第二章 平面解析几何（复习讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

第二章 平面解析几何 基础目标 ①学生能运用直角坐标系知识计算两点距离、求中点； ②理解直线倾斜角与斜率，根据条件写直线方程；掌握圆的两种方程并能求圆的方程； ③初步认识椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程，能区分三种曲线的基本形式，建立 “代数描述几何” 的初步思维，为后续深入学习直线、圆与圆锥曲线的关联打下基础。 进阶目标 ①学生能依据斜率与方程判断两直线位置关系，计算夹角与交点； ②用几何法、代数法判断直线与圆的位置关系，结合弦长公式解题，能判断圆与圆的位置关系并求参数范围； ③能运用椭圆、双曲线、抛物线的性质求简单参数，尝试用代数方法分析直线与圆锥曲线的初步位置关系，提升运算与推理能力，深化 “几何问题代数化” 思维。 拓展目标 ①学生能灵活运用直线方程与圆的方程解决综合问题（如直线与圆的综合应用）； ②熟练推导椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，运用性质解决复杂问题； ③能系统分析直线与圆锥曲线的位置关系，结合韦达定理求解弦长、中点弦；融合函数、不等式知识解决直线、圆及圆锥曲线的最值与范围问题，构建完整的解析几何知识体系，培养综合应用能力。 1．解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 2．求直线的方程 一般情况下，①已知点和斜率，选择点斜式方程； ②已知两点坐标，选择两点式方程； ③已知斜率和轴截距，选择斜截式方程； ④已知两轴截距，选择截距式方程 3．直线过定点问题 若直线方程含参数，且可化成: 的形式，则方程组的解就是直线所过定点 4．两条直线的平行与垂直问题 （1）已知直线与直线, 则①,且；②. （2）已知直线,直线, 则①且(或)； ②. 5．对称问题 （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 6．求圆的方程 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 7．圆的弦长问题 由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 8．圆求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 9．圆锥曲线的焦点三角形问题 可结合椭圆的定义、双曲线的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 10．求椭圆、双曲线的离心率 （1）若已知中的两个，可先算出可直接代入求得. （2）若能够转化为关于的方程或不等式，可转化为关于离心率的方程(不等式)求值 题型一 直线的倾斜角与斜率问题 例1．已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 变式1-1．（多选）下列三点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1-2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 求直线的方程 例2．已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．的顶点，则边上的中线所在的直线方程是 ． 变式2-2．过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 题型三 直线的平行、垂直问题 例3．（多选）已知两直线与，则（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．当时， D．当时，与之间的距离为 变式3-1．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 变式3-2．已知， 若直线 与直线 相互垂直，则a= . 变式3-3．直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关 题型四 点到直线的距离问题 例4．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．已知的三个顶点分别为，求： (1)边上中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积． 变式4-2．过点且和原点距离是2的直线方程是 . 变式4-3．点 到直线的距离的最大值是 题型五 对称问题 例5．已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 变式5-2．已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 变式5-3．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 题型六 求圆的方程 例6．根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 变式6-2．以直线：恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 变式6-3．已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 题型七 圆的切线问题 例7．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为，已知圆是以以为直径的圆． (1)求圆的方程． (2)求以点为切点的圆的切线方程． 变式7-1．已知圆心在轴上的圆和直线相切于点，则圆的方程是 . 变式7-2．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式7-3．已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 题型八 圆的弦长问题 例8．经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 变式8-1．直线与圆交于两点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 变式8-2．已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（   ） A．4 B．2 C．6 D． 变式8-3．已知直线与圆交于两点，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 题型九 求圆锥曲线的方程 例9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为 . 变式9-1．根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 变式9-2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10； (2)椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (3)椭圆的焦点在轴上，，. 变式9-3．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程． 题型十 圆锥曲线的几何性质 例10．已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 变式10-1．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 变式10-2．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为 ． 变式10-3．直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率 . 题型十一 焦点三角形问题 例11．已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 变式11-1．双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 变式11-2．（多选）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 变式11-3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 题型十二 离心率问题 例12．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式12-1．椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 变式12-2．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 变式12-3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十三 轨迹问题 例13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线，点，动点满足，且，则动点在抛物线上及其内部的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 变式13-1．已知点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是半径为的圆 B．C与圆有一个交点 C．与直线有两个交点 D．与圆围成图形的面积为 变式13-2．（多选）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 变式13-3．已知圆，点，在圆上任取一点，线段的垂直平分线交直线于点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹． 题型十四 圆锥曲线的弦长问题 例14．已知椭圆的右焦点为，点在上. (1)求的离心率; (2)设恒过点的直线交于A，B两点，且为AB的中点，求及|AB|. 变式14-1．已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹称为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若倾斜角为的直线与曲线交于两点，且，求直线的方程. 变式14-2．已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 变式14-3．已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 题型十五 定点定值问题 例15．已知A，B，C是抛物线上三点，且，，垂足为D. (1)当C的坐标为时，求点D的轨迹方程； (2)当C的坐标为时，是否存在点Q，使得为定值，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由. 变式15-1．已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 变式15-2．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 变式15-3．已知椭圆的两个焦点是，且过点的直线与交于，两点，若的周长为8，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别交于点（不重合），为原点，证明为定值． 基础巩固通关测 一、单选题 1．若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 2．设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或 3．已知椭圆，点在椭圆内且与的焦点不重合，若关于椭圆的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 7．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 8．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知点，圆，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．圆上至少有2个点与点的距离为1 D．过点作圆的切线，则切点弦过点 10．如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（    ）    A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若直线倾斜角为，则 C． D．与之间的距离为3 三、填空题 12．经过原点且经过直线与交点的直线的方程为 ． 13．设为双曲线的左､右焦点，若点在双曲线上，且，则 . 14．写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 四、解答题 15．求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程． 16．已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 17．已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 18．过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 19．设焦点在轴上的椭圆，，是的右顶点. (1)若离心率，求椭圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，椭圆上存在一点，满足，求； (3)若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，是否存在这样的椭圆，使得，若存在求的取值，若不存在请说明理由. 能力提升进阶练 1．如图，心形曲线与y轴交于A，B两点，点P是上的一个动点，则（ ） A．点和点均不在上 B．的最大值与最小值之和为22 C．点P的纵坐标的最大值为 D． 2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（   ） A．双曲线C的方程为 B．当时， C．若，则的面积为 D．当时，的内切圆半径为 3．（多选）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于，的点，点在坐标平面内，且，，若四边形的面积的最大值为，则 . 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 6．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 平面解析几何 基础目标 ①学生能运用直角坐标系知识计算两点距离、求中点； ②理解直线倾斜角与斜率，根据条件写直线方程；掌握圆的两种方程并能求圆的方程； ③初步认识椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程，能区分三种曲线的基本形式，建立 “代数描述几何” 的初步思维，为后续深入学习直线、圆与圆锥曲线的关联打下基础。 进阶目标 ①学生能依据斜率与方程判断两直线位置关系，计算夹角与交点； ②用几何法、代数法判断直线与圆的位置关系，结合弦长公式解题，能判断圆与圆的位置关系并求参数范围； ③能运用椭圆、双曲线、抛物线的性质求简单参数，尝试用代数方法分析直线与圆锥曲线的初步位置关系，提升运算与推理能力，深化 “几何问题代数化” 思维。 拓展目标 ①学生能灵活运用直线方程与圆的方程解决综合问题（如直线与圆的综合应用）； ②熟练推导椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，运用性质解决复杂问题； ③能系统分析直线与圆锥曲线的位置关系，结合韦达定理求解弦长、中点弦；融合函数、不等式知识解决直线、圆及圆锥曲线的最值与范围问题，构建完整的解析几何知识体系，培养综合应用能力。 1．解决斜率问题的方法 ①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． ②由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 2．求直线的方程 一般情况下，①已知点和斜率，选择点斜式方程； ②已知两点坐标，选择两点式方程； ③已知斜率和轴截距，选择斜截式方程； ④已知两轴截距，选择截距式方程 3．直线过定点问题 若直线方程含参数，且可化成: 的形式，则方程组的解就是直线所过定点 4．两条直线的平行与垂直问题 （1）已知直线与直线, 则①,且；②. （2）已知直线,直线, 则①且(或)； ②. 5．对称问题 （1）直线关于点对称：转化为“点关于点”的对称问题，具体操作为：在l上找两个特殊点，求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程； （2）点关于直线对称：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 6．求圆的方程 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系． 7．圆的弦长问题 由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 8．圆求切线方程的常用方法： （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当求得的值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 9．圆锥曲线的焦点三角形问题 可结合椭圆的定义、双曲线的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 10．求椭圆、双曲线的离心率 （1）若已知中的两个，可先算出可直接代入求得. （2）若能够转化为关于的方程或不等式，可转化为关于离心率的方程(不等式)求值 题型一 直线的倾斜角与斜率问题 例1．已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 变式1-1．（多选）下列三点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BCD 【详解】A：，故三点不共线，错； B：，故三点共线，对； C：三点的横坐标都相等，斜率不存在，故三点共线，对； D：三点的纵坐标都相等，斜率为0，故三点共线，对. 故选：BCD 变式1-2．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直线，，的倾斜角分别为，，， 则由图知， 所以，， 即，． 故选：A. 变式1-3．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 题型二 求直线的方程 例2．已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 变式2-1．的顶点，则边上的中线所在的直线方程是 ． 【答案】 【详解】中点坐标为，即， 所以边上的中线所在的直线方程是：， 整理得：. 故答案为： 变式2-2．过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 变式2-3．经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，可设为， 由点，则，解得，所以直线方程为. 故答案为：或. 题型三 直线的平行、垂直问题 例3．（多选）已知两直线与，则（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．当时， D．当时，与之间的距离为 【答案】AC 【详解】对于选项A，对于直线，当时，，解得. 所以直线过定点，选项A正确. 对于选项B，对于直线，令，则，解得. 所以直线在轴上的截距为，选项B错误. 对于选项C，直线，其斜率；直线，其斜率.当时，，即， ，解得，选项C正确. 对于选项D，当时，，解得. 此时，即. 两平行直线与之间的距离公式为. 对于与，距离，选项D错误. 故选；AC. 变式3-1．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为： 变式3-2．已知， 若直线 与直线 相互垂直，则a= . 【答案】0或2 【详解】两直线垂直，故，解得或2. 故答案为：或2 变式3-3．直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（    ） A．与相交 B．与平行 C．与重合 D．与的位置关系与a的取值有关 【答案】B 【详解】由：， 可得， 因为且， 所以与平行 故选：B 题型四 点到直线的距离问题 例4．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 变式4-1．已知的三个顶点分别为，求： (1)边上中线所在直线的方程； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）根据题意可知的中点坐标为，由可得； 所以中线所在直线的方程为，即； （2）易知， 点到直线的距离为； 所以的面积为； 即三角形的面积为. 变式4-2．过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【答案】或 【详解】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或． 变式4-3．点 到直线的距离的最大值是 【答案】3 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 题型五 对称问题 例5．已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，所求反射光线所在直线的斜率为，且与y轴交于点， 所求直线的方程为，即. 故选：A 变式5-1．已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 【答案】 . 【详解】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 变式5-2．已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 【答案】 【详解】 作点关于轴的对称点，和关于直线的对称点， 连接交轴于点，交直线于点， 此时的周长最小值，最小值为， 故答案为：. 变式5-3．已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 题型六 求圆的方程 例6．根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】注意到（设该点不在直线上）与的中点坐标，满足， 且与的连线斜率为，满足， 所求曲线上任意点关于直线的对称点为，则有， 所以． 故答案为：. 变式6-2．以直线：恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将直线的方程变形为 令，解得，. 所以直线恒过定点，即圆心坐标为. 已知半径，所以圆的标准方程. 展开可得，即. 故选：D. 变式6-3．已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 题型七 圆的切线问题 例7．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为，已知圆是以以为直径的圆． (1)求圆的方程． (2)求以点为切点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知点，点，根据中点坐标公式，圆心的坐标为. 根据两点间距离公式，则直径长度为， 所以圆的半径. 所以圆的方程为. （2）根据斜率公式，圆心与切点连线的斜率. 因为圆心与切点的连线和切线垂直，若两条垂直直线的斜率都存在，则它们斜率之积为. 设切线的斜率为，则，即，解得. 已知切线过点，斜率为，根据直线的点斜式方程,则切线方程为， 整理得. 变式7-1．已知圆心在轴上的圆和直线相切于点，则圆的方程是 . 【答案】 【详解】设圆心，半径为，由圆和直线相切， 则圆心到直线的距离①， 又因为切点为，直线的斜率，由， 得直线的斜率， 解得，代入①式得半径，且圆心， 则圆的方程是. 故答案为：.    变式7-2．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点， 设反射光线所在直线方程为：，即：. ∵反射光线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径，即， 整理得，解得：或. 故选：D． 变式7-3．已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 过点向圆引两条切线，切点分别为， 则与分别为的最大､最小角，设， 由，可得， 由可知, 所以. 故选：D. 题型八 圆的弦长问题 例8．经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【答案】或 【详解】方法一： 设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐标分别为，． 在圆方程中，令得，则，，则． 联立，解得或则点，在所求圆上， 所以解得或 故所求圆的方程为或． 方法二： 设所求圆的方程为， 且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，， 由两边平方得，所以， 化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意， 所以所求圆的方程为， 或， 即或． 故答案为：或． 变式8-1．直线与圆交于两点，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得圆心，半径， 到直线的距离为， 由几何关系可得. 故选：B. 变式8-2．已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（   ） A．4 B．2 C．6 D． 【答案】A 【详解】圆 ，则直线过定点， 因定点在圆内， 定点到圆心的距离为，所以直线与圆相交弦长的最小值为. 故选：A. 变式8-3．已知直线与圆交于两点，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的充要条件是：圆心，到直线的距离， 即，故的充分不必要条件是的真子集. 故选：A. 题型九 求圆锥曲线的方程 例9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的点，且，，则双曲线的方程为 . 【答案】 【详解】设双曲线的方程为，且焦距为.依题意得， ，.因此双曲线的方程为. 故答案为：. 变式9-1．根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，则，可得， 所以抛物线的标准方程是． （2）因为对称轴是轴，所以可设抛物线的标准方程为或． 因为顶点到焦点的距离等于2，所以，即， 所以抛物线的标准方程是或． （3）因为对称轴是轴，经过点，所以设抛物线方程为， 因为抛物线经过点，所以，解得， 所以抛物线的标准方程是． 变式9-2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10； (2)椭圆的两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (3)椭圆的焦点在轴上，，. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， 由题意，，所以, 所以椭圆的标准方程为. （2）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义，知， ， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为. （3），① 又由，得，代入①得， 所以，故， 又椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 变式9-3．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程． 【答案】或 【详解】当焦点在y轴正半轴时，设方程为， 由题意可得，解得.所以抛物线方程为． 当焦点在y轴负半轴时，设抛物线方程为， 由题意可得，解得，所以抛物线方程为. 综上，抛物线方程为或． 题型十 圆锥曲线的几何性质 例10．已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 变式10-1．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【详解】由题设知，，结合， 可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，解得，所以的长轴长为． 故选：C. 变式10-2．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为 ． 【答案】 【详解】由题可得，故，因为的一条渐近线方程为， 所以，即，故的方程为． 故答案为：． 变式10-3．直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率 . 【答案】 【详解】由题意，直线过点，， 代入椭圆方程得，解得，， 所以椭圆方程为， 所以，，，则. 故答案为：. 题型十一 焦点三角形问题 例11．已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点， 由，得，， ，， 所以． 设的内切圆半径为r， 因为， 所以，得．    故选：B. 变式11-1．双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的实半轴长，焦点， 设圆与三边分别相切于点， 则， 又，解得，， 则点，因为轴，所以由题，， 所以直线的斜率.    故选：D 变式11-2．（多选）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 变式11-3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 题型十二 离心率问题 例12．已知双曲线的左顶点为，若圆交的一条渐近线于两点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，渐近线为，联立圆得，可得， 不妨令，，则，又， 所以，可得， 所以，则，故离心率.    故选：C 变式12-1．椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】设，由椭圆的定义可得， 直线的斜率为2，则， 又，中，， 设，有， 由，得， 又，消去得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 变式12-2．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，根据椭圆的对称性知点在直线上，可得， 因为焦点在正方形的内部，所以， 即， 即，可得， 又，所以， 所以， 又，解得． 故答案为：.    变式12-3．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线的焦距为． 则依题意得，，，，． 由得于是，． 又，则． 设，由，． 由在区间上为减函数，得的值域为． 所以的取值范围为， 故选B． 题型十三 轨迹问题 例13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线，点，动点满足，且，则动点在抛物线上及其内部的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点， 由及，得， 即又，消去得， 所求轨迹长度为直线被抛物线截得的弦长， 设交点为，， 由得， 则， 所以， 故选：C． 变式13-1．已知点，点满足，记的轨迹为，则（    ） A．是半径为的圆 B．C与圆有一个交点 C．与直线有两个交点 D．与圆围成图形的面积为 【答案】B 【详解】对于A，设，由，得， 整理得，所以圆的方程为，圆心为，半径为1，故A错误； 对于B，圆可化为， 圆心为，半径为2， 两圆的圆心距等于半径之差的绝对值， 所以与圆内切，故B正确； 对于C,又的圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相切，故C错误； 对于D，易知与圆围成图形为同心圆围成的圆环， 所以其面积为，故D错误. 故选：B. 变式13-2．（多选）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【详解】（1）若为圆内的一定点，P是圆O上一个动点，线段AP的垂直平分线l与 直线OP相交于点Q，可得，， 即动点到两定点的距离之和为定值， ①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆； ②当重合时，点的轨迹是以为圆心的圆； （2）若为圆外的一定点，为圆上的一动点，线段的垂直平分线交直线于点， 可得，，即动点到两定点 的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是： 以为焦点的双曲线； （3）若为圆上的一定点，为圆上的一动点，此时点的轨迹是圆心. 综上可得即点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故选：ABC 变式13-3．已知圆，点，在圆上任取一点，线段的垂直平分线交直线于点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线 【详解】（1）当时，点在圆内，由于点在线段的垂直平分线上，则，可得，由椭圆的定义可知，点在以，为焦点的椭圆上，且，，点的轨迹方程为．    （2）当时，点在圆外． 若为钝角或平角，连接，则，所以点在以，为焦点的双曲线的右支上． 若为锐角或零角，连接，则，所以点在以，为焦点的双曲线的左支上． 综上，点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线．    题型十四 圆锥曲线的弦长问题 例14．已知椭圆的右焦点为，点在上. (1)求的离心率; (2)设恒过点的直线交于A，B两点，且为AB的中点，求及|AB|. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：，即， 且点在上，则， 联立方程，解得，即， 所以椭圆的离心率. （2）对于直线，即，可知直线过定点， 由（1）可知：椭圆方程为， 且，即定点在椭圆内部，直线AB与椭圆必相交， 设，， 联立，消去y得， 则，， 可得，解得， 此时二次方程为，，， 所以. 变式14-1．已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数，点的轨迹称为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若倾斜角为的直线与曲线交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设，则， 整理得， 所以曲线的方程为. （2）由题意设直线，将代入方程， 整理得：， 设，由，得， 所以， 则， 整理得：，满足，所以， 即直线方程为或. 变式14-2．已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）椭圆的焦点坐标为， 抛物线的焦点坐标为，，即. 抛物线的方程为. （2）易知直线不与轴重合，又直线过焦点， 设直线的方程为，、， 联立，消去并整理得，则， ，， ，解得. 直线的方程为或. 变式14-3．已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【详解】（1）由题意，故．解得． 将代入得，所以， 故双曲线的方程为． （2）过点的直线（与轴不重合），故设直线． 设，联立，整理得：， 且， 故， 故． 即， 则， 即， 解得或，即或： 故的方程为：或． 题型十五 定点定值问题 例15．已知A，B，C是抛物线上三点，且，，垂足为D. (1)当C的坐标为时，求点D的轨迹方程； (2)当C的坐标为时，是否存在点Q，使得为定值，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（除去原点） (2)存在， 【详解】（1）设，，直线的方程为. 联立得，则，①， 因为，所以，即， 所以②， 由①②得：,整理得， 因为，所以，直线恒过定点， 设点，则，即，整理得， 所以点的运动轨迹为以为圆心，半径为2的圆（原点除外）. （2）由（1）因为， 所以，，， 则 ③， 将①代入③得：， 得，或者. 当时，直线过. 当时，直线过，此时在上，不合题意. 所以直线恒过. 因为为定点，所以为定值， 在中取中点，连接，， 所以为定值. 此时的坐标为， 故存在点，使得为定值. 变式15-1．已知A，B分别是双曲线C：的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且． (1)求C的方程； (2)已知过点的直线l：交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B），直线AE与直线BD交于点Q，证明：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，所以． 设，因为点P在C上，所以，即． 又，所以， 故C的方程为． （2）由（1）得，， 如图，设，，    联立消去得， 所以，， 易知直线AE的方程为， 直线BD的方程为， 联立得：， 即， 整理得， 则， 所以点Q的横坐标始终为1． 故点Q在定直线上． 变式15-2．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． (1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程； (2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点， 右焦点为，离心率为， 可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为． （2）由（1）知，，． 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，，由，消去，得， 显然，，则，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 变式15-3．已知椭圆的两个焦点是，且过点的直线与交于，两点，若的周长为8，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，设点关于轴的对称点为，是椭圆上一点，直线和与轴分别交于点（不重合），为原点，证明为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由周长为，则．周长为，则，所以， 故椭圆的方程是．    （2）由于点关于轴的对称点为，则． 设，则有，，． 直线的方程为，令，可得，所以． 直线的方程为，令，可得，所以． 所以，所以为定值． 基础巩固通关测 一、单选题 1．若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 2．设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或 【答案】C 【详解】由圆心在直线上，设圆心坐标为， 由该圆与两条坐标轴均相切，得该圆半径，整理得， 解得或，所以这个圆的半径或2. 故选：C 3．已知椭圆，点在椭圆内且与的焦点不重合，若关于椭圆的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【详解】记椭圆的左、右两焦点分别为，， 由椭圆方程得， 如图所示， 连接， 焦点分别是线段的中点． 设线段的中点为，连接， 则线段分别是和的中位线． 则． 故选：A. 4．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出示意图如图所示：    则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 5．已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】因为， 所以， 由两点间距离公式得方程左侧为点到点的距离， 由点到直线的距离公式得方程右侧为到直线的距离， 可得到点的距离和到直线的距离相等， 而且点不在直线上，结合抛物线定义得到点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选：D 6．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 7．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 8．法国数学家加斯帕尔•蒙日发现与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，，分别为椭圆C的左、右焦点．离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为10，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意作图如下，    因为椭圆C的离心率，所以．因为，则， 所以，所以椭圆C的蒙日圆的半径为． 因为，所以为蒙日圆的直径，所以， 所以． 因为，当时，等号成立， 所以面积的最大值为．由面积的最大值为10， 得，得，进而有，故椭圆C的长轴长为． 故选：B． 二、多选题 9．已知点，圆，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．圆上至少有2个点与点的距离为1 D．过点作圆的切线，则切点弦过点 【答案】AD 【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确； 对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误； 对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误； 对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦． 圆的直径式方程为， 整理得  ①． 圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确 故选：AD 10．如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则（    ）    A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程可以为 D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，圆柱的底面半径是，直径是，所以椭圆的长轴长，，A正确； 对于B，短轴长，则，离心率．B错误； 对于C，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为．C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是．D正确； 故选：ACD． 11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（   ） A． B．若直线倾斜角为，则 C． D．与之间的距离为3 【答案】AC 【详解】抛物线的焦点为，由轴，，得， 直线斜率，直线方程为，由，得， 对于A，，，A正确； 对于B，，由，，得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，与之间的距离为，D错误. 故选：AC 三、填空题 12．经过原点且经过直线与交点的直线的方程为 ． 【答案】 【详解】法1 联立解得所以直线与的交点是． 设经过原点的直线方程为，将点的坐标代入可得， 即所求直线方程为． 法2 直线与的交点的直线方程可设为． 因为直线过原点，所以，解得，所以所求直线方程为． 故答案为：． 13．设为双曲线的左､右焦点，若点在双曲线上，且，则 . 【答案】13 【详解】因点在双曲线上，故，由题意，， 当点在双曲线右支上时，， 故得，因，符合题意； 当点在双曲线左支上时，， 故得，此时因，不合题意. 故 故答案为：13. 14．写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 . 【答案】或. 【详解】由已知，公切线斜率不为0， 设公切线方程为. 联立， 其判别式， 即，① 联立. . 其判别式，② 联立①②，解得， 所以椭圆和抛物线的公切线方程为或. 故答案为：或. 四、解答题 15．求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程． 【答案】 【详解】设过圆两交点的圆方程为， 因为圆过原点，所以，得， 所以． 所以圆的方程为． 【点睛】方法点睛：过两圆交点的圆（公共弦）系方程为．当时，方程为两圆公共弦所在直线方程（等幂线）． 16．已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为直线过点和， 所以且，则， 所以所求椭圆的方程为． （2）如图，若点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得． 因为，所以， 又因为，所以，则，即是直角三角形．    所以的外接圆圆心为，半径， 所以外接圆方程为． 17．已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点. (1)求E的方程； (2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，设E的方程为，又E过点， 所以，解得， 所以E的方程为. （2）设，，由得， 因为， 所以，， 所以 ， 所以， 解得或. 18．过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． (1)若线段中点的横坐标为1，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)3； (2). 【详解】（1）抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以. （2）由直线过点，设直线的方程为， 由消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. 19．设焦点在轴上的椭圆，，是的右顶点. (1)若离心率，求椭圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，椭圆上存在一点，满足，求； (3)若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，是否存在这样的椭圆，使得，若存在求的取值，若不存在请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）依题意，在椭圆中，， 由离心率，得，解得， 所以椭圆标准方程为：. （2）由（1）知，，设，由，得， 解得，由点在椭圆上，得，解得， 所以. （3）由线段的中垂线的斜率为2，得直线的斜率为，由，得， 直线过线段的中点，直线的方程为，即， 显然直线过椭圆内点，则直线与椭圆恒有两不同交点，设， 由消得， ，，由，得， 而，则有， 即， 即，解得， 所以存在这样的椭圆，使得，. 能力提升进阶练 1．如图，心形曲线与y轴交于A，B两点，点P是上的一个动点，则（ ） A．点和点均不在上 B．的最大值与最小值之和为22 C．点P的纵坐标的最大值为 D． 【答案】D 【详解】对于A，代入曲线方程可得， 即点在上，故A错误； 对于B，根据对称性不妨设，， ， 由正弦函数的值域可得最大值与最小值的差为24，故B错误； 对于C，由B可得， 点P的纵坐标的最大值为，故C错误； 对于D，当时，可得， 所以 ，故D正确. 故选：D 2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（   ） A．双曲线C的方程为 B．当时， C．若，则的面积为 D．当时，的内切圆半径为 【答案】BCD 【详解】对于A，由，虚轴长为，得，， 所以，故双曲线C的方程为，故A错误； 对于B，由，则， 故，而，所以， 故，得，所以，故B正确； 对于C，由得，根据双曲线定义得． 由余弦定理可得，即， 可得，所以的面积为，故C正确； 对于D，当时，设直线MN的方程为， 联立，消去y得，， 解得，，当时，M点坐标，， ，，，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得，故D正确．    故选：BCD 3．（多选）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】解：由椭圆，得，，，且，，即. A选项：,当时，取得最大值；当或时，取得最小值1.所以.所以A选项正确. B选项:设为椭圆上一点.由题知. 则, 因为,所以,即.所以B选项错误. C选项：因为为短轴的一个端点，所以或.由椭圆的对称性，不妨设. 设，则. 因为，所以，当时，取得最大值，当时，取得最小值0，所以.所以C选项错误. D选项：设，又，所以，. 又. 又. 所以成立，故D正确. 方法二：因为,所以,所以. 因为即，所以,即. 所以.所以D选项正确. 故选：AD. 4．已知，分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于，的点，点在坐标平面内，且，，若四边形的面积的最大值为，则 . 【答案】4 【详解】在椭圆中，，设，    由，，得，，则， 两式相减得，则，而，因此， 四边形的面积，当且仅当时取等号， 由，，解得，所以. 故答案为：4 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为在上，所以①． 由题意知，所以． 由，得，解得②． 由①②联立解得， 所以的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，线段的中点的纵坐标为0，故直线的斜率存在． 设其方程为，联立消得． 由，得③． 如图，设， 则． 所以，则． 所以，代入③得， 所以． ， 点到直线的距离， ， ． 当时，最大，最大值为． 6．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设，则，故， 又， 故， 由题可得，，故， 故椭圆的标准方程为； （2）若直线的斜率为0，则，不满足条件， 斜率不为0时，设直线为，直线的斜率为， 联立，消去整理得， 则， 根据点和点所在位置，如图： 如图，可得， 又四边形的面积为 ， 又，即， 故，所以直线的斜率为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$