模块三 函数-【加速度中考】2025年中考数学核心知识天天记

模块三函数 第11天平面直角坐标系与函数 1.平面直角坐标系中点的坐标特征 (1)点的坐标特征 各象限点的 第一象限：（十，十），第二象限（一，十）， 坐标特征 第三象限：（一，一），第四象限（十，一） 点P(x,y)在坐标轴上，则： (1)在x轴上台y=0: 坐标轴上点的 (2)在y轴上台x=0; 坐标特征 (3)原点台x=0,y=0. 注：坐标轴上的点不属于任何象限 (1)第一、三象限角平分线上点的 横、纵坐标相等，如图中A点： 各象限角平分 x=y1; 线上点的 A(xy） (2)第二、四象限角平分线上点的 坐标特征 B(x,) 横、纵坐标互为相反数，如图中B 点：x2=一y2 (1)与x轴平行的直线上的点的 与坐标轴平行 纵坐标相等，如图中P点： 4(xy)y P(x.y) 的直线上点的 y=y1; 坐标特征 (2)与y轴平行的直线上的点的 B(x2.y2) 横坐标相等，如图中P点：=x2 11· (2)点的对称与平移（已知点P(a,b)) 几何变换 变换后的点坐标 变化规则 关于x轴对称 (a,-b) 关于谁对称谁不变， 关于y轴对称 (-a,b) 关于原点对称都变号 关于原点对称 (-a,-b) 向左平移m个单位长度 (a-m,b) 向右平移m个单位长度 左右平移，横坐标左减右 (a-m,b) 加；上下平移，纵坐标上加 向上平移m个单位长度 (a,b+m) 下减 向下平移m个单位长度 (a;b-m) (3)平面直角坐标系中的距离表示 点P(a,b)到x轴的距离为b,到y轴的距离为a,到原点的距 离为√a2+b;点P(a,b)到点Q(m,n)的距离为 a-m+(b-mP,线段PQ的中点坐标为2,2” a十mb+n 2.函数及其图象 (1)函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应， 那么我们就说x是自变量，y是x的函数. (2)函数值：如果当x=a时，y=b,那么b叫做当自变量的值为a 时的函数值. (3)函数的表示方法：列表法、图象法、表达式法 (4)画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线， 3.函数自变量的取值范围 函数表达式的形式 自变量的取值范围 分式型y A B≠0 二次根式型y=√A A≥0 12· 子毒础 续表 函数表达式的形式 自变量的取值范围 y=④ B≠0且A>0 B 分式十二次根式型 B B>0 第12天 一次函数 1.一次函数的图象与性质 (1)表达式 一次函数：y=kx十b(k,b是常数，k≠0)； 正比例函数：y=k.x(k是常数，k≠0). (2)图象与性质 b>0台图象与y轴交于正半轴： k>0台y随x的增大而增大： b<0一图象与y轴交于负半轴； k<O台y随x的增大而减小 b=0(正比例函数)台图象过原点 示例 系数 k>0,b>0 k<0,b<0 k<0,b=0 经过象限 一、二、三 二、三、四 二、四 孕基瑞无 13· 2.一次函数y=kx十b(k≠0)图象的几何变化 (1)平移 平移方式(m>0) 平移后的表达式 规律 向左平移m个单位长度 y=k(x+m)+b 向右平移m个单位长度 y=k(x-m)+b 左加右减， 向上平移m个单位长度 y=kx+b+m 上加下减 向下平移m个单位长度 y-kx+b-m (2)对称 关于x轴对称→y=一k.x一b;关于y轴对称→y=一k.x十b. 3.一次函数表达式的确定 (1)方法：待定系数法. (2)步骤： ①设 y=kx十b(k≠0)： ②代—找出一次函数图象上的两个点，并将两点坐标代入函 数表达式，得到二元一次方程组： ③解 解二元一次方程组，得到k,b的值： ④定 确定一次函数表达式 4.一次函数与方程（组）、不等式的关系 (1)方程kx十b=0的解台一次函数y=x+b的图象与x轴交 点的横坐标. (2)方程组 y=kx+b, 的解台一次函数y=k.x十b与y=k1x十 y=kx+b b的图象的交点的横、纵坐标 (3)不等式k.x十b>0的解集台一次函数y=kx十b的图象位于x 轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围，即当y>0时，x的取值 范围。 (4)不等式k.x十b<0的解集台→一次函数y=k.x十b的图象位于x 轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围，即当y<0时，x的取值 范围. ·14· 毒础新无选 第13天 反比例函数 1.反比例函数的图象与性质 (1)反比例函数的定义 一般地，如果两个变量工，y之间的对应关系可以表示成y=冬(k 为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.反比例函数的自 变量x不能为0. (2)反比例函数的图象与性质 表达式 y=名（或y=ky=kx)k为常数，k≠0） k k>0 k<0 大致图象 (双曲线) 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 在每一象限内，y随x的增 在每一象限内，y随x的增 增减性 大而减小 大而增大 中心 关于原点成中心对称，如：双曲线一支上的点P(x,y),关 对 对称 于原点的对称点P(一x,一y)在双曲线另一支上 称 轴对 有两条对称轴，分别为直线y=x和y=一x 称 2.反比例函数中k的几何意义 (1)如图，过反比例函数y一的图象上任 意一点P(x,y)分别作x轴，y轴的垂线PM, PN,则S矩形ON=PN·PM=|xy|=|k|. 骨无 ·15· (2)与k的几何意义有关的图形面积的计算 C E 图示 F B Sm=Sr=专k= 结论 (点B在y轴上运动) S四边形0FBE） V 图示 o) S△Br=|k|,S△mP=2|k| 结论 S6=⑦2k-k (AB∥x轴，点C在x轴上运动) (P与P关于原，点对称) 3.反比例函数与一次函数图象的交点问题 (1)两个函数图象的交点个数与系数k的符号问题 一次函数图象与反比例函数图象的两支曲线都有交点台k的符 号一致；一次函数图象与反比例函数图象没有交点→k的符号相反. (2)求交点坐标：将一次函数与反比例函数的表达式联立，解方 程组即可. 16· 骨毒盘 第14天二次函数 1.二次函数的图象与性质 (1)根据二次函数表达式判断函数性质 表达式 y=ax2十b.x+c(a,b,c为常数，且a≠0) (①)直接运用公式x=一 a (2)配方转化为顶点式y=a(.x一h)2十k(a≠0)，则对称轴为 对称轴 直线x=h; (3)利用x求解《(：为抛物线上纵坐标相等的两 个点的横坐标) 1直接运用顶点坐标公式（一品，如。）： (2)配方转化为顶点式y=a(x一h)2+k(a≠0)，则顶点坐标 顶点坐标 为(h,k); (3)若对称轴为直线x=xo,将x=x0代入函数表达式求得对 应的纵坐标y 在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y a>0 随x的增大而增大 增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y a<0 随x的增大而减小 a>0 y有最小值，当x=一 Aac-b2 Aa 最值 y有最大值，当=一乡时y Aac-b2 a<0 2a" Aa 孕瑞无 17· (2)根据二次函数表达式判断函数图象 表达式 y=a.x2十bx十c(a,b,c为常数，且a≠0) a的正负决定 a>0台开口向上；a<0台开口向下 开口方向 b=0台对称轴为y轴； a,b决定对称 a,b同号台对称轴在y轴左侧（左同）； 轴位置 a,b异号台对称轴在y轴右侧（右异） c=0台经过原点； c决定与y轴 c>0台与y轴交于正半轴： 的交点位置 c<0台与y轴交于负半轴 b2一4ac=0台与x轴有唯一的交点（顶，点）； b2-4ac决定与 b2-4ac>0台与x轴有两个交点； x轴交点个数 b2一4ac<0=与x轴没有交点 (3)a,b,c之间的特殊关系 ①求a十b十c,令x=1,看纵坐标； ②求a一b十c,令x=一1，看纵坐标； ③求2a十b,将- 会与1作比较： ④求2a-b,将- 会与一1作比较： ⑤求am2十bm十c,令x=m,看纵坐标. 2.二次函数表达式的确定 (1)表达式已给出 ①若未知系数只有一个，将已知抛物线上的任意一点的坐标代 入求解即可； ·18· ②若未知系数有两个，将已知抛物线上的两个点的坐标代入求 解即可； ③若已知抛物线的对称轴，可利用抛物线的对称轴列关系式 求解。 (2)表达式未给出 ①已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)和抛物线上任 意一点坐标，通常设表达式为y=a(x一x1)(x一x2)(a≠0)； ②已知抛物线的顶点坐标(h,k)或对称轴x=h及最大（小）值 时，通常设表达式为y=a(x一h)2十k(a≠0)； ③已知抛物线上任意三点时，通常设表达式为y=ax2+bx十 c(a≠0). 3.二次函数与方程、不等式的关系 (1)与一元二次方程的关系 ①二次函数y=ax+bx十c的图象与x轴的交点的横坐标台方 程a.x2十bx十c=0的解； ②抛物线与x轴有两个交点→方程有两个不相等的实数根→一 4ac>0; ③抛物线与x轴有一个交点台方程有两个相等的实数根一b2一 4ac=0; ④抛物线与x轴无交点台方程无解→b一4ac<0. (2)与不等式的关系 ①a.x2十b.x十c>0的解集台函数y=a.x2十b.x十c的图象位于x 轴上方对应点的横坐标的取值范围； ②ax2+bx十c<0的解集台函数y=a.x2十bx+c的图象位于x 轴下方对应点的横坐标的取值范围. 无无 ·19· 4.二次函数图象的几何变换 (1)二次函数图象的平移 平移前的 平移后的函数表达式 平移方向(m>0) 函数表达式 (左加右减，上加下减) 向左平移m个单位长度 y=a(x+m)2+b(x+m)+c 一般式： 向右平移m个单位长度 y=a(x-m)2+b(x-m)+c y=ax2+ bx+c 向上平移m个单位长度 y=ax2+bx+c+m 向下平移m个单位长度 y-ax2+bx+c-m 向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 顶点式： 向右平移m个单位长度 y=a(x-h-m)2+k y=a(x- 向上平移m个单位长度 h)2+k y=a(x-h)2+k+m 向下平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k-m (2)二次函数图象的对称与旋转 变换前的函数表达式 变换形式 变换后的函数表达式 关于x轴对称 y=-ax2-bx-c 一般式： 关于y轴对称 y=ax2-bx+c y=ax2+bx+c 关于原点对称 y=-ax2+bx-c 关于x轴对称 y=一a(x-h)2-k 顶点式： 关于y轴对称 y=a(x+h)2+k y=a(x-h)2+k 关于原点对称 y=-a(x+h)2-k 绕顶点旋转180° y=一a(x-h)2+k 20· 子嘉盘新福