1.5 等腰三角形（预习讲义）2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年数学苏科版八年级上册 第1章 三角形 1.5 等腰三角形 （预习讲义） 学习目标 1. 理解等腰三角形的概念，能识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。 2. 掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。 3. 理解等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合（简称“三线合一”）。 4. 知道等腰三角形是轴对称图形，并能说出它的对称轴。 5. 初步学会运用等腰三角形的性质解决简单的问题。 6. 了解等边三角形的概念及其特殊性。 知识点梳理 1. 等腰三角形的相关概念 · 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 · 相关名称： · 在等腰三角形中，相等的两边叫做腰。 · 另一边叫做底边。 · 两腰的夹角叫做顶角。 · 腰和底边的夹角叫做底角。 · 注意：等腰三角形中，底边是唯一的，顶角也是唯一的，底角有两个。 · 等边三角形（特殊的等腰三角形）：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。它是特殊的等腰三角形，即腰和底边都相等的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质 · 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 · 性质2（三线合一）：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合。 · 等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形。 · 它的对称轴是顶角平分线所在的直线（或者说底边上的中线所在的直线，或者说底边上的高所在的直线）。 3. 等边三角形的特殊性 · 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60度。 · 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条边的中线（或三条边上的高，或三个角的平分线）所在的直线。 知识点总结 · 等腰三角形是一种特殊的三角形，其核心特征是“两边相等”。 · 核心性质1——等边对等角：等腰三角形的两底角相等。这是进行角度计算和证明角相等的重要依据。 · 核心性质2——三线合一：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合。这是解决等腰三角形中线段相等、垂直关系的重要工具。 · 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线，或底边上的高）所在的直线。 · 特殊等腰三角形——等边三角形：三边都相等，三个角都相等且为60度，有三条对称轴。 · 以上知识点是解决等腰三角形相关问题的基础，请务必理解并掌握。 巩固练习 一、选择题 1．下列命题中，假命题是（　　） A．面积相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的两底角相等 C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D．直角三角形的两个锐角互余 2．若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm 3．下列条件不能得到等边三角形的是（　　） A．有两个内角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形 4．如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形．其作法正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，等边的边长为6，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点 ．使，则符合要求的作图痕迹是（ ） A． B． C． D． 8．若一个等腰三角形有一个角为110°，那么它的底角的度数为（　　） A．110° B．55° C．110°或35° D．35° 9．如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，等边的边长为3，点P是边上的一个动点，过点P作于点D，延长至点Q，使得，连接交于点E，则之长为（　　） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 11．直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角的度数是　 　 12．已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为　 　． 13．如图，将一把含有角的三角尺的直角顶点放在一张宽的纸带边沿上，另一个顶点放在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一直角边与纸带的一边所在的直线成，则三角尺的直角边的长为　 　． 14．如图，AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管　 　根. 15．如图，在中，是的高线．若，则的长为　 　． 16．如图，∠A＝52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝　 　． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为　 　． 三、解答题 18．在四边形中，，点E为中点． （1）如图①，点F为中点．求证：； （2）在（1）的条件下，若，，则的面积为________； （3）如图②，若，延长交于点F，且，求的度数． 19．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠BCD； （3）如图（2），设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF． 20．在中，，是上一点，且． （1）如图，延长至，使，连接求证：； （2）如图，在边上取一点，使，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明． 21．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作一个等腰△ABC，点C在格点上． （1）在图①中，等腰△ABC的面积为． （2）在图②中，等腰△ABC的面积为5． （3）在图③中，△ABC是面积为的等腰钝角三角形． 参考答案 1．A 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．D 10．B 11．35° 12．7或4 13．6 14．8 15．2 16．38° 17．2 18．（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∵点F为中点， ∴ （2） （3）解：在和中，， ∵， ， ，， 又， ， ∴∠BEC=∠DEC. 设， ∴由（2）得：， ∴∠DEC=∠BEC=∠ABE+∠BAE=2x°. ∵BF=EF， ∴∠ABF=∠BEF=x°， ∵， ∴， 解得． ∴ 19．（1）证明：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE， 在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）． （2）证明：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，∴∠ACD＝∠E， ∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，即CA平分∠BCD； （3）证明：如图②，过点A作AM⊥CE，垂足为M， ∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，∴AF＝AM， 又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∵AC＝AE，∠CAE＝90°，∴∠ACE＝∠AEC＝45°， ∵AM⊥CE，∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，∴CM＝AM＝ME， 又∵AF＝AM，∴EC＝2AF． 20．（1）证明：， ， ， 即， 在和中 ， ， ； （2）证明：延长至点，使得，连接， 由得， ， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， 由（1）可 得， ， ， ， 即； （3）解：， 证明如下： 在上截取，连接， 由可知，均为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又为等边三角形， ， ， ， ． 21．（1）解：如图①中，即为所求； （2）解：如图②中，即为所求； （3）解：如图③中，即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$