模块四 三角形-【加速度中考】2025年中考数学核心知识天天记

模块四 三角形 第15天 线段、角、相交线与平行线（含命题） 1.直线与线段 (1)经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线） (2)两点之间，线段最短 (3)连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离. (4)如图，点B把线段AC分成相等的两条A B 线段AB,BC,点B就叫做线段AC的中点，即AB=BC=2AC 2.角及角平分线 (1)余角、补角 ∠1+∠2=90°台∠1与∠2互为余角： ∠1+∠2=180°台∠1与∠2互为补角， (2)角平分线 图示 性质 逆定理 B 角平分线上的点 在角的内部到角两边距离相等 到角两边的距离 的点在角的平分线上 相等，即PE=PD 3.垂线 (1)垂线的基本性质 ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直： ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， (2)线段的垂直平分线 ①性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等； ②逆定理：到一条线段两个端，点距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上. 西无无 21 4.平行线 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行.即如果b∥a,c∥a,那么b∥c. (3)平行线的性质与判定 同位角相等别定两直线平行.内错角相等别两直线平行。 性质 性质 同旁内角互补 判定两直线平行。 性 (4)平行线之间的距离：两条平行线间的距离处处相等， 5.命题 (1)命题：判断一件事情的句子，叫做命题 (2)真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做 真命题 (3)假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命 题叫做假命题。 (4)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个 命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个 命题叫做互逆命题. 第16天 一般三角形及其性质 1.三角形的分类 锐角三角形：三个角都是锐角 (1)按角分 直角三角形：有一个角为90° 钝角三角形：有一个角是钝角 三边不相等的三角形 (2)按边分 底边和腰不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 2.三角形边和角的性质 (1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小 于第三边，即a十b>c,a-b<c. 22· 毒新无 (2)内角和定理：三角形三个内角的和等于180° (3)边角关系：在同一个三角形中，等边对 等角，大边对大角，小边对小角： (4)内外角关系：三角形的外角等于与它不 相邻的两个内角的和.如图，∠1=∠A十∠B: 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角 3.三角形中的重要线段 (1)高：锐角三角形的高都在三角形内部；直角三角形其中两条 高恰好是直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形其中两条高在 三角形外部，另一条高在三角形内部， (2)中线：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 (3)角平分线：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心： 三角形的内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心. (4)中位线：中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 第17天特殊三角形及其性质 1.等腰三角形的性质 (1)两腰相等. (2)两底角相等（简称“等边对等角”）. (3)顶角平分线、底边上的中线及底边上的高线相互重合（简称 “三线合一”). (4)是轴对称图形，有1条对称轴。 2.等腰三角形的判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形. (2)有两角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 3.等边三角形的性质 (1)三边相等. (2)三个内角相等，且每一个角都等于60° (3)角平分线及每条边上的中线、高线互相重合. (4)是轴对称图形，有3条对称轴. 骨无 ·23· 4.等边三角形的判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 5.直角三角形的性质 (1)两个锐角互余. (2)30°角所对的直角边等于斜边的一半. (3)斜边上的中线等于斜边的一半. (4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为α，b,斜边 长为c,那么a2+b2=c2 6.直角三角形的判定 (1)有一个角为90的三角形是直角三角形 (2)有两个角互余的三角形是直角三角形 (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2十 b=c2,那么这个三角形是直角三角形. (4)推论：一条边上的中线长等于这条边的一半的三角形是直角 三角形（解答题使用需证明）》 第18天全等三角形 1.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等，对 应中线、高线、角平分线、中位线都相等. 2.全等三角形的判定 (1)三边分别相等的两个三角形全等（简写成“SSS”). (2)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“SAS”). (3)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“ASA”). (4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全 等（简写成“AAS”) (5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成 “HL”). ·24· 毒础不无体 3.常见的全等模型 (1)平移型全等 →△ABC≌△DEF C(E)F (2)对称型全等 +△ABC≌△AED (3)一线三等角型全等 △APC≌△BDP 第19天相似三角形（含位似） 1.比例的性质(b,d,n≠0) (1)基本性质：如果号-行，那么ad=bc. （2合比性质：如果号台那么片岁告 (3)等比性质：如果号=看=…=(6，d,,n≠0)，那么 a十c十+m=(b十d十…十n≠0). b+d+…十n b 孕酷无 ·25· 2.黄金分割 如图①，一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 怨瓷，那么称线段AB被点C黄金分制，点C叫做线段AB的黄 金分割点AC与AB的比叫做黄金比，即AC-5,1≈0.618. AB 2 B B b D B 图① 图② 图③ 3.平行线分线段成比例 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成 比例如图②直线a/6/,则能-@会。 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.如图③，在△ABC中，DE∥BC,则品 AE AD AE DE CE'AB AC BC 4.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应边成比例，对应角相等. (2)相似三角形对应高、中线、角平分线成比例，且等于相似比. (3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 5.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相 交所构成的三角形与原三角形相似， (2)两角分别相等的两个三角形相似. (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (4)三边成比例的两个三角形相似. 26· 6.相似三角形的常见类型 B DE∥BC→△ABC∽△ADE △ABCP△ACD AC BC AB AC BC EC DC→△ABC∽△EDC DC DE CE →△ABCn△DCE 7.位似的性质 (1)位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质. (2)对应点的连线或延长线相交于同一点（位似中心）. (3)位似图形上的任意一组对应点到位似中心的距离之比等于 相似比 (4)位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）. (5)若一个图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，且相似比 为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为 (一kx,一ky)或(kx,ky) 第20天 锐角三角函数及其应用 1.锐角三角函数的定义 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为Rt△ABC中的一锐角， 则有： 正弦：sinA=∠A的对边 _a B 斜边 c C a 余弦：cosA=∠A的邻边=b 斜边 c 正切：tanA=∠A的对边 _a ∠A的邻边 无和 27· 2.特殊角的三角函数值 sin30°= 2c0s30°= 2,tan30°= 3: sin45°- 2,c0s45°= 2,tan45°=-1； sin60°= ,C0s60°=1 ，tan60°=√3. 3.直角三角形的边角关系 (1)三边关系：a2+b=c2; (2)三角关系：∠A+∠B=∠C=90°； (3)边角关系：sinA=cosB=4,cosA=b sinB-名amA-号anB= B a a 4.锐角三角函数的实际应用 内容及图示 视线 铅 仰角、俯角 仰角水平线 线 、俯角 视线 北309A A点位于O点的北偏东30°方向： 方向角 东 B点位于O点的南偏东60°方向； 60 B C点位于O点西北方向 直高 坡面 坡角为a; 坡角、坡度 h 坡度i=tana一 水平宽度 28· 孕基础