专题3.1 二次根式的概念及性质（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题3.1 二次根式的概念及性质 教学目标 1. 理解二次根式的定义、意义条件及最简形式。 2. 掌握积的算数平方根性质，能化简二次根式。 3. 识别二次根式，并会求其值与参数。 4. 判断二次根式的有意义性及是否为最简形式。 5. 利用二次根式性质进行简化计算与参数求解。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的定义、有意义的条件以及最简二次根式的判断与化简。 （2）积的算数平方根的性质及其在二次根式简化计算中的应用。 2.难点 （1）准确求解二次根式中的参数。 （2）熟练利用二次根式性质进行复杂式的简化计算。 知识点01 二次根式的定义 二次根式的概念：一般地，形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数。 【即学即练】 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D．a 2．下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 二次根式有无意义的条件 只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义。 【即学即练】 1．要使有意义，则字母应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．若等式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 3．已知，则y的值是 ． 知识点03 积的算数平方根的性质 积的算数平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 【即学即练】 1．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 3．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点04 最简二次根式 被开方数不含分母，且不含开的尽方的因数（或因式）。这样的二次根式叫作最简二次根式。 【即学即练】 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型01 二次根式的识别 【典例1】下列式子是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型02 求二次根式的值 【典例2】计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【变式1】已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【变式2】7．当时，二次根式的值为 ． 【变式3】当时，二次根式的值是 ． 题型03 求二次根式中的参数 【典例3】9．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【变式2】若，则 ． 【变式3】已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 题型04 二次根式有意义的条件 【典例4】13．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】二次根式有意义，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式2】要使代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．且 【变式3】若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型05 利用二次根式的性质化简 【典例5】17．化简得（   ） A． B． C． D． 【变式1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】观察下列各式： ；；；； (1)根据上述式子的规律填空：______；______； (2)计算：； (3)请用含自然数的代数式把上述规律表示出来． 题型06 最简二次根式的判断 【典例6】21．若是最简二次根式，则a的值可以是（　　） A． B．0.6 C． D．11 【变式1】下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列式子中是最简二次根式的是（） A． B． C． D． 【变式3】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D．       题型07 化为最简二次根式 【典例7】25．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】化简的结果是 ． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08 已知最简二次根式求参数 【典例8】29．若最简二次根式与能合并，则 ． 【变式1】与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式2】若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【变式3】若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 1．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 2．下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．要使代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 5．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 6．对于二次根式的乘除运算，一般地有和，使乘除运算法则同时成立的条件是（    ）． A．， B．， C．， D．， 7．当 时，二次根式的值为0． 8．若式子有意义，则的取值范围是 ． 9．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 10．写出一个大于2的最简二次根式 ．（写出一个即可） 11．计算： ． 12．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)． (2)． 13．化简或计算： (1)； (2)； (3)； 14．若，则是多少？ 15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 16．观察下列各式及验证过程： ①    ；验证①； ②；   ②； ③；   ③； (1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出（为大于等于2的自然数）表示的等式． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 二次根式的概念及性质 教学目标 1. 理解二次根式的定义、意义条件及最简形式。 2. 掌握积的算数平方根性质，能化简二次根式。 3. 识别二次根式，并会求其值与参数。 4. 判断二次根式的有意义性及是否为最简形式。 5. 利用二次根式性质进行简化计算与参数求解。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的定义、有意义的条件以及最简二次根式的判断与化简。 （2）积的算数平方根的性质及其在二次根式简化计算中的应用。 2.难点 （1）准确求解二次根式中的参数。 （2）熟练利用二次根式性质进行复杂式的简化计算。 知识点01 二次根式的定义 二次根式的概念：一般地，形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数。 【即学即练】 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D．a 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，理解并掌握其定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A. 中被开方数小于零，无意义，故该选项错误，不符合题意； B. 是二次根式，故该选项正确，符合题意； C. 中根指数是3，不是二次根式，故该选项错误，不符合题意； D. a不符合二次根式的形式，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 知识点02 二次根式有无意义的条件 只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义。 【即学即练】 1．要使有意义，则字母应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握：当时，二次根式有意义；当时，二次根式无意义，反过来也成立．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 故选：C． 2．若等式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，根据分母不为零，被开方数大于等于零，列式，解答即可． 【详解】解：有意义， ， 解得， 故选：C． 3．已知，则y的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定x的值，然后确定y的值即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：4． 知识点03 积的算数平方根的性质 积的算数平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 【即学即练】 1．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，根据二次根式的性质逐项化简求解判断即可 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，不正确，不符合题意； C、，不正确，不符合题意； D、，不正确，不符合题意； 故选：A 2．化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 3．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 根据二次根式的性质直接化简，逐项分析即可． 【详解】解：．，原计算错误，不符合题意； ．，原计算错误，不符合题意； ．，原计算错误，不符合题意； ．，原计算正确，符合题意； 故选：． 知识点04 最简二次根式 被开方数不含分母，且不含开的尽方的因数（或因式）。这样的二次根式叫作最简二次根式。 【即学即练】 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式，直接利用最简二次根式的定义，进而分析得出答案． 【详解】解：A．，被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D．，在分母中，不是最简二次根式，不符合题意， 故选：B． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，准确分析计算是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，不合题意； B. ，不是最简二次根式，不合题意； C. ，不是最简二次根式，不合题意； D. ，是最简二次根式，符合题意； 故选：D. 3．下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ， 故选：B． 题型01 二次根式的识别 【典例1】下列式子是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次根式的定义，解题关键是熟练掌握二次根式的识别方法． 二次根式的定义：一般地，把形如的式子叫做二次根式．根据此定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A．是二次根式，符合题意； B．不是二次根式，不符合题意； C．不是二次根式，不符合题意； D．不是二次根式，不符合题意． 故选：A． 【变式1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解决本题的关键． 根据二次根式的概念，即形如的式子叫做二次根式，由此概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，中，是二次根式； B选项，中时，式子无意义，不一定是二次根式； C选项，中的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； D选项，中，式子无意义，不是二次根式． 故选：A ． 【变式2】有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如的式子，需满足根指数为且被开方数非负”是解题的关键． 【详解】解： ，根指数是，是三次根式，不是二次根式，①不符合． 是二次根式．②符合． ：当时，式子无意义，不能保证恒成立，③不一定是二次根式． ，，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式． ，是整数，不是形式，⑤不是二次根式． 综上，只有②是二次根式，共个， 故选： ． 【变式3】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 题型02 求二次根式的值 【典例2】计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 【变式2】7．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 【变式3】当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 题型03 求二次根式中的参数 【典例3】9．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 【变式1】已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 【变式2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】已知是整数，则满足条件的最小正整数为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． 先将进行化简得到，再根据是整数即可解答． 【详解】解：根据题意，化简得：， 又∵是整数， ∴满足条件的最小正整数x为3． 故答案为3． 题型04 二次根式有意义的条件 【典例4】13．若二次根式在实数范围内没有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据二次根式有意义，即被开方数为非负数，当二次根式没有意义，则被开方数为负数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内没有意义， ∴ ∴， 故选：C 【变式1】二次根式有意义，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，可得，验证各选项即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， A．，符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意； 故选：． 【变式2】要使代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，列出不等式组，求出x的取值范围即可． 本题考查的是分式有意义及二次根式有意义的条件，即分式的分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：且 故选：D 【变式3】若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 题型05 利用二次根式的性质化简 【典例5】17．化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，将分解为平方数乘积形式，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：B 【变式1】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据二次根式性质计算出正确的值即可得出答案． 【详解】解：A、无意义，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3】观察下列各式： ；；；； (1)根据上述式子的规律填空：______；______； (2)计算：； (3)请用含自然数的代数式把上述规律表示出来． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意进行计算即可； （）结合题意和（）的结论，以此类推计算即可； （）结合（）和（）的结论，归纳规律表示代数式即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴；； 故答案为：；； （2）解：∵； ； ； ； ∴； （3）解：∵； ； ； ； ∴． 题型06 最简二次根式的判断 【典例6】21．若是最简二次根式，则a的值可以是（　　） A． B．0.6 C． D．11 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、当时，被开方数为负数，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母；③分母中不含根号．由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，是最简二次根式，故符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列式子中是最简二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，该选项不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，该选项不是最简二次根式，不符合题意； D．，该选项不是最简二次根式，不符合题意． 故选B． 【变式3】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，不符合题意；     C. ，符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：C． 题型07 化为最简二次根式 【典例7】25．已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 【变式1】下列各式化成最简二次根式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键． 最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②分母不含根号；③被开方数不含能开方的因数．需逐项验证化简过程是否符合要求．根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】选项A：原式化简应为，错误； 选项B：正确化简为，而选项B结果为，数值明显不符，错误； 选项C：分母含根号，未有理化，正确形式应为，错误； 选项D：将化为分数，再有理化分母：，符合最简二次根式要求，正确； 故选：D． 【变式2】化简的结果是 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把12写成，然后化简； （2）把75写成，然后化简； （3）将分母直接开方化简． （4）将写成，然后直接化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解： 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 题型08 已知最简二次根式求参数 【典例8】29．若最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的含义是解题的关键；，由题意知，，即可求解． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：； 故答案为：0． 【变式1】与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再依据同类二次根式的定义（被开方数相同）建立等式，求解的值．本题主要考查了同类二次根式的定义以及二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的概念（被开方数相同的最简二次根式）是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式3】若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式， ∴，， 解得：，， 此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。 ∴， 故答案为：5； 1．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 2．下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此依次分析即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．已知，，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 根据代入求解即可． 【详解】 原式 ． 故选：D． 4．要使代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：，且． 故选：A． 5．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 6．对于二次根式的乘除运算，一般地有和，使乘除运算法则同时成立的条件是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于0，分式的分母不能为0，即可求解． 【详解】解：由得，， 由中得， 综上可得，，， 故选：B． 7．当 时，二次根式的值为0． 【答案】2 【分析】本题主要考查的求二次根式中的参数，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键．当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：2． 8．若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数的非负性得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 9．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 根据题意判断出，及b的符号，再把原式进行化简，合并同类项即可． 【详解】解：结合数轴，得，， ，， 故答案为： 10．写出一个大于2的最简二次根式 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查实数的大小比较，根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴大于2的最简二次根式可以为， 故答案为：（答案不唯一） 11．计算： ． 【答案】42 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：42． 12．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)． (2)． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了零次幂的性质，二次根式有意义的条件； （1）根据二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可； （2）根据零次幂的性质，二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：； （2）由题意，得， 解得：且． 13．化简或计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，逐一进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 14．若，则是多少？ 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于零求解x的值，再计算出y的值，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得， 即， ∴， ∴． 15．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴化简绝对值、化简二次根式、化简立方根，解题的关键是利用数轴确定式子的正负． 先根据数轴确定式子的正负，再化简即可． 【详解】观察数轴可得：， ∴， ∴ ． 16．观察下列各式及验证过程： ①    ；验证①； ②；   ②； ③；   ③； (1)按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出（为大于等于2的自然数）表示的等式． 【答案】(1)，验证见解析 (2)且，验证见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1）解： 验证： ； （2）解：． 验证： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$