专题08 抛物线的方程及其几何性质8大题型（专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题08 抛物线的方程及其几何性质8大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、抛物线的定义与标准方程 1 题型二、抛物线的焦点坐标及准线方程 3 题型三、抛物线的轨迹方程 4 题型四、与抛物线有关的距离和最值问题（重） 7 题型五、抛物线的几何性质 10 题型六、抛物线的焦半径问题（重） 11 题型七、抛物线中三角形、四边形的面积问题（重） 14 题型八、抛物线的实际应用 17 B 综合攻坚·能力跃升 21 题型一、抛物线的定义与标准方程 1．已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为4，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．抛物线的焦点为F，M是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（    ） A．4 B．8 C．6 D．10 3．（多选）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且则抛物线C的方程可以为 （ ） A． B． C． D． 4．设点在抛物线上，为的焦点，则 . 5．分别求符合下列条件的抛物线方程: (1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点; (2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为. 题型二、抛物线的焦点坐标及准线方程 6．已知抛物线的焦点为，准线为，直线与交于点.若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 8．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 9．已知抛物线上一点到准线的距离为，则（    ） A． B． C． D．2 10．已知点关于原点的对称点在抛物线的准线上，且为上第一象限内一点，则（    ） A．4 B．8 C．2 D．1 题型三、抛物线的轨迹方程 11．已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 12．设动点是抛物线上任意一点，点，存在点，使得，则的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为 . 14．已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 15．抛物线：的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型四、与抛物线有关的距离和最值问题 16．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ． 19．已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 20．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 21．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 题型五、抛物线的几何性质 22． 是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 . 24．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 题型六、抛物线的焦半径问题 25．已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 26．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为 . 27．设为抛物线：的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则 ． 28．在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 29．已知为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则 . 题型七、抛物线中三角形、四边形的面积问题 30．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（    ） A． B． C． D． 31．如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（    ） A．12 B．8 C．6 D．7 32．已知点，，若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 ． 33．抛物线与直线交于点是抛物线上一点，的重心的纵坐标为4，则的面积是 ． 34．的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为 . 题型八、抛物线的实际应用 35．世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 36．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（    ）    A． B．的准线方程为 C．的焦点坐标为 D．弹道上的点到直线的距离的最大值为米 37．如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    38．在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米． 39．已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 1．已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 3．已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D． 5．已知实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（    ） A．当为的重心时，轴 B．当时，的最大值为5 C．当时，的最小值为5 D．当时，直线AB的倾斜角为或 7．（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（   ） A．点的横坐标为 B．直线与轴交点的纵坐标的绝对值为 C．直线的斜率为 D．若的周长为12，则 8．设抛物线的焦点为，准线为，是与轴的交点，．过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点，与相交于点，若，则点到轴的距离为 ． 9．已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为 ． 10．已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为 . 11．已知动圆过点且与直线：相切，直线与y轴交于K，点P为动圆圆心的轨迹E上任意一点，的角平分线与y轴交点为，则m最大值为 . 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 抛物线的方程及其几何性质8大题型（专项训练） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、抛物线的定义与标准方程 1 题型二、抛物线的焦点坐标及准线方程 3 题型三、抛物线的轨迹方程 4 题型四、与抛物线有关的距离和最值问题（重） 7 题型五、抛物线的几何性质 10 题型六、抛物线的焦半径问题（重） 11 题型七、抛物线中三角形、四边形的面积问题（重） 14 题型八、抛物线的实际应用 17 B 综合攻坚·能力跃升 21 题型一、抛物线的定义与标准方程 1．已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为4，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】如图： 抛物线的焦点为，准线为：. 因为点在上，且到直线的距离为4，所以点的横坐标为2. 所以点到准线的距离为， 根据抛物线的定义可得：. 故选：B 2．抛物线的焦点为F，M是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（    ） A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【详解】因为的外接圆与抛物线的准线相切， 所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. 因为圆的面积为，所以圆的半径为6， 又因为圆心在的垂直平分线上，， 所以的外接圆的圆心到准线的距离，可得. 故选：B. 3．（多选）设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且则抛物线C的方程可以为 （ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意得，解得，或， 当时，抛物线方程为； 当时，抛物线方程为. 故选：BC. 4．设点在抛物线上，为的焦点，则 . 【答案】4 【详解】由题意知抛物线，则得，准线，又点在抛物线上， 则点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以. 故答案为：4. 5．分别求符合下列条件的抛物线方程: (1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点; (2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为. 【答案】(1)或 (2)或或或 【详解】（1）由题意,方程可设为或, 将点的坐标代入,得或, ∴或, ∴所求的抛物线方程为或. （2）由焦点到准线的距离为,可知, ∴所求抛物线方程为或或或. 题型二、抛物线的焦点坐标及准线方程 6．已知抛物线的焦点为，准线为，直线与交于点.若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】由抛物线，得准线为，. 再由直线与准线交于点，所以， 则，解得. 故选：C. 7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于双曲线：因为，，所以，所以. 所以双曲线的右焦点坐标为：. 对于抛物线，因为焦点为，即. 所以其准线方程为：. 故选：B 8．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】抛物线即开口向上，将其绕顶点逆时针旋转，得到的抛物线开口向左，其方程为，即为原抛物线，所以，则． 故选：B 9．已知抛物线上一点到准线的距离为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】抛物线，故准线方程为， 点在轴上方，故准线在轴下方，故， 故到准线的距离为，解得. 故选：C 10．已知点关于原点的对称点在抛物线的准线上，且为上第一象限内一点，则（    ） A．4 B．8 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为点关于原点对称点的坐标为，准线方程为，所以，则， 所以曲线的方程为； 由已知在曲线上，且为第一象限内一点，则，则. 故选：B. 题型三、抛物线的轨迹方程 11．已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 12．设动点是抛物线上任意一点，点，存在点，使得，则的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则． 由得 又在抛物线上， ， 即，即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13．在平面直角坐标系中，动点N到定点的距离比它到y轴的距离大1，则动点N的轨迹方程为 . 【答案】或 【详解】设为轨迹上任意点，则两边平方， 得， 所以动点N的轨迹方程为或. 故答案为：或. 14．已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 15．抛物线：的过焦点的弦的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立求出两根之和，可得中点的坐标，消去参数可得中点的轨迹方程． 【详解】由抛物线的方程可得焦点，可得过焦点的直线的斜率不为0， 设直线方程为：， 设直线与抛物线的交点，，，，设的中点， 联立直线与抛物线的方程可得： ，，， 所以可得，消去可得的轨迹方程：， 故选：C． 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有：1、定义法；2、待定系数法；3、直接求轨迹法；4、反求法；5、参数方程法等等. 题型四、与抛物线有关的距离和最值问题 16．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A 17．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，， 则， 当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立. 故选：A． 18．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解:将抛物线方程化为标准方程:，求得焦点为，准线,且． 设，如图，过点作于点，则由抛物线的定义得:， 所以的周长． 当且仅当三点共线，即时，等号成立. 故答案为:. 19．已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是 ． 【答案】 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 所以欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 20．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为． 由，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是3.    故选：B 21．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】曲线是以为圆心，为半径的圆，抛物线的准线为， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，交抛物线于点，如图， 根据抛物线的定义，得， 当且仅当点与重合，此时点与重合，点与重合， 即，当且仅当在一条直线上时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：4 题型五、抛物线的几何性质 22． 是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 23．设抛物线的焦点为，直线与的一个交点为，直线与的另一个交点为，则 . 【答案】 【详解】抛物线的焦点为，由，解得或， 即点或，当点时，直线，即， 由，得，因此， 显然点与关于轴对称，则当点时，点与点关于轴对称，， 所以. 故答案为： 24．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【答案】6 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为， 则，代入得， 解得（舍）， 故等边三角形的边长为6， 故答案为：6 题型六、抛物线的焦半径问题 25．已知抛物线的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知：抛物线的准线方程为，设， 由，，所以，所以或， 所以或， 所以直线的方程为或，即或. 故选：A 26．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为 . 【答案】2 【详解】设点，.易得抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线定义得， 所以，故， 即线段中点的纵坐标为2. 故答案为：2. 27．设为抛物线：的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则 ． 【答案】 【详解】因为抛物线，所以，所以抛物线的焦点的坐标为． 设，如图，由抛物线的定义可知，又， 所以，解得，故．    方法一：设为原点，则． 方法二：，所以， 在中，由余弦定理得． 故答案为：. 28．在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 【答案】或 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 29．已知为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则 . 【答案】 【详解】由题意为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，且， 所以，所以，所以， 设准线与纵轴交于点，根据抛物线定义可知， 所以， 因为，所以， 在中，，所以． 故答案为： 题型七、抛物线中三角形、四边形的面积问题 30．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于抛物线，已知，可得.那么抛物线的方程为，其焦点，准线的方程为.   则，（为抛物线准线与轴交点）.   因为为的重心，所以为的三等分点且. 又因为，所以与相似，且，即. 不妨设，且在第一象限，由抛物线的性质可知点到准线的距离. 已知，则，解得. 因为点在抛物线上，将代入抛物线方程得，又因为在第一象限，所以.   因为为的三等分点且，所以. 已知. 根据三角形面积公式，对于，则. 故选：B. 31．如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（    ） A．12 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为， 因为四边形为梯形，且， 设，则， 所以，所以， 作轴于点，则， 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形， 故， 所以， 所以四边形的面积为. 故选：D. 32．已知点，，若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为 ． 【答案】4 【详解】设点，直线的方程为，． 因为的面积为2，所以，即． 由点到直线的距离公式得， 所以， 即或， 解得或或， 所以满足条件的点有4个． 故答案为：4 33．抛物线与直线交于点是抛物线上一点，的重心的纵坐标为4，则的面积是 ． 【答案】 【详解】联立抛物线和直线方程，整理得， 设，，，则．    因为的重心的纵坐标为4，所以． 所以，从而， ， 到直线的距离， 所以的面积． 故答案为： 34．的顶点A在抛物线上，点B，C在直线上，若，则面积的最小值为 . 【答案】1 【详解】设， 点到直线BC的距离为， 当时，取得最小值， 则的面积， 且当时，的面积取得最小值，且最小值为1. 故答案为：1. 题型八、抛物线的实际应用 35．世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 36．（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚，两点和敌方阵地点在同一条直线上，某炮弹的弹道是抛物线的一部分，其中在直线上，抛物线的顶点到直线的距离为100米，长为400米，，，建立适当的坐标系使得抛物线的方程为，则（    ）    A． B．的准线方程为 C．的焦点坐标为 D．弹道上的点到直线的距离的最大值为米 【答案】ABD 【详解】如图所示，建立以为坐标原点，轴平行于，轴垂直于. 此时，，， 抛物线的方程为，即， 解得，故A正确； 抛物线的方程为，准线方程为，焦点坐标为， 故B正确，C错误； 因为，，故， 所以直线的方程为即， 不妨设上一点为，， 当该点处的切线与直线平行时，其到直线的距离最大. 由可得，故， 解得， 此时点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD.    37．如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    【答案】 【详解】设抛物线的方程为，抛物线过点，所以， 则这条抛物线的方程为，即． 故答案为：. 38．在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米． 【答案】60 【详解】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴， 和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则抛物线方程为，由题意可知， 代入可得， 即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米， 故答案为：60 39．已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1) (2)能 (3)3 【详解】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 1．已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】 由抛物线的性质可知， 焦点，准线：. 又因为为的准线与的对称轴的交点， 所以. 因为位于上，则， 所以，故 根据两点间距离公式： ， 故选：B. 2．已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置， 易知，该抛物线的焦点， 设此时两直线方程分别为，， 代入，得，， 设，，，， 则，，，， 则， ， 所以. 故选：D. 3．已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点对称，则实数的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一、由，得．先考虑与坐标轴平行或垂直的特殊情况． 易知过点与轴平行的直线与封闭曲线的两个交点一定是关于点对称的． 当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点的坐标为, 其中，且，则其关于点的对称点的坐标为, 由题可知点在曲线上，所以， 即，即． 要想满足题意，则此关于的方程的解必须有且只有两个，且． 所以，即. 方法二、极限思想法！ 如图，，记三对满足题意的对称点分别为“M，N”， “E，F”，“P，Q”，则当时，， 点的坐标；当时，， 点的坐标．    故选：B. 4．已知抛物线的焦点为为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由抛物线的定义将长度转化为点P到准线的距离， 如图可知，当直线与抛物线相切且斜率为负值时，满足题意， 令，联立，则， 所以，可得，则（正值舍）. 故选：B 5．已知实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 根据题意，的几何意义为点与点之间的距离， 分析可得点在抛物线上，点在直线上， 抛物线的焦点，准线为，过作轴的垂线，交轴于点，交与点. 所以的几何意义为. 由. 过作直线的垂线，垂足为，交抛物线与点. 则（当与点重合，与点重合时取等号） 故选：B 6．（多选）已知抛物线的焦点为F，A，B都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（    ） A．当为的重心时，轴 B．当时，的最大值为5 C．当时，的最小值为5 D．当时，直线AB的倾斜角为或 【答案】ACD 【详解】 设的焦点为， 当为的重心时，由重心坐标公式得，得， 则A，B两点关于轴对称，所以轴，A正确； 分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为， 当时，， 则，所以的最小值为5，所以B错误，C正确； 当且点在第一象限时，设，则， 过点作，垂足为， 则， 则，则，从而直线AB的倾斜角为； 当且点在第一象限时，同理可得直线AB的倾斜角为，D正确. 故选：ACD. 7．（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若为等边三角形，则（   ） A．点的横坐标为 B．直线与轴交点的纵坐标的绝对值为 C．直线的斜率为 D．若的周长为12，则 【答案】ACD 【详解】解：由题可知∥轴.因为为等边三角形，所以，则点在线段的中垂线上. 设的中点为,连接，则. 设,,的坐标分别为，，，因为，，所以，所以选项A正确. 设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，因为，所以，则.将代入方程，可得，所以得，即,从而，所以选项B错误. 因为，所以直线的斜率为，所以选项C正确. 若的周长为12，则.因为，所以，解得，所以选项D正确. 或 故选：ACD. 8．设抛物线的焦点为，准线为，是与轴的交点，．过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点，与相交于点，若，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【详解】作图如下： 因为为，的中点， 所以，即为的三等分点，且． 又因为，所以， 所以， 所以．不妨设，且在第一象限， 则，所以． 因为点在抛物线上，所以， 由为的三等分点，得， 即点到轴的距离为． 故答案为： 9．已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为 ． 【答案】 【详解】抛物线的焦点，设，则， 由，得，则， 整理得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， 所以的面积为. 故答案为：    10．已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为 . 【答案】/ 【详解】由题可知，所以点在抛物线上，则，解得， 所以抛物线；准线方程为， 由题得圆，其圆心为，半径为1． 过点作准线的垂线，垂足为，则， 又．当三点共线且点在点之间时等号成立， 所以． 当四点共线且点在点之间时等号成立，所以的最小值为2， 此时，则，所以， 所以当取最小值时，. 故答案为：. 11．已知动圆过点且与直线：相切，直线与y轴交于K，点P为动圆圆心的轨迹E上任意一点，的角平分线与y轴交点为，则m最大值为 . 【答案】 【详解】由题意可得，由题意可得，动圆圆心的轨迹E为抛物线，焦点，准线方程为， 过点P作垂直于准线，H为垂足，如图所示： 因为抛物线关于y轴对称，不妨设点P的横坐标， 由抛物线的定义可得，设， 由，求导可得，设切点，切线斜率为， 则切线方程为，代入，可得，解得， 所以当直线与相切时，其倾斜角等于， 因此，且. 由角平分线定理可得，即，则 因为函数在单调递减， 因此当时，，故最大值为. 故答案为：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$