第11章 简单几何体（复习课件）高二数学沪教版2020必修第三册

单元复习课件 第11章 简单几何体 沪教版2020必修第三册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能够准确复述柱体、锥体、台体以及球体的定义、结构特征，清晰区分不同几何体之间的差异。能根据几何体的外观特征或给出的条件，正确判断其所属类型。 3.能够根据不同几何体的已知条件，灵活选择合适的公式计算其侧面积、表面积和体积，计算过程中做到数据准确、步骤清晰，误差控制在合理范围内。 2. 掌握斜二测画法的基本规则，能运用该方法正确画出柱体、锥体、台体、球体及其组合体的直观图，确保直观图能准确反映几何体的形状和大小比例。 单元学习目标 单元知识图谱 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形       底面 互相 且____ 多边形 互相 且_____ 侧棱 ____________ 相交于 但不一定相等 延长线交于_____ 侧面形状 ____________ ________ ______ 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 考点串讲 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形         母线 互相平行且相等， 于底面 相交于_____ 延长线交于____   轴截面 ______ ___________ __________ ____ 侧面展开图 ______ ______ ______   垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用 . (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的 . 斜二测画法 分别平行于坐标轴 不变 一半 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式   圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图       侧面积公式 S圆柱侧=_____ S圆锥侧=____ S圆台侧=________ 2πrl πrl π(r1+r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 S表=S侧+2S底 V=_____ 锥体 S表=S侧+S底 V=_____ 台体 S表=S侧+S上+S下 V=____________________ 球 S表=_____ V=_____ Sh Sh (S上+S下 +)h 4πR2 πR3 5.正方体与球 1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a. 2.棱切球：棱切球直径2R=正方体的面对角线长a. 3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长a. 6.长方体与球 外接球：外接球直径2R=体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高). 7.正棱锥与球 1.内切球：V正棱锥=S表·r=S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. 2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2=(h-R)2+r2(正棱锥外接球半径为R，高为h). 8.直棱柱的外接球 球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=+r2(直棱柱的外接球半径是R，高是h，底面外接圆半径是r). 9.圆柱的外接球 R=(R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 10.圆锥的外接球 R2=(h-R)2+r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面圆的半径). 返回 考点一、空间几何体的结构特征 1.[2021全国新高考Ⅰ卷] 已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的 母线长为( ) B A.2 B. C.4 D. 解析 设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以， 即，所以圆锥的母线长为，故选B. 考点串讲 2.[2020全国高考] 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该 四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高 与底面正方形的边长的比值为( ) C A. B. C. D. 解析 设正四棱锥的底面边长为，高为，侧面三角形底边上的高为，则以为边长的正方形的 面积为，该四棱锥一个侧面三角形的面积为.故,且.故 ，化简整理得 ，解得或（舍），所以该四棱 锥侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为，故选C. 考点串讲 17 3.[2024全国高考] 已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为, 则圆锥的体积为( ) B A. B. C. D. 考点二、空间几何体的表面积和体积 解析 设圆柱、圆锥的底面半径为，则圆锥的母线长为.又圆柱与圆锥的 侧面积相等，所以，解得，所以圆锥的体积， 故选B. 考点串讲 4.[2023全国高考] 已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，, ,则面积为( ) C A. B. C. D. 解析 因为，且底面为正方形，则易知，则．在中， , ，，由余弦定理得， ，则． 在中，由余弦定理得，则 ， 所以的面积， 故选C． 考点串讲 19 5.[2024天津高考] 一个五面体，已知,,两两平行，且两 两之间的距离为1，,,,则该几何体的体积为( ) C A. B. C. D. 解析 如图，不妨将该五面体看作由直三棱柱截去四棱锥 得到的，此时的五面体仍满足题意. 结合题意可知，在五面体中，,,, ,且. ,, .故选C. 考点串讲 20 6.[2022全国新高考Ⅱ卷] 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和， 其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A A. B. C. D. 解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为， .设该正三棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为,，外接球的球心为，则 球心在直线上,由于球心位置不能确定，需分球心在线段上和不在线段上两种情 况讨论.当球心在线段上时，，解得,不符合题 意；当球心不在线段上，即球心在线段的延长线上时， ，解得，所以.综上，球的表面积为 ，故选A. 考点串讲 21 7.[2022全国新高考Ⅰ卷] 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分 水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔 时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该 水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为 ( ) C A. B. C. D. 解析 由题意知棱台的两底面面积分别为和，高为 ，所以棱台的体积 ,故选C. 考点串讲 22 8.[2024全国高考] 已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为,圆台的母线 长分别为,,则圆台甲与乙的体积之比为___. 解析 圆台甲、乙的上、下底面半径均相等， . 考点串讲 23 9.[2023全国高考] 在正四棱台中，,,， 则该棱台的体积为____. 解析 如图，连接,交于点，连接,交于点，连接，过点作于点 ，则为正四棱台的高. 在等腰梯形中，， ，则，，所以.又，所 以，所以，所以正四棱台的体积为 . 考点串讲 24 题型一、圆柱的外接球与内切球 1. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) B A. B. C. D. 解析 如图，依题意，球的半径.因为圆柱的高，所以圆柱的底面半径 .故圆柱的体积.故选B. 题型剖析 2.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家．他发 现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的 ”这一完美的结 论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为 ，则该圆柱的内切球体积为( ) D A. B. C. D. 解析 设圆柱的底面半径为，则其母线长.因为圆柱的表面积公式， 所以 ，解得.因为圆柱的体积公式，所以 .由题知，圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内 切球的体积，故选D. 规律方法 求解圆柱（其中为圆柱的高，为圆柱底面半径）的外接球问题时，作其轴截面，则 外接球半径；对于圆柱的内切球，即与圆柱的侧面和上、下底面均相切时， 内切球半径、圆柱的高、圆柱的底面半径满足. 题型剖析 26 3.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角 为的扇形，则球的表面积等于( ) B A. B. C. D. 题型二、圆锥的外接球与内切球 解析 由题意知，圆锥底面半径.底面周长 ，则母线长 ，则圆锥的高.由圆锥的顶点和底面圆周都在球的 球面上，故在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等,如图所示. 设球的半径为，则，即， 解得.故球的表面积.故选B. 规律方法 求圆锥的外接球问题时，作其轴截面，设其外接球半径为，构造直角三角形，利用勾 股定理求解，即，（其中为圆锥的高，为圆锥底面半径）.求圆锥 的内切球问题时，同样是作其轴截面，利用相似三角形求解. 题型剖析 27 4.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.阳马指底面为矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，， 当阳马的体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值为 ( ) B A. B. C. D. 题型三、棱柱的外接球与内切球 解析 根据题意，把堑堵补形为长方体，则长方体的体对角线即为堑堵 的外接球的直径. 设，，则阳马的体积， ，则堑堵补形成的长方体的体对角线长 ，当且仅当时取等号，即堑堵的 外接球的半径的最小值为， 堑堵的外接球的体积的最小值为 ，故选B． 题型剖析 28 5. 在正三棱柱中，所有棱长之和为定值，当正三棱柱外接球的表面积取得最小值 时，正三棱柱的侧面积为( ) D A.12 B.16 C.24 D.18 题型三、棱柱的外接球与内切球 解析 设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则所有的棱长之和为 （为正实数），所以. 设正三棱柱的外接球半径为，底面外接圆的半径为. 由正弦定理得，解得，所以 .当时，取得 最小值,为. 由正三棱柱外接球的表面积取得最小值，解得. 所以，， 所以此时正三棱柱的侧面积为．故选D． 规律方法直棱柱的外接球的球心为上、下底面外接圆圆心连线的中点，通过构造直角三角形，利用勾 股定理求解，即（其中为直棱柱的高，为直棱柱底面外接圆半径,为直棱柱外接球的 半径）. 题型剖析 29 6.设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是 的球面上，且, ，则此直三棱柱的表面积是( ) D A. B. C. D. 解析 如图所示,设，因为 ，所以 . 于是（是外接圆的半径），即.又球心到平面的距离等于侧棱长 的一半， 所以球的半径为, 所以球的表面积为 ，解得. 因此,. 于是直三棱柱的表面积是 .故选D. 题型三、棱柱的外接球与内切球 题型剖析 30 7.在高为2的直三棱柱中，.若该直三棱柱存在内切球，则底面周长 的最小值为_________. 解析 因为直三棱柱的高为2，设内切球的半径为，则， 所以.若直三棱柱存在内切球，取过球心的横截面如图所示，截面 底面,截面圆与，的切点分别记为,,连接,, ,,则.设 , ,则,所以 ,,所以的周长. 而 , 因为，所以,,则当时， 的值最大，为1，此时的值最小，为，所以底面 周长的最小值为. 题型三、棱柱的外接球与内切球 题型剖析 31 8.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，正四棱锥的所有顶点都在球 的球面上，则球的表面积为( ) B A. B. C. D. 题型四、棱锥的外接球与内切球 解析 正四棱锥的外接球的球心在正四棱锥的高所在直线上，如图，连接 ,交于点，连接,. 正四棱锥的底面边长为，设高为， 则正四棱锥的体积，解得， 设球的半径为，， 则，解得， 则球的表面积 .故选B. 题型剖析 32 （1）长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. （2）正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点. （3）直三棱柱的外接球的球心是上、下底面外心连线的中点. （4）正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. （5）若三棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 规律方法 33 9. 已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，则该三棱锥 的内切球的半径为( ) B A. B. C. D. 解析 设内切球的半径为，则内切球的球心到四个面的距离均为. 因为三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且 ， 所以. 由，得 ，解得.故选B. 题型四、棱锥的外接球与内切球 题型剖析 34 10. 中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复， 成品美轮美奂.1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层 圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长 为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有 棱长均相等的三棱锥）.若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为( ) A A. B. C. D.6 题型四、棱锥的外接球与内切球 题型剖析 35 解析 由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，正四面体 的棱长最长，则该球半径，如图. 可设为三棱锥外接球球心，则， 平面，D为底 面等边三角形的中心. 设正四面体的棱长为，则，， 在中，，即， 解得，即．故选A. 二级结论 设正四面体的棱长为，则其外接球半径，内切球半径，正四面体的高 ，体积. 题型四、棱锥的外接球与内切球 题型剖析 36 11.已知四面体的每个顶点都在球的球面上， 平面，，是正 三角形，是等腰三角形，则球的体积为( ) C A. B. C. D. 解析 平面， 平面，.又是等腰三角形，. 是正三角形，.如图，设为外接圆的圆心，则 ，过点作底面的垂线，则球心在垂线上，且， ， 球的体积.故选C. 二级结论 侧棱垂直于底面，底面不是直角三角形的三棱锥的外接球半径， 其中 为三棱锥底面外接圆半径，为三棱锥的高. 题型剖析 37 12.若正四棱锥内接于球，且底面过球心，球的半径为4，则该四棱锥内切球 的体积为___________. 解析 因为正四棱锥内接于球，且底面过球心，球的半径为4， 所以，所以， 所以正四棱锥的表面积， 正四棱锥的体积.设正四棱锥内切球的半径为， 则，解得 ， 所以该四棱锥内切球的体积为. 题型四、棱锥的外接球与内切球 题型剖析 38 题型五、棱台的外接球与内切球 13. 如图，在正四棱台中，， .若半径为的球与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积____. 解析 设球与上底面、下底面分别切于点,，与平面、平面分别切于点,， 作出其轴截面如图所示，则，，所以. 过点作于点，连接,，则， 由勾股定理可得, 所以内切球的半径， 所以该球的表面积 . 题型剖析 39 1.已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形， 如图所示.若，则该直四棱柱的表面积为( ) C A. B. C. D. 解析 由直观图可得底面四边形的平面图形如图所示，由 ， 得，，所以.则 ，，所以此直棱柱的底 面周长.又直棱柱的高， 所以该直棱柱的侧面积，则表面积 .故选C. 针对训练 40 2.已知圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥所 得的圆台体积是( ) A A. B. C. D. 解析 根据题意，设圆锥的高为，底面半径为，母线长为. 由圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，得解得 则该圆锥的高， 故该圆锥的体积， 过圆锥高的中点且与底面平行的平面截此圆锥，将圆锥的体积分为的两部分，则下半部分圆 台的体积占原来圆锥体积的，则所求的圆台体积为．故选A． 针对训练 41 3.如图，正四棱锥底面的四个顶点,,,在球的同一个大圆上， 点在球面上.若,则球的体积是( ) C A. B. C. D. 解析 设球的半径为.因为正四棱锥底面的四个顶点A,B,C,D在球的同一个大圆上， 且点在球面上，所以 底面，,正方形的面积.因为, 所以,解得，所以球的体积 . 题型剖析 42 $$