第3章 二次根式（高效培优单元测试·提升卷）数学湘教版2024八年级上册

第3章 二次根式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A中，，含能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，故不符合题意； B中，，含能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，故不符合题意； C中，，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故不符合题意； D中，，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式，故符合题意， 故选：D． 2．下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 4．下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A．带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误； B．当时，，不一定是二次根式，故此选项错误； C．一定是二次根式，故此选项正确；     D．二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误．     故选：C． 5．已知，，则的值为（    ）． A．8 B．6 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题可先利用平方差公式将进行因式分解，再代入、的值分别计算和，最后将结果相乘得出答案．本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：D． 6．估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的计算，无理数的估值，正确地进行计算是关键． 先对二次根式进行计算，再对进行估值即可． 【详解】解： ， ， ， 估计的值应在6与7之间， 故选：C． 7．在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 把分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵， ∴，故甲的结果正确； ，故乙的结果正确； ，故丙的结果正确； 故选：A 8．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 9．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，整式的加减运算，解题的关键是根据题意并结合图形列出关系式，去括号合并即可得到结果． 先设小长方形卡片的长为，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为， 根据题意得：， ， 则图②中两块阴影部分周长和是： ， 图②中两块阴影部分的周长和是 故选：A 10．观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律，将式子算：改写为，运用规律进行求解． 【详解】∵， ， ， …… ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．把化成最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，，据此计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．若最简二次根式与相等，则 ， ． 【答案】 0 3 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，根据同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，可得方程组，根据解方程组，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与相等，得， 解得：  ， 故答案为：0，3． 14．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 15．观察下列等式，并解答下列问题． 等式1：，等式2：，等式3：… 请写出等式6： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式得出第n个等式可表示为为正整数是解题的关键．根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为，…， 所以第n个等式可表示为：为正整数 当时， 等式6为：， 故答案为：． 16．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次根式的运算，二次根式的性质，根据新定义把转化为二次根式的运算计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先算除法及二次根式化简，再合并即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，并化简绝对值，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，正确计算是解题的关键： （1）先求出，再代入求值即可； （2）先求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式分母有理化等知识，正确进行分式化简是解题的关键； 先计算除法运算，再计算减法运算，最后代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 21．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，算术平方根的非负性的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先求得隐含条件，得到，然后根据二次根式化简知识，即可求解； （2）先根据题意得到，再根据，求得或，然后即可求解； 【详解】（1）解：隐含条件，解得，所以， ∴原式． （2）解：∵，若，则，显然不成立，故． ∴，解得． ∵， ∴或． 当时，解得：，则； 当时，解得：，则． 综上所述，的值为或． 22．某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)2240元 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； （2）解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 23．（1）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由已知得：，解得___________，___________； （2）【尝试应用】若为实数，且，则___________； （3）【拓展创新】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）49 【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性质，解不等式组，求代数式的值，绝对值的计算，分式的化简等知识，利用二次根式被开方数的非负性质是解题的关键． （1）由被开方数的非负性质可求得x，再代入x的值即可求得y的值； （2）由被开方数的非负性质可求得x，再代入x的值即可求得y的取值范围，即可确定的符号，从而化简绝对值，最后求解； （3）由被开方数的非负性质可求得的值，再代入的值即可求得，最后即可求得代数式的值； 【详解】解：（1）由已知得：，解得， ； 故答案为：2024；2025； （2）由题意得：，解得， ∴， 则， ∴； 故答案为：1；　 （3）由题意得：，解得， ∴， 即， ∴． 24．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化为最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． （1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，根据完全平方公式将变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解：， ， ∴ ． 25．（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，；（2） ，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）理由如下： 当，时，， ， ， ． （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 二次根式（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列判断正确的是（   ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数      5．已知，，则的值为（    ）． A．8 B．6 C．3 D． 6．估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 7．在解决问题“已知，用含的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有甲对 8．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．把四张形状大小完全相同，宽为的小长方形卡片如图①不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为盒子底部如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 10．观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为 ． 12．把化成最简二次根式为 ． 13．若最简二次根式与相等，则 ， ． 14．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 15．观察下列等式，并解答下列问题． 等式1：，等式2：，等式3：… 请写出等式6： ． 16．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知，， (1)求的值； (2)求的值． 19．先化简，再求值：，其中． 20．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 21．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得，所以， 所以原式． (1)试化简：； (2)已知a，b满足，，求的值． 22．某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求长方形绿地的周长； (2)除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 23．（1）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由已知得：，解得___________，___________； （2）【尝试应用】若为实数，且，则___________； （3）【拓展创新】已知，求的值． 24．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 25．（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$