对称的两不同点，求面积的最大值．    【答案】． 【详解】设，，中点为， 由点差法得，所以方程为． 令，得，所以． 于是可设直线方程为，代入得， 由得，韦达定理得 所以 ， 因为，所以 ． 当，即（满足）时，面积取到最大值. 23．已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为或抛物线的标准方程为，准线方程为. (2) 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 24．已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）. (1)若椭圆的离心率为，求的值； (2)若，左顶点为，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵椭圆的离心率为， ∴， 解得. （2）时，，故，所以，， 、均不在轴上，故直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立与得， 因， 由韦达定理，，， 所以， 又，故的面积， 而， 当且仅当，即时等号成立， 所以的面积的最大值为. 题型六、定点问题 25．已知椭圆的左焦点为，短轴长为，点在椭圆上且的最大值是最小值的倍. (1)求椭圆C的方程； (2)若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）已知短轴长为，根据椭圆的性质，. 设椭圆的半焦距为，已知的最大值是最小值的倍，即. 展开可得，即. 又因为，把代入可得. 即，解得，那么. 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，,. 因为，在椭圆上，代入可得，. 已知，则，，. 把代入得，其值不为， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，，. 联立直线与椭圆方程，得. 展开可得， 整理得. 根据韦达定理，，. 因为，所以，，. 即，. 展开得. 将，代入上式并化简可得. 即，解得或. 当时，直线的方程为， 经过原点. 当时，直线的方程为，所以直线恒过定点，不合题意. 综上所得，直线恒过定点原点. 26．已知是椭圆上的两点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上顶点和右焦点的直线与椭圆交于另一个点B，P为直线上的动点，直线分别与椭圆交于（异于点），（异于点）两点，证明：直线经过点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得 ,解得 ， 故椭圆E的方程为． （2）证明：由（1）可知，，则直线的方程为 联立方程组,整理得，解得或，则， 设，直线的方程为，直线的方程为， 设， 联立方程组 ，整理得， 可得， 联立方程组 ，整理得， 则，得从而． 因为， ， 即，所以三点共线， 所以直线经过点F． 27．已知双曲线：的渐近线为，右焦点到渐近线的距离为，设是双曲线：上的动点，过的两条直线，分别平行于的两条渐近线，与分别交于P，Q两点. (1)求的标准方程： (2)证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点. 【详解】（1）解：因为的渐近线方程为，所以，所以. 又右焦点到渐近线的距离为，所以，得. 又因为，所以，所以. 所以双曲线的标准方程为； （2）解：由（1）可知的方程为， 设，所以有， 过点作与平行的直线分别与双曲线交于点， 由，得， 整理得，所以， 由于，故， 则，故， 所以. 同理可得. 所以直线：恒过定点. 28．已知抛物线与交于两点，其中点在第一象限，且，抛物线的准线与轴交于点． (1)求以线段为直径的圆的方程； (2)若在抛物线上，且，探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线过定点． 【详解】（1）由题意得，两点的纵坐标分别为， 代入中，解得舍去），， 代入中，得，解得抛物线， 则以线段为直径的圆的方程为． （2）如图： 显然直线与轴不平行，设直线的方程为， 联立，消去得． 设，则． ，且是抛物线上异于的不同两点，． ，同理得， ∴，∴，∴，即， ∴，所以直线过定点． 29．已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点. (1)求点的轨迹的方程; (2)若直线 (不与轴垂直) 与轨迹交于另一点关于轴的对称点为，求证: 直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【详解】（1）如图，. ，， 即 ，当互换位置时，， 当直线 与轴重合时无法作出，故不在轴上， 点在以为焦点的双曲线上，且， 故点的轨迹的方程为； （2）假设直线 的斜率不存在，则不难发现点与重合，不符合题意， 设的方程为，则， 将的方程代入曲线，整理得， 当时，不满足直线 与曲线有两个交点，舍去. ， ， 直线过， ，即， ， 整理得， 代入韦达定理得 ，整理得， 此时 ，解得， 直线的方程为，故直线恒过定点. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 题型七、定值问题 30．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立得， 设、，则，， ，同理可得， 所以， 因为为定值，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 31．在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，的面积是定值，定值为. 【详解】（1）设椭圆为，，，， 由题意得，解得，，故椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，取，，符合题意， 故存在点使为的重心，且此时的面积为. 当直线的斜率存在时，设，联立得， 设，，则，，， 由条件得，得， 则， ， 综上，的面积为定值，其值为. 32．已知双曲线的实轴长为，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与双曲线交于不同的两点为坐标原点，且，过作，垂足为，问是否存在点使得为定值?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由双曲线实轴长为，得， 因为双曲线的渐近线方程为， 又直线为双曲线的一条渐近线，得，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）直线，设， 由，消得， 则， 所以， 因为，又，所以， 所以， 得到，化简得，又，得到， 所以直线l恒过定点，又，则为直角三角形， 所以当点为中点时，， 所以存在点，使得为定值. 33．已知点，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且． (1)求曲线的方程； (2)是否存在一条直线与曲线交于两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）设点的坐标为，则，， 由题意可得，，化简得， 进而曲线的方程为． （2）（ⅰ）若直线的斜率存在，设， 由，得， 则，即， 设，，则，，      因为以为直径的圆经过原点，所以，则， 即，整理得，               ， 设为点到直线的距离，则，所以， 又，所以．        （ⅱ）若直线的斜率不存在，则， 不妨设，则，代入方程，得， 所以，则， 综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，且． 34．已知圆，圆过点且与圆内切，若圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线交于两点（在轴上方），且曲线与轴交于两点（在点左侧），记直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，该定值为 【详解】（1）设，则，则在圆内部， 则，即为， 则点的轨迹是以为焦点的椭圆，设曲线的方程为：， 则，解得，故，则的方程为； （2）如图,令，则， 易知直线斜率不为0，设直线， 则化简得，则， ，同理，且， 则， ， 所以是定值，该定值为． 题型八、四点共圆问题 35．已知抛物线，. (1)直线交抛物线于A，B两点，求面积的最大值； (2)已知P，Q是上的不同两点，且直线的斜率，直线，分别交抛物线于，，，四点，求证：，，，四点共圆. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1） 设， 则， 所以，则， 故, 所以， 又点到直线的距离为， 则， 令，则， 则当时，，函数递增；当时，，函数递减； 故当时，取得最大值为，故面积的最大值为. （2）证明：设， 则，故， 故， 设，， 则直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 故满足方程，即（*）， 又都在抛物线上，即四点坐标满足方程， 也满足（**）， （**）-（*）得：，即， 四点的坐标都满足此方程， 由知此方程对应的曲线是圆， 故，，，四点共圆. 36．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，位于第一象限的点为上一点，，且垂直于轴. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与交于，两点，求证：，，，四点共圆. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知， 由轴，知，， 由，知，解得， 所以抛物线的方程为. （2）联立得， 解得，. 设，， 由，在抛物线上知，. 又，， 所以，，，， 所以，， 所以，， 所以，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆. 37．已知动圆M过点且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线与轴相交于点P，点B为曲线C上异于顶点的动点，直线PB交曲线C于另一点D，直线BO和DO分别交直线于点S和T．若四点共圆，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，解得. （2） 设直线的方程为代入得 ，设，， 则， 又直线的方程为，即，则， 同理：  ，    则 ，    ， 四点共圆， ， 即，又，则. 38．已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）. (1)求的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若直线与轴交于点，求证：四点共圆. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）依题意，，解得， 故的方程为； （2）依题意，点关于轴对称，将代入，解得， 因点在第一象限，则，， 的面积为， 因，则当，即时，取得最大值为； （3）因关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设， 则的外接圆半径为， 于是的外接圆的方程为：，         因点在该圆上，代入圆的方程解得，则的外接圆方程为：（*） 又直线的方程为：，令，可得， 将其代入（*），可得：， 即点在该圆上，故四点共圆. 题型九、斜率和差商积问题 39．如图，椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），证明：直线与直线的斜率之和为2． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知解得，，， 所以椭圆方程为． （2）方法一：通法．当斜率不存在时，直线与椭圆的两个交点为，，显然成立． 当斜率存在时，设直线的方程为，代入， 得．由题意可知． 设，，，则，． 从而直线，的斜率之和为 ． 方法二：齐次化．将椭圆向上平移一个单位所得方程为，即． 设平移后直线的方程为，此时直线经过，则． 将直线的方程与椭圆方程齐次化联立可得， 整理得，即， 故[与求定点不一样，平移前后直线斜率不会变化]． 方法三：配凑法．设直线，因为直线过点，所以． 将椭圆方程写为，即． 齐次化联立直线与椭圆方程可得，即． 两边同除以，整理得，是关于的二次方程， ，即为方程的两个解，所以. 40．已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． (1)求椭圆E的方程； (2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由题意知 椭圆方程为 （2）（ⅰ）设 联立，消去x得 （ⅱ）已知直线的方程为，与椭圆方程联立： 将代入可得. 展开并整理得. 所以. 由韦达定理可得，.   因为，根据斜率公式可得： ，即. 又因为，，所以. 展开得. 移项可得.   将，代入： 因为，等式两边同时除以得. 即. 两边同时乘以得. 移项可得，解得.   把代入得. 整理得. 41．已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点，和点，. (1)求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若，过双曲线上一点向双曲线作切线，，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3)不存在，使得为定值 【详解】（1）联立，得， 由题意可得，，解得或； （2）证明：设，，    由（1）可得， 设的中点为，则， 从而，即， 又双曲线的渐近线方程为， 联立，解得， 同理可得， 则的中点为，故与的中点重合， 则，，即； （3）设过且与双曲线相切的直线方程为， 即，联立， 得， 由题意可知， 化简可得， 由题意可知，为方程的两个根， 则，， 故， 若为定值，则有，化简得，此时， 但此时， 故不存在，使得为定值． 42．已知为双曲线：的左顶点，F为双曲线的右焦点，. (1)求双曲线的方程. (2)已知直线：与双曲线交于A，B两点. （i）求m的取值范围. （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是定值，定值为 【详解】（1）由题意可知：，且， 结合，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设，， 联立方程，消去x得， 由题意得且，解得或，， 所以m的取值范围为； （ii）由（i）可知，. 因为为双曲线的左顶点，则，可得，， 则 ， 故是定值，该定值为. 43．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知，所以抛物线方程为. （2） 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. （3）设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 题型十、范围与最值问题 44．已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，点为点在直线上的射影．则点到直线的距离的最大值为（    ） A．9 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】由题可知直线斜率存在，设直线，，， 联立方程：，整理得：，， ，. ， 得或（舍）.故直线， 当时，点，点到直线的距离为； 当时，直线，又直线，消去整理得：， 即此时点的轨迹方程为，（或者利用直线过定点结合，得出点的轨迹为以为直径的圆）， 点到直线的距离的最大值为， 综合可知点到直线的距离的最大值为8. 故选：C. 45．过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 由题意得． 因为点在的右支上， 所以设直线的方程为． 与联立，得，， 设，则， 所以． 易知点到直线的距离． 由线段的中点与线段的中点重合，得四边形是平行四边形， 其面积． 由，得， 所以，所以． 故答案为：. 46．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点. (1)求证：； (2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为抛物线的焦点为， 所以，即的方程为：，如下图所示： 设点， 由题意可知直线的斜率一定存在，设， 联立得， 所以. 由，得， 所以，即. 令，得，即， 同理，且， 所以. 由，得，即. 所以. 故. （2）设点，结合（1）知，即 因为， 所以. 同理可得， 所以. 又， 所以. 当且仅当时，等号成立； 即直线斜率为0时，取最小值； 47．已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． (2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 当时，双曲线，且． 由点在第一象限，可知为钝角． 由为等腰三角形，得． 设点，且，则，解得， 即； （2） 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称． 设，则． 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立，得， 则，即，, 由，得， 得，所以 整理得，则, 再由，得，解得，所以， 又，得，即的最大值为． 48．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，且与双曲线共顶点，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，且，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，故， 由题意得，故， 故椭圆C的方程为 （2）设，如下图所示： 则， 因为，且， 所以，即， 所以，解得， 所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即时，取等号， 故的最大值为 题型十一、切线问题 49．若直线AB与曲线交于A，B两点，过A，B分别作的切线，两切线交于点，若直线AB经过定点，则点在定直线 上． 【答案】 【详解】解法一：依题意得直线AB的斜率必不为0，设直线AB的方程为， 不妨设在第一象限，在第四象限， 因为，所以，则， 且，求导得，则， 所以在点的切线方程为， 即，即， 同理在点处的切线方程为， 由，得点的横坐标为， 又， 所以， 所以的横坐标为，即点在定直线上． 解法二：已知双曲线的弦， 过A，B分别作双曲线的切线，两切线交于点，则为双曲线中的阿基米德三角形， 当弦AB过点时，点落在直线上． 由题意知此处，则所求定直线为直线． 故答案为：. 50．已知双曲线C：过点，且离心率为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)双曲线C在其右支上一点P处的切线l分别交其两条渐近线，于A，B两点，O为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）由题意可得，解得：， 故双曲线C的标准方程为 （2） 当直线斜率不存在时，易知此时，直线， 不妨设，得； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 与双曲线的方程联立，可得， 由直线与双曲线的右支相切，可得，故 设直线与轴交于，则． 又双曲线的渐近线方程为， 联立，可得，同理可得， 综上，面积为2． 51．已知为坐标原点，抛物线：，过点（0，4）的直线与相交于M，N两点. (1)求； (2)过M，N分别作的两条切线，，记，的交点为P. （i）求面积的最小值； （ii）设A，B分别为，与x轴的交点，证明：的外接圆过定点. 【答案】(1) (2)（i）32  （ii）证明见详解 【详解】（1）根据题意直线斜率存在，设直线，，， 联立抛物线：得， 方程的判别式， ，， ， 所以. （2）（i）抛物线，，所以，的斜率分别为， 则，，交点即， 点到直线的距离，，，当时取等， 所以面积的最小值为32. （ii）证明：，与x轴的交点坐标，， ，，的中点为， 所以垂直平分线方程为， 又垂直平分线方程为，所以的外接圆圆心为即，半径， 所以外接圆方程为， 即，故， 所以恒过定点和， 故的外接圆过定点. 52．直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，，线段中点设为，则， 由题意，抛物线的焦点为， 根据抛物线的定义得，所以； （2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意. 所以直线斜率必存在，设为， 与抛物线联立得：，所以，得， 所以直线的斜率之积为，所以直线的斜率之积为定值，该定值为； （3）由（1）知，，由题意，所以， 所以或，当时，，此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 当时，， 此时，，由得， 所以过点A的切线方程为，即， 过点B的切线方程为，即， 联立得， 又的斜率，即，即， 所以到的距离，因为， 所以的面积为； 综上，的面积为 53．已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 1．已知椭圆和点，过点且与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    解法1：设直线与椭圆的切点为，则切线的方程为． 因为点在直线上，所以， 又因为，即，故，所以． 因为，所以， 所以，所以． 故选：B． 解法2：设直线的方程为， 由得，故，即， 又，所以，因为，所以，所以． 故选：B 解法三：设过点的直线方程为：，其中， 由，得 由，得 由题意取，则过点的直线方程为： 令，得，所以 在中，， 所以为直角三角形，即 故选：B． 2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点的直线与双曲线的左支相交于两点（在第二象限），点与关于坐标原点对称，点的坐标为，则下列结论正确的是（    ） A．记直线、的斜率分别为、，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．的取值范围是 【答案】BD 【详解】由已知，，若直线与渐近线平行时， 根据对称性不妨取直线方程为， 联立，得， 设，，， 由于两点均在双曲线的左支上，所以，，， 对于A：直线、的斜率分別为、， 则， 均在双曲线上，，所以， 所以，，A错误. 对于B：由知，， 由对称性得，，则四边形为矩形，则， 设，，则在中， 由余弦定理得， 即， 即， ， 则， 则，B正确； 对于C，， 当，，三点共线时，， ，则直线， 联立，解得，即与矛盾，故C错误； 对于D，， 又，所以， 结合，得，的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 3．如图，已知是双曲线上的一点，点在轴上的投影是双曲线的右焦点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为，，若平行四边形的面积为，则双曲线的标准方程是 ．    【答案】 【详解】解法1：由题意得双曲线的半焦距， 设一条平行线方程为， 由得，则． 又点到直线的距离， 所以． 又因为，所以，故． 由，，解得，，所以双曲线的标准方程是． 解法2：设，，，因为， ，所以平行四边形的面积． 因为，即，且四边形为平行四边形，所以， 则，， 所以，， 从而，因为，，所以，． 故双曲线的方程为． 解法3：过点作直线平行于直线，直线平行于直线， 设直线的方程为，由得即， 所以． 因为点在直线上，故， 又点到直线的距离， 故． 因为，且，，所以，，故双曲线的方程为． 故答案为：. 4．如图，在椭圆中，，分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点、三等分线段. (1)求a的值； (2)设，，已知，求直线的斜率. 【答案】(1)3； (2)2. 【详解】（1）设，而，由点、三等分线段，得， 则，即，由椭圆，得，解得， 所以. （2）由（1）知，椭圆左焦点，设直线的方程为， 由消去得， 设，则， ， 由，得，则，解得，而，所以. 5．已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 6．已知为椭圆的一个焦点，且经过点，设直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，其中为坐标原点． (1)求的方程； (2)用表示的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可得，解得， 从而可得. （2）由题意，联立得， ， 设，所以． 所以， 所以． 7．设抛物线与椭圆相交于，两点，在点处分别作抛物线的切线和椭圆的切线，且与互相垂直． (1)求椭圆的离心率； (2)若切线与轴交于点，与抛物线交于点，同时切线与椭圆交于点，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， ，，则，， 因为，所以，得． （2）    设，，， 将代入得，所以， 由（1）得，所以，解得， 从而得椭圆方程为． 而，从而， 所以的方程为， 将与联立，得， 设， 即，， 进而得； ，即，即， 将与联立，得，， 进而得． 因为， 所以． 8．过点作直线与抛物线交于，两点. (1)设为坐标原点，求的值； (2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程； (3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等. 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【详解】（1） 由题意，直线不与轴重合，设的方程. 代入，并整理得. 由，得或. 设点，，则，. 所以. （2）由弦长公式，得. 线段的中点到轴的距离. 又，故. 由，得，解得（均满足）. 所以直线的方程为. （3）设点，，同理可得. 又直线的斜率. 由，，得. 设点，由，，三点共线，得. 化简，得. 又直线的斜率，故. 所以，故与的面积相等. 9．已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点. (1)求的方程； (2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等. ①用一个正的参数写出的方程； ②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围. 【答案】(1) (2)①;②. 【详解】（1）因为椭圆的长、短轴长之比为，且经过点，所以， 解得，，所以的方程为. （2） ①因为的方程为，的中心在坐标原点，焦点在轴上， 又与的离心率相等，所以可设的方程为， 即的方程为. ②因为，，所以且，， 设， 所以，， 设，所以，， 直线的方程为，即， 所以，代入得， ， 因为，所以， 不妨设，代入的方程可解得， 因为位于上，所以， 为上任一点，所以，化简得， 设，因为为上任一点，即有解， 整理得，， 解得，所以， 所以的长轴长. 10．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程； (2)动点的轨迹与两条坐标轴的正半轴分别交于，两点，当与，不重合时，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 化简得. 所以动点的轨迹方程为； （2）不妨设，， 所以，且直线的方程为. 设与直线平行的直线的方程为， 由化简得. 令得. 当时，直线的方程为， 直线与直线间的距离为； 当时，直线的方程为， 直线与直线间的距离为. 因为，所以的面积的最大值为 . 11．已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点 【详解】（1）设点，故，而点到直线的距离为， 由已知得，化简得， 所以动点的轨迹的方程为． （2） 若存在定点满足题意， 当直线斜率存在时，设过点的直线方程为， 联立方程，消去化简得， 则，则， 又，所以， 将代入化简得： ，若为定值，不妨设为， 则，即， 亦即有，， 解得，所以存在定点，使得． 当过的直线垂直轴时，此时，则，满足条件． 所以在轴上存在定点，使得为定值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 直线与圆锥曲线的位置关系11大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线与圆锥曲线的位置关系 1 题型二、中点弦问题之中点弦所在直线方程问题 1 题型三、中点弦问题之对称问题 2 题型四、弦长问题 3 题型五、三角形（四边形）面积问题 3 题型六、定点问题 5 题型七、定值问题 6 题型八、四点共圆问题 8 题型九、斜率和差商积问题 9 题型十、范围与最值问题 11 题型十一、切线问题 12 B 综合攻坚・能力跃升 13 题型一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与曲线（）的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若直线与圆O：相切，则过点的直线与椭圆的交点个数是 ． 3．过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 4．过点的直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有 条. 5．若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 题型二、中点弦问题之中点弦所在直线方程问题 6．已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则 ． 8．已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率为 9．为椭圆内一定点，过点作一弦，使此弦被点平分，求此弦所在直线的方程． 10．已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线. 题型三、中点弦问题之对称问题 11．已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 12．已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 13．已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ． 14．不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 . 题型四、弦长问题 15．过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有 条． 16．已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则 . 17．焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有 条. 18．已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 19．已知圆的方程为，，为圆上任意一点，的中垂线与相交于点． (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线与点的轨迹相交于，两点，若的内切圆半径为、且，求直线的方程． 题型五、三角形（四边形）面积问题 20．如图，过椭圆上一点作直线交曲线于点，且，且，求面积的取值范围．    21．已知椭圆的长轴长为且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程． 22．如图所示，直线过点是抛物线上关于对称的两不同点，求面积的最大值．    23．已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 24．已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）. (1)若椭圆的离心率为，求的值； (2)若，左顶点为，求的面积的最大值． 题型六、定点问题 25．已知椭圆的左焦点为，短轴长为，点在椭圆上且的最大值是最小值的倍. (1)求椭圆C的方程； (2)若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 26．已知是椭圆上的两点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上顶点和右焦点的直线与椭圆交于另一个点B，P为直线上的动点，直线分别与椭圆交于（异于点），（异于点）两点，证明：直线经过点． 27．已知双曲线：的渐近线为，右焦点到渐近线的距离为，设是双曲线：上的动点，过的两条直线，分别平行于的两条渐近线，与分别交于P，Q两点. (1)求的标准方程： (2)证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标. 28．已知抛物线与交于两点，其中点在第一象限，且，抛物线的准线与轴交于点． (1)求以线段为直径的圆的方程； (2)若在抛物线上，且，探究：直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 29．已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点. (1)求点的轨迹的方程; (2)若直线 (不与轴垂直) 与轨迹交于另一点关于轴的对称点为，求证: 直线过定点. 题型七、定值问题 30．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为 ． 31．在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 32．已知双曲线的实轴长为，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与双曲线交于不同的两点为坐标原点，且，过作，垂足为，问是否存在点使得为定值?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 33．已知点，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且． (1)求曲线的方程； (2)是否存在一条直线与曲线交于两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 34．已知圆，圆过点且与圆内切，若圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线交于两点（在轴上方），且曲线与轴交于两点（在点左侧），记直线的斜率分别为，请问是否为定值，如果是请求出定值；如果不是，请说明理由． 题型八、四点共圆问题 35．已知抛物线，. (1)直线交抛物线于A，B两点，求面积的最大值； (2)已知P，Q是上的不同两点，且直线的斜率，直线，分别交抛物线于，，，四点，求证：，，，四点共圆. 36．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，位于第一象限的点为上一点，，且垂直于轴. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与交于，两点，求证：，，，四点共圆. 37．已知动圆M过点且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若直线与轴相交于点P，点B为曲线C上异于顶点的动点，直线PB交曲线C于另一点D，直线BO和DO分别交直线于点S和T．若四点共圆，求的值． 38．已知为离心率为的椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与交于两点（在第一象限）. (1)求的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若直线与轴交于点，求证：四点共圆. 题型九、斜率和差商积问题 39．如图，椭圆经过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），证明：直线与直线的斜率之和为2． 40．已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． (1)求椭圆E的方程； (2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 41．已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点，和点，. (1)求实数的取值范围； (2)证明：； (3)若，过双曲线上一点向双曲线作切线，，其斜率分别为，，问是否存在这样的，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由. 42．已知为双曲线：的左顶点，F为双曲线的右焦点，. (1)求双曲线的方程. (2)已知直线：与双曲线交于A，B两点. （i）求m的取值范围. （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 43．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 题型十、范围与最值问题 44．已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，点为点在直线上的射影．则点到直线的距离的最大值为（    ） A．9 B． C．8 D． 45．过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ． 46．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点. (1)求证：； (2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值. 47．已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． (2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 48．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，且与双曲线共顶点，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，且，求的最大值. 题型十一、切线问题 49．若直线AB与曲线交于A，B两点，过A，B分别作的切线，两切线交于点，若直线AB经过定点，则点在定直线 上． 50．已知双曲线C：过点，且离心率为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)双曲线C在其右支上一点P处的切线l分别交其两条渐近线，于A，B两点，O为坐标原点，求的面积． 51．已知为坐标原点，抛物线：，过点（0，4）的直线与相交于M，N两点. (1)求； (2)过M，N分别作的两条切线，，记，的交点为P. （i）求面积的最小值； （ii）设A，B分别为，与x轴的交点，证明：的外接圆过定点. 52．直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，． (1)求； (2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值； (3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积． 53．已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 1．已知椭圆和点，过点且与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点的直线与双曲线的左支相交于两点（在第二象限），点与关于坐标原点对称，点的坐标为，则下列结论正确的是（    ） A．记直线、的斜率分别为、，则 B．若，则 C．的最小值为6 D．的取值范围是 3．如图，已知是双曲线上的一点，点在轴上的投影是双曲线的右焦点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为，，若平行四边形的面积为，则双曲线的标准方程是 ．    4．如图，在椭圆中，，分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点、三等分线段. (1)求a的值； (2)设，，已知，求直线的斜率. 5．已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 6．已知为椭圆的一个焦点，且经过点，设直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，其中为坐标原点． (1)求的方程； (2)用表示的值． 7．设抛物线与椭圆相交于，两点，在点处分别作抛物线的切线和椭圆的切线，且与互相垂直． (1)求椭圆的离心率； (2)若切线与轴交于点，与抛物线交于点，同时切线与椭圆交于点，求． 8．过点作直线与抛物线交于，两点. (1)设为坐标原点，求的值； (2)若以线段为直径的圆与轴相切，求的方程； (3)过点作直线（不同于）与交于，两点，且直线与轴交于点，证明：与的面积相等. 9．已知椭圆的长、短轴长之比为，且经过点. (1)求的方程； (2)设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，又与的离心率相等. ①用一个正的参数写出的方程； ②已知为的右端点，若，分别为、上的点，满足：，，求的长轴长的取值范围. 10．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程； (2)动点的轨迹与两条坐标轴的正半轴分别交于，两点，当与，不重合时，求的面积的最大值. 11．已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$