模块六 圆-【加速度中考】2025年中考数学基础天天练

模块六圆 第46天正多边形与圆 1LD2号3604誓5-456N 21x 74 3 第47天重径定理及其推论 1.B2.C3.A4.B5.C 6.67.122 第48天圆周角定理及其推论 1.C2.B3.B4.D5.C6.60 7.(1)证明：如答图，设AD与圆交于点M,连接BM, 则∠AMB=∠APB. :∠AMB>∠ADB, ∴.∠APB>∠ADB. (2)解：∠APH= 60,PH=6, M ∴m∠ANPH滑-5， 二才B ∴.AH=5PH=65 :∠APB=30°， 第7题答图 .∠BPH=∠APH-∠APB=30°. ∠BPH-開号BH-9PH=2厅. 3 ∴.AB=AH-BH=43≈6.9(m). 答：塑像AB的高约6.9m 第49天园内接四边形的性质 1.C2.D3.B4.B5.130°6.50° 7.65°8.2 9.60°10.北偏东60 第50天点，直线与圆的位置关系 1.C2.C3.A4.C5.27+16.A7.A 8.C 18 第51天三角形的内切圆和外接圆 1.C2.C3.A4.A5.D 6.D【解析】方法一：：三角形ABC为直角三角形， ,.令a=3.b=4,c=5.选项A:d=a十b-c=2:选项 2ab B:d=aTb+c =2:选项C:d=V2(c-a)(c-b) 2;选项D:d=|(a一b)(c-b)=1.只有D选项跟 其他选项不一致，故选D 方法二：如答图，作OE⊥AC于A 点E,OD⊥BC于点D,OF⊥ AB于点F,则四边形OECD是 正方形，设OE=OD=OF=r, 则EC=CD=r,∴.AE=AF=E -k0 b-r.BD=BF=a-r..AF+ BF=AB,∴.b-r+a-r=c, B r=士.d=a十b-6选 第6题答图 2 项A正确.：S△r=S△r十S△C十S2g, .abr+brcr.ib-r(a+b+e). a+b+c,即d=2ab r=ab a十斤c选项B正确.：d a+b-c,.=(a+b-c)2=a+2ab+6-2ae 2bc+c2..'a2+b=c2,∴.d'=2c2+2ab-2ac 2e=2(c2+ab-ac-bc)=2[c(c-a)+b(a-c)]= 2(c-a)(c-b),∴.d=√2(c-a)(c-b)(负值已 舍)，选项C正确.故选D. 7.D【解析】方案一：，长方形的长和宽分别为3,2， ∴.直接取圆直径最大为2，则半径最大为1. 方案二：如答图，作ON⊥BF于点N,OM⊥AB于 点M,则∠OMA=∠FNO=90°，.∠AMO ∠B=90°，.OM∥FB.∴.∠AOM=∠OFN, △MO△OFN.器赛设o0的丰径为 ,则写，=2，解得r=号-1=故 选D. D E A M 第7题答图 第52天与切线有关的证明利和计算 1LB2Cac4号5誓 6.23 7.(1)证明：如答图，连接OD. ,AC=BC,∠ACB=90°， .△ACB为等腰直角三角形， ∴.∠CAB=45°，∴.∠COD=2∠CAB=90. :DE∥CF,∴.∠COD+∠EDO=180°， .∠EDO=90°. ,OD为⊙O的半径，∴.DE为⊙O的切线. (2)解：如答图，过点C作CH⊥AB于点H. ,△ACB为等腰直角三角形，AC=4, :CH=AH=号AC-2 .'tan∠CFD= CH FH =2, ∴.FH=2. 在Rt△CFH中， CF=√CH+FH=√I0. 第7题答图 im∠cFD=8架 OD OD CF-OC√/o-OD =2, 0D=2匝，00的半径为2四 3 3 8.A9.10 10.30-2√6【解析】如 俯视 答图，连接AB,BD, OA,OB,BC,连接线 段OC交AB于点G 记平视点C时视线与 量简的交点为F,平视 ∠DAB=90,.BD 是⊙O的直径.由垂径 定理得AG=BG, 仰视香 ∴.OG是△BAD的中 位线，.OC∥DE 能= 第10题答图 ∴BC=CE,0C=2DE=2×(37-23)=7, .⊙O的直径为14.，AB=10,.AD= BD-AB=4√6，∴.AE=14-4√6.，CF∥ MB累-器=EF=1-26 点C的高度即点F的高度，∴，点C的高度为 7-26+23=30-2√6(mm). 1L.设CE=x,根据题意得CE=CF=x (1)证明：由题意得AE=AD=m,BF=DB=n, 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 (x十m)2十(x十n)2=(m十n)2, 整理，得x2+(m十n)x=mn, iSw-TAC-(+m(+m -Lx+(m+px+mJ-mm (2)证明：由AC·BC=21,得(x十m)(x十n)=2nm. 整理，得x2十(n十n)x=, .AC+BC=(x十m)2+(x十n) =2[x2+(m十n).x]+m2+n =2mn十m2十 =(m十n) =AB. 9 根据勾股定理逆定理可得∠C=90 (3)解：如答图，过点A作 AG⊥BC于点G 在Rt△ACG中， AGAC.sm0-号r+.C GF G=AC·cos60=2x+4. 第11题答图 :0=BC-GG=(r+5)-2+4)=含r+3. 在R1△ABG中，根据勾股定理，得 [++(合+3)=(4+5. 整理，得x2十9.x=60, =CAG=+5+ 4(r2+9.x+20)=205. 第53天与圆有关的计算 1.C2.D3.D4.2π-45.88π 6.解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由如下： 方法一：作出示意图如答图①. 由题意得AB=AC=BC=7, 折叠后CD=CE=5. 由实践操作步骤得出底面周长为5π，∴.DE=5, 器黑-需：△CDE△CB, ∴.滤纸能紧贴此漏斗内壁。 方法二：由2w-需得品-京 r 如答图②，滤纸中，m=90°×2=180°， 漏斗中，反-5-=号w=180 ,=2,滤纸能紧贴此漏斗内壁 (2)由(1)知CD=DE=CE=5,∴.∠CDE=60° 如答图①，过点C作CF⊥DE于点F, DF=2DE= 2 在R△CDF中，CF=VCD-DF=5E ∴.V=125③ πm 24 ,即圆锥形的体积是5E 24 图① 图② 第6题答图 第54天教材素材拓展 解：(1)4cm (2)(22-2)cm (3)如答图①②③①. 01 B A A B B A 图① 图② 图③ 图④ 答图 从答图①运动到答图②，点O绕点A旋转了45°，点O 的运动距离为2AB=2×V2×军=2E(cm: 从答图②运动到答图③，点O绕点B旋转了45°，点O 的运动距离为2AB=2×V2X军=2E(cm: 从答图③运动到答图④，点O移动的距离为圆心角为 270,半径为4m的弧长，即270X4=6x(cm. 180 综上所述，让车轮在地上无滑动地滚动一周，点O经 过的水平路程为2√E+2V2+6π=6π十4V2(cm). (4)A 模块检测卷（六） 1.C2.B3.C4.B5.C 6.A【解析】，等腰三角形 ABC中，AB=AC,BC=4, 以BC中点O为圆心作与两 腰相切的圆，.∠ABC= ∠ACB,BO=CO=2.:'⊙O 与AB,AC分别相切于点 N,M,过圆上一点F作切线 分别交AB,AC于点D,E. 如答图，连接ON,OM,FO, ∴.∠OND=∠OFD ∠OMC=90°，DN=DF,EF 第6题答图 =EM,∠FD)=∠VDO,可得∠2=∠3，同理可得 ∠4=∠5.在R1△BON和Rt△COM中， NOM0.·R△ON≌R△COM(HL. BO-CO. ∴.∠1=∠6，∴∠1+∠3+∠4=∠2+∠5+∠6= 90.∠7=90°-∠2，∴∠7=∠5+∠6=∠E0C :∠B=∠C△0D∽△C0.-80. ∴，BD·EC=BO·CO=4.故选A. 7.158.2或59.1010.11π 11.解：(1)OD⊥AB,.AD=BD .∠BOD=∠AOD=60°， ∠DEB=7∠BOD=30. (2)设⊙O的半径为r,则OC=r-2. :ODLAB..∴AC=BC-AB=4 在R△OAC中，(r-2)2+42=r2, 解得r=5,即⊙O的半径长为5. 20 12.(1)证明：如答图，连接AC交OD于点H. ,AB是⊙O的直径， ∴.AC⊥BC .OD平分∠AO0C, ∴.∠AOD=∠COD, B ∴.AD=CD, ∴.OD⊥AC,∴.OD∥BC. (2)解：，OE∥BC, 器器 设OE=5.x,BC=6.x. O ,AO=OB,OH∥BC 第12题答图 ∴.AH=CH. .0H-BC-3r, ,PB是⊙O的切线，.∠OBP=90°， ∴.∠PBO=∠AHO. ,∠BOP=∠HOA,∴.△AOH△POB 器器油影 5x 3.r' =品或x=0(不合题意，合去)0正=多 :⊙0半径的长为2 13.(1)证明：如答图，连接OD. ,⊙O与BC相切于点D,.∠ODB=∠C=90, ∴.OD∥AC..∠ODA=∠CAD. .OA=OD,.∠BAD=∠ODA ∴·∠BAD=∠CAD,∴.AD平分∠CAB. (2)解：在R1△ABC中， A ∠C=90°，AC=BC, ∴.∠B=∠BAC=45 由(1)可知OD∥AC, ∴·∠BOD=∠BAC=45°， ..OD=BD. F 设BD=x,OB=√2x, c9 B D ∴.BC=AC=x+1. 第13题答图 在Rt△ABC中，AC+BC=AB, ∴.2(x+1)2=(W2x+x)2, ∴.x=√2（负值已舍），即BD=OD=√2， 心图中阴影部分的面积为S△D一SD=1一于。 21模块六 圆 第46天 正多边形与圆 ®秀耳垦础练 建议用时10分钟 答案P18 L.[2024东莞模考]如图，用若干个全等的正五边 3.[北师九（下）P71例题改编]如图，正六边形AB 形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边 CDEF内接于⊙O,P为AB上的一点（点P不与 点A,B重合)，则∠CPE的度数为 形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五 边形的个数是 ( A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 G 第3题图 第4題图 4.[2024青岛模考]如图，半径为2的⊙O过正五 边形ABCDE的顶点C,D,与边AB,AE分别 相切于点M,N,则劣弧MV的长度为 第1题图 第2题图 5.[2024包头模考]如图，正六 F 2.[2024连云港模考]如图，正八边形ABCDEF 边形ABCDEF的外接圆 A 60 GH和正六边形GHIJKL的边长均为6，以顶 ⊙O的半径为4，过圆心O 的两条直线l1,2的夹角 点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部 为60°，则图中阴影部分的 5 分的面积为 (结果保留π). 面积和为 第5题图 令情境应用练 建议用时5分钟 答案P18。 6.爵化学)[2024合肥模考]苯（分子式为C。H)的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研 究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图①）.图②是其平面 示意图，O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBF-∠COD的度数为 ( A.30° B.45 C.60 D.90° 图① 图② 第6题图 第7题图 7.[2024漳州模考]如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b=4c, 则螺帽边长a= cm. 64· 喜基础无无 第47天垂径定理及其推论 秀耳基础练 建议用时10分钟 答案P18。 1.[人教九（上）P89第5题改编]如图，A,B,C,D3.[2024广州模考]如图，AB是⊙O的弦，点P在 都是⊙O上的点，OA⊥BC,垂足为E,若 弦AB上，PA=4,PB=2,OP=17,则⊙O ∠OBC=26°，则∠ADC的度数为 的半径为 () A.26° B.329 C.52° D.64 A.5 B.3√2 C.4 D.√17 D B D 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.[2024乌鲁木齐模考]如图，在半径为5的⊙O 4.[2024宿迁模考]如图，已知CD为⊙O的直径， 中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P, CD⊥AB于点F,AE⊥BC于点E.若AE过圆 心O,OA=1,则四边形BEOF的面积为() 且AB=CD=8.则OP的长为 ( A.3 B.4 C.32 D.42 D.3 ③情境应用练 建议用时5分钟 答案P18。 5.作)[2024凉山州门数学活动课上，同学们 AC的中点O为圆心，OB长为半径作⊙O,若 要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小 ⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的外 明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A, 接圆半径为 cm. B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB 于点D,交AB于点C,测出AB=40cm,CD 10cm,则圆形工件的半径为 第6题图 7.骑化学学)[2024娄底模考]如图是一种用于液 体蒸馏或分馏物质的玻璃容器一蒸馏瓶，其 第5题图 底部是圆球形.球的半径为9cm,瓶内液体的 A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm 最大深度CD=6cm,则截面圆中弦AB的长 6.旋文化)[2024丹东模考]门环，在中国绵延了 为 cm. 数千多年，是集实用、装饰和门第等级为一体 的一种古建筑构件，也是中国古建筑“门文化” 中的一部分.现有一个门环图片和其抽象示意 图如图，图中以正六边形ABCDEF的对角线 第7题图 喜基础无无俗 65 第48天 圆周角定理及其推论 秀耳基础练 建议用时10分钟 答案P18. 1.[2024湖南]如图，AB,AC为⊙O的两条弦，连接4.[2024四平模考]如图，∠O, OB,QC,若∠A=45°，则∠B的度数为( ∠C分别是AB所对的圆心角 A.60° B.75 C.90° D.135° 和圆周角，点P为弦BC上的 0 一点（点P不与点B,C重合）， C D 连接AP.若∠O=130°，则 ∠APB的度数可能为( 第4题图 A.40° B.50 C.60° D.70 0 第1题图 第2题图 5.[2024商丘模考]如图，在4×4的网格中，以点 2.[人教九（上）P86图片素材改编]如图，AB是半 O为圆心作圆，点A,B,C都在圆周上，其中 圆O的直径，C,D是半圆O上的两点，若 A,C为格点，则∠ABC的正切值为 ∠ACD=20°，则∠BAD的度数为 ( A.60° B.70° C.65 D.75 A.2 C.1 D.不确定 3.[2024黔东南州模考]如图，AB是⊙O的直径， C,D是⊙O上两点，且满足BC∥OD,若 ∠BDC=40°，则∠BOD的度数为 ( ) A.60 B.50 C.45 D.30 D 第5题图 第6题图 6.[2024深圳模考]如图，AB是⊙O的直径，点C, D在⊙O上，若BC=√3AC,则∠D的度数 第3题图 为 令情境应用练 建议用时5分钟 答案P18量 7.量大张)[2024河南]如图①，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水 平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现： 当经过A,B两点的圆与水平视线DE相切时（如图②），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时 ∠APB为最大视角. (1)请仅就图②的情形证明∠APB>∠ADB: (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像 的水平距离PH为6m.求塑像AB的高（结果精确到0.1m.参考数据：√3≈1.73）. D 图① 图② 第7题图 66 喜基础无无 第49天圆内接四边形的性质 秀耳基础练 建议用时10分钟 答案PI8, 1.[2024吉林]如图，四边形ABCD内接于⊙O.过6.[2024哈尔滨模考]如图，四边形ABCD内接于 点B作BE∥AD交CD于点E.若∠BEC= ⊙O,AC,BD为对角线，BD经过圆心O.若 50°，则∠ABC的度数是 ( ∠BAC=40°，则∠DBC A.50° B.100° C.130 D.150° E B B 第6题图 第1题图 第2题图 7.[2024银川模考]如图，四边形ABCD内接于 2.[2024松原模考]如图，四边形ABCD内接于 ⊙O,DA=DC,∠CBE=50°，则∠DAC的大 ⊙O,连接OA,OC.若∠B=110°，则∠AOC的 小为 度数为 ( ) 0 D A.70° B.100 C.110° D.140 3.[2024牡丹江]如图，四边形ABCD是⊙O的内 接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°， 则∠ADC的度数为 ( A.100°. B.110 C.120° D.130° B 第7题图 第8题图 8.[2024哈尔滨模考]如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，∠ADC=150°，弦AC=2,则 ⊙O的半径等于 9.[2024滨州]如图，四边形ABCD内接于⊙O,若 第3题图 第4题图 四边形OABC是菱形，则∠D= 4.[2024松原模考]如图，四边形ABCD内接于 ⊙O,过点B作BH⊥AD于点H,若∠BCD= 105 135°，AB=4,则BH的长度为 ( D A.√2 B.2√2 C.2 D.42 5.[2024青海]如图，四边形ABCD是⊙O的内接 15 四边形，∠A=50°，则∠C的度数是 第9题图 第10题图 10.[人教九（上）P91第17题改编]在一片海洋上有 0 四艘声呐信号接收船，现有一声呐工作一次， D 四艘船可同时收到信号，四艘船的方位如图 第5题图 所示，则D船的方位在A船的 喜基础无无俗 67· 第50天点、直线与圆的位置关系 秀耳基础练 建议用时10分钟 答案P18。 1.[2024宁波模考]圆的半径为3，圆心到直线的距 A.2<R≤5 B.2≤R≤√5 离为4，则该直线与圆的位置关系是 C.5R≤25 D.0R≤5 A.相切 B.相交 4.[人教九上P102第13题改编]某校的花坛形状 C.相离 D.以上都不对 如图所示，其中⊙O与⊙O2的半径均为3米， 2.[2024上海模考]在△ABC中，AB=AC=8,cos 且⊙O,经过⊙O,的圆心O2.已知实线部分为 B=子，以点C为圆心，半径为6的圆记作⊙C, 此花坛的外边缘，则花坛的周长为 那么下列说法正确的是 A.4π米 B.6π米 C.8π米 D.12π米 A.点A在⊙C外，点B在⊙C上 B.点A在⊙C上，点B在⊙C内 C.点A在⊙C外，点B在⊙C内 D.点A,B都在⊙C外 第4题图 第5题图 3.[2024上海模考]在△ABC中，∠C=90°，AB= 5.[人教九（上）P103第14题改编]如图，在 5,amB=号，如果以点C为圆心，半径为R的 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=2V5,半 ⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径 径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以 R的取值范围是 与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点 的距离的最大值为 情境应用练 建议用时5分钟 答案PI8。 6.[2024南京模考]如图，一辆汽车的轮胎因为漏 在该基站覆盖范围内的是 气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个 A.X,Y,Z B.X,Z 圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线） C.Y.Z D.Y 8.[2024邯郸模考]如图，已知空间站A与星球B 的位置关系是 ( 距离为α，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨 A.相交 B.相切 C.相离 D.包含 道行驶，B,C之间的距离为b.数据S表示信号 飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最 大值是 M A 第6题图 第7题图 7.[2024山海联盟模考]如图，X,Y,Z是某社区的 第8题图 三栋楼，XY=400m,YZ=300m,XZ A.a B.b 500m.若在XZ中点M处建一个5G网络基 C.a+b D.a-b 站，该基站的覆盖半径为260m,则这三栋楼中 68 基础天 第51天三角形的内切圆和外接圆 秀耳基础练 建议用时5分钟 答案P19。 1.[2024邵阳模考]如图，△BDC内接于⊙O,AC 点A,B,C都在网格线的交点上，则cos∠ACB 为⊙O的直径，连接AB,若∠ACB=40°，则 的值是 ( ) ∠D的度数为 ( B.25 C2⑤ D30 A.20° B.25 C.50° D.40 A 10 D 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.[2024扬州模考]如图，O是△ABC的外心，则 4.[2024黄石模考]如图，在△ABC中，∠ACB ∠1+∠2+∠3= ( ) 70°，AC=BC,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC A.60° B.75 C.90 D.105 分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交 3.[2024邯郸模考]如图，在正方形网格中，每个小 DE于点F,则∠AFD的大小是 正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆， A.35 B.40 C.45 D.50° 令情境应用练 建议用时10分钟 答案P19 5.遮文)[2024泸州模考]如图， 直径d,下列表达式错误的是 ( 内切于等边三角形ABC的图 A.d=a+b-c B.d=- 2ab 形是太极图，等边三角形内切 +b+c 圆中的黑色部分和白色部分关B C.d=2(c-a)(c-b)D.d=(a-b)(c-b) 于等边三角形ABC的内心成 7.方案遮[2024金昌模考]木匠师傅用长AB= 第5题图 3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆 中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC 形桌面，有如下两种方案： 的面积的比值是 ( 方案一：如图①，直接锯一个半径最大的圆： A得 B将 c 臀 方案二：如图②，沿对角线AC将矩形锯成两 个三角形，适当平移三角形并锯一个最大 6.学文[2024滨州门刘徽（今山 的圆。 东滨州人)是魏晋时期我国伟 则方案二比方案一的半径大 大的数学家，中国古典数学理 D 论的奠基者之一，被誉为“世界 古代数学泰斗”.刘徽在注释 第6题图 《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型 的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出 图① 图② 了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC 第7题图 中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为ca,b,则 可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆 c 喜基础无天 69 第52天与切线有关的证明和计算 秀耳基础练 建议用时10分钟 答案PI9, 1.[2024合肥模考]如图，AB与⊙O相切于点B,6.[人教九（上）P90第9题改编]如 AO的延长线交⊙O于点C,点D为优弧BC 图，以O为圆心的两个同心圆 上任意一点，若∠A=28°，则∠D= ( ) 中，大圆的弦AB是小圆的切 A.62 B.59 C.56 D.45 线，点P为切点.若大圆半径 为2，小圆半径为1，则AB的 第6题图 长为 7.[2024广元]如图，在△ABC中，AC=BC, ∠ACB=90°，⊙O经过A,C两点，交AB于点 B 第1题图 第2题图 D,CO的延长线交AB于点F,DE∥CF交BC 于点E 2.[2024汕头模考]如图，AB是⊙O的切线，B为 切点，OA与BC交于点D,AB=AD,若∠C (1)求证：DE为⊙O的切线： 20°，则∠OAB= ( (2)若AC=4,tan∠CFD=2,求⊙O的半径. A.20 B.30° C.40° D.50 3.[2024深圳模考]如图，AB为半圆O的直径， CD与半圆O相切于点C,CD=AB,连接AC BD,已知AC=BD=2√2，则图中阴影部分的 面积为 ( 第7题图 A.2-π B.4-π C.6-π D.8-π E 第3题图 第4题图 4.[2024雅安模考]如图，AB是⊙O的直径，经过 圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B.过点 A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E, 且AB=√5，BD=2,则AE 5.[2024苏州模考]如图，在矩 形ABCD中，AB=3, AD=2,扇形OBE的圆心 O在边AB上，点E在边 AD上，BE与边CD相切， 第5题图 切点为F,则BE的长度为 (结果保 留π). 70 令基础天猛 多情境应用练 建议用时5分钟 答案P19 8.学文)[2024深圳模考]如图①是我国明末 11.方法[2024烟台模考]如图①，Rt△ABC 《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割 的内切圆与斜边AB相切于点D,与AC,BC 圆八线图.如图②，根据割圆八线图，在扇形 相切于点E,F,AD=4,BD=5,求△ABC的 AOB中，∠AOB=90°，AC和BE都是⊙O的 面积. 切线，点A和点B是切点，BE交OC于点E, 解：设线段CE的长为x, OC交⊙O于点D.若AC·BE=12,则⊙O的 根据切线长定理，得AE=AD=4,BF= 半径长为 BD=5,CF=CE=x, 在Rt△ABC中，(x+4)2+(x+5)2=(4+5)2, 辛 切馀庚 整理，得x2+9x=20, Sm=u+40x+5)=20, 正 线 弦 请同学们想一想，AD·BD=4×5=20, 丁了 关正 角正、 辛 △ABC的面积等于AD与BD的积，这仅仅 到割 图① 图② 是巧合吗？ 第8题图 深入探索 A.23 已知：如图②，△ABC的内切圆与AB相切于 B.2 C./6 D.3 9.[2024东莞模考]如图是一个圆形餐盘的正面及 点D,与AC,BA相切于点E,F,AD=m, BD=n. 其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形.当 (1)若∠C=90°，求证：△ABC的面积等 餐盘正立且紧靠支架于点A,D时，恰好与BC 于m1: 边相切，则此餐盘的半径等于 cm. 俯祝 (2)若AC·BC=2m,求证：∠C=90°. 拓展延伸 D (3)已知：△ABC的内切圆与AB,AC,BC相 0 平视 B 切于点D,E,F,∠C=60°，AD=4,BD=5,请 D E 4 cm 仰视 写出△ABC的面积， 16 cm 第9题图 第10题图 10.化学学)[2024中山模考]如图，量筒的液面 A一C一B呈凹形，近似看成圆弧，读数时视 线要与液面相切于最低点C(即液面弧中 图① 图② 点)，小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当 第11题图 他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为 37mm;仰视点C(点E,C,B在同一直线)时， 记录量筒上点E的高度为23mm,若点D在 液面圆弧所在圆上，量筒直径为10mm,则平 视点C,点C的高度为 mm. 喜基础无无 71 第53天 与圆有关的计算 令秀耳县础练 建议用时10分钟 答案P20, 1.[2024东营模考]在数学跨学科主题活动课上，3.C学文)“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究 芳芳用半径15cm,圆心角120的扇形纸板，做 发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就 了一个圆锥形的生日帽，如图所示.在不考虑 是利用了莱洛三角形.它的三“边”分别是以等 接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半 边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三 径是 ( 段圆弧.若该等边三角形的边长为10，则这个 A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm “莱洛三角形”的周长是 ( A.10 C.30 D.10元 1209 09 第1题图 第2题图 2.[2024晋城模考]传送带是一种传送系统，可以运 输各种形状的物料.如图，已知某一条传送带转 动轮的半径为20m,如果该转动轮转动了两周 第3题图 第4题图 后又转过120°，那么传送带上的物体A被传送 4.[2024滨州模考]如图，在正方形ABCD中，以 的距离为（物体A始终在传送带上） ( 点A为圆心，AD为半径画弧，再以AD为直 A.40xt cm B.40x cm C.80 cm D.280 3πCm 径作半圆，连接AC,若正方形边长为4，则图中 阴影部分的面积为 子情境应用练 建议用时5分钟 答案P20 5.日常生)一个圆柱形笔筒，它的高是11cm,底 实践操作 面圆的直径是8cm,则这个笔筒的侧面积 步骤1：取一张滤纸： 为 cm(结果保留π). 步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸； 6.国化举蝉)[2024广东]综合与实践 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形： 主题：滤纸与漏斗 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示 素材：如图①所示：①一张直径为10cm的圆 漏斗中 形滤纸；②一只漏斗口直径与母线均为7cm 实践探索： 的圆锥形过滤漏斗， (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管 7 cm 口处)？用你所学的数学知识说明， (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥 -10cm 形的体积（结果保留π） 图I 图② 第6题图 72 令基础天无 第54天 教材素材拓展一圆 导读+++一++一+++++++十十 本节内容选自人教版教材中“圆”章节的数学活动，通过对车轮为什么要做成圆形的探究，加深 学生对圆的切线性质的理解，培养学生的直规想象及推理能力」 令情镜应用练 建议用时10分钟 答案P20, [人教九（上）P119数学活动1改编]项目化学习：车轮的形状， 问题提出：车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理？ 合作探究： (1)探究A组：如图①，圆形车轮半径为4cm,其车轮轴心O到地面的距离始终为 (2)探究B组：如图②，正方形车轮的轴心为O,若正方形的边长为4cm,则车轮轴心O最高点与最低 点的高度差为 ； (3)探究C组：如图③，有一个破损的圆形车轮，半径为4cm,破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 90°，车轮轴心为O,让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点O经过的水平路程， 探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定， 拓展延伸：如图④，分别以正三角形的三个顶点A,B,C为圆心，以正三角形的边长为半径作60°圆 弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”， 0 0 图① 图② 图8③ 图④ 题图 (4)探究D组：使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有“最高点”，“中 心点”也在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的 图案大致是 ◇◇X Y A B D 延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡， 但其车轴中心O并不稳定， 喜基础无 73