模块四 三角形-【加速度中考】2025年中考数学基础天天练

模块四三角形 第34天线段、角，相交线与平行线 1.B2.B3.D4.C5.C6.D7.B8.D 第35天三角形及其性质 1.D2.C3.B4.125.76.B7.C 第36天全等三角形 1.D2.D3.A4.(1,4) 5.证明：：∠EAB=∠EBA,.EA=EB DE-CE...EA+DE-EB+CE,.'.AD-BC. BC=AD. 在△ACB和△BDA中，AC=BD, AB=BA. ..△ACB≌△BDA(SSS). 6.证明：，△ABC为等边三角形， ..∠A=∠ACB=60.AC=BC I∠A=∠ECB, 在△ACD和△CBE中，AC=CB, ∠ACD=∠CBE. ∴.△ACD≌△CBE(ASA),∴.AD=CE. 7.A8.D 第37天相似三角形及其应用 1.C2.A3.C4.C5.C 6.解：，'∠ABC=∠DCE=90°，AC∥DE, ∴.∠ACB=∠DEC,.△ABC∽△DCE, 说鉴是 设BA=3x米，则BC=4x米， 如答图，过点H作HN⊥AB,交GF于点P,交AB 于点N, D F No- H 夕 C E GM 第6题答图 ,'HM⊥BM,AB⊥BM,FG⊥BM, .∴.∠ABC=∠BMH=∠PGM=90° ,.四边形BMHN为矩形，四边形PGMH为矩形 .PH=GM=1.6,.FP=FG-PG=0.8. ,∠ANH=∠FPH=90,∠AHN=∠FHP, △ANHAFPH.∴分品-名 3x-1.6 六4十9.6十1.6=7，解得x=7.2, .AB=3x=21.6(米) 答：汉武大帝雕像AB的高为21,6米 7.B8.259.2010.4.6 11.解：如答图，记AN与EP交于点O,延长AB交直 线EP于点H, 则四边形BDEH是矩形， ∴.BH=DE=1.25,BD=HE=2,BD∥EH, ..AH=AB+BH=AB+DE=2.25. ,BD∥OH, ,.△ABD△AHO, 腸带 14 21 ∴02.25 ∴.H0=4.5, .'.EO-HO-HE=2.5. .PM=PN,MF=2.5,FP=1.25 ∴.PN=MF+FP=3.75. ,AH⊥EP,PNLEP, .AH∥PN, .△AHO∽△NPO, 鼎照 第品 ∴.P0=7.5, ∴.PE=PO十OE=10(米). 答：河宽EP是10米 n E 第11题答图 第38天锐角三角函数的相关计算 1.D2.A3.D4.7 5.解：(1)：AD⊥BC,AB=10,AD=6, ∴.BD=√AB-AD=8. ,tan∠ACB=1,∴.CD=AD=6, ∴.BC=BD+CD=14. (2):AE是BC边上的中线，CE=2BC=7, .DE=CE-CD=7-6=1. :AD⊥BC,∴.AE=AD+DE=√37， ∠DME=哥 6.D 【解析】方法一：如答图①，过点A作AH⊥CB 于点H,作CMLAD于点M部号设BD 8a,CD=5a..'AB=BC..BC=AB=BD+ CD=13a.BAH-5.BH12u. .DH=BH-BD=4a,CH=a.在Rt△ACH中， AC=√AH+CHF=√26a.在Rt△ADH中， AD=√JAH+DH=√4Ia,∴.cos∠ADC= -4DM=cD·os∠Ac=。 AD 414, AM=D-DM-1是-微-器 方法二：如答图②，过点A作AH⊥BC于点H, DMLAE于点M,AB=BC,肥=号，设BD= 8a,则CD=5a,∴.BC=AB=BD+CD=13a. n B.AH-5a.BH -12a,DH 15 BH-BD=4a,CH=a.在Rt△ACH中，AC= /AH+C=V26a,在Rt△ADH中，AD ADF-AT.Save-AH CD- 之AC·DM,÷DM= 25/26 26 a.AM= AD-DM=2I②：∠DAN=Aw 26 AD 怨AE=黑-至，E=E-AC= 20/25·CE_20 21a…AC2i M D 图① 图② 图③ 第7题答图 方法三：如答图③，以BC所在直线为x轴，过点A 且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系 zO,设AB=13,则BD=是AB=8anB=高 ∴.OB=12.0A=5,.OD=4,0C=1..A(0,5). C(1,0),D(-4,0),.AE的表达式为y=-5x+5, AD的表达式为y=子+5.：ADLDE,DE的 表达式为y=一青：一总联立AE布DE的表达 式解得货婴)怎=-器 8.解：(1)如答图，作BH⊥AC于点H. 在R△BHC中.smC-畏2即C=2BH. 在R△BHA中，sinA= 器号即AB=EBH, -瓦. .thi A=AB B (2)60°或120 (3)在△ABC中， thi A-AB' BC 第8题答图 在R△BHA中，血A一器， 在Rt△BHC中，sinC- 驶-名即C=2BH .'thi A=2sin A. 第39天解直角三角形的实际应用 1.B2.D3.A4.C5.D6.3.757.128 8.6-25 9.解：如答图，过点B作BH⊥AC,垂足为H, 则a∠BMH=票 .AC=42.0.CD=42.0.ACLCD. .∠CAD=∠ADC=45° AD∥BC, D C .∠ACB=∠CAD=45°， .tan∠ACB=1. 设BH=CH=x,AH=42.0-x. 则tan76=42.0- ≈4.01， B 第9题答图 解得x=33.6, .BH=33.6,AH=8.4, ∴.AB=VAH+BH≈35(cm). 答：车链横档AB的长约35cm. 10.解：(1)，四边形PQMN是矩形， ∴.∠Q=∠P=90 在R△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4, A0AB·m∠ABQ=270,∠Q1B=30 ,四边形ABCD是矩形， '.AD=BC,∠BAD=∠CD=∠ABC=∠BE=90, ∴.∠CBE=30°，∴.BC= CE 8V3 tan∠CBE5 ∴AD=83 5 ,∠PAD=180°-30°-90°=60 六AP=AD·cs∠PAD=43 5 ∴.PQ=AP+AQ≈6.1(m). CE (2)在R△BE中，BE=sin/CBE-3.2 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2.7. ,该充电站有20个停车位， .'.QM=QB+20BE=66.7. ,'四边形PQMN是矩形，∴.PN=QM=66.7(m). 第40天教材素材拓展 一三角形 1.(1)5(2)m 一1 309 2.解：设水深x尺，则荷花与茎的总长度为(x十 0.5)尺 根据勾股定理可得(x十0.5)=x2+2, 解得x=3.75(尺). 答：湖水的深度为3.75尺. 3.解：·太阳光是平行光线，∴∠DBE=∠ACB. ,∠DEB=∠ABC=90°，.△DBE△ACB, 器-罗 1 2.1 ..DE=135. 答：金字塔的高度DE为135米 模快检测卷（四） 1.C2.D3.D4.B5.C6.B7.C8.A 9.D【解析】如答图，将BA绕 B 点B顺时针旋转90，得到 BE,连接AE,DE,则BE AB,∠ABE=90,∴.AE= D 2AB=6.,∠DBC=90°= ∠EBA,∴∠DBE= 第9题答图 ∠CBA.又BD=BC,BA=BE,∴.△DBE≌ ACBA(SAS)..'.DE=CA=2.AD<AE+DE, 当A,D,E三点共线时，AD有最大值，AD的最 大值为DE十AE=8. 10.-1+5山.112.号 13.证明：，∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠DEC, ∠B=∠AED, '.∠BAE=∠DEC ,∠EAD=∠EDA,.AE=ED. ∠B=∠C, 在△ABE与△ECD中，∠BAE=∠IDEC, AE-ED. ∴.△ABE≌△ECD(AMS). ..BE=CD,AB=EC, .∴.BC=EC+BE=AB+CD. 14.(1)证明：：AF平分∠BAC,∴.∠EAG=∠BAF :'∠AED=∠ABC,∴.△AGE∽△AFB. (解：祭是得是 △MEn△MFBe-原-号 :优=2BF=号 15.解：在Rt△FCG中，CG= FG tan 183. 在R△FDG中，DG=, FG tan 30. .CD=AB=2,CG=CD+DG, “=-2+解得0140 ,EG=AC=1.6,EF≈3.1(m). 答：篮球框距地面的高度FE的长约3.1m. 6模块四 三角形 第34天线段、角、相交线与平行线 ③秀耳基础练 建议用时5分钟 答案14。 L.[2024江门模考]若一个角的补角是它的余角的 的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组 3倍，则这个角的度数为 ( 成.在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平 A.30° B.45° C.60 D.90 行，若a=92°，则B的度数为 ) 2.[2024湖北]如图，一条公路的两侧铺设了AB, A.92 B.90° C.88 D.86 CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若 ∠1=120°，则∠2的度数是 ( 5.[2024长沙模考]直线a∥b与Rt△BCD按如图 A ΠB 方式放置，∠DCB=90°.若∠1=110°，则∠2 的度数为 ( ID A.10° B.15 第2题图 C.20 D.30 A.50° B.60° C.70° D.80 3.[2024渭南模考]如图，点E,F分别在线段AB, CD上，CE⊥AD于点G,BF⊥AD于点H,若 ∠B=∠C,则图中与∠A互余的角有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第5题图 第6题图 G 6.[人教七（下）P24第9题改编]如图，直线m,n与 △ABC的边相交，且m∥AB,n∥BC,那么 D 0 ∠B= ( 第3题图 第4题图 A.B-a B.180°-a-3 4.[2024贵港模考]如图所示是一杆秤，杆秤是利 用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，由木制 C.90°+a-B D.a+3-180 情度应用练 建议用时5分钟 答案P14 7.C物理学)[2024深 知AB∥CD,∠BAE=90°，∠DCE=119°，则 圳]如图，一束平行 ∠E的度数是 光线照射平面镜后 4 反射，若入射光线 第7题图 与平面镜夹角∠1=50°，则反射光线与平面镜 夹角∠4的度数为 ( ) A.40° B.50° C.60 D.709 第8题图 8.传德文)[2024武汉模考]某同学在研究传统文 A.61° B.45 C.309 D.29 化“抖空竹”时，把它抽象成数学问题，如图，已 ·46 臺基础天无链 第35天 三角形及其性质 秀耳基础练 建议用时10分钟 答案PI4。 1.[2024常州模考]如图所示，为估计池塘两岸A, BC=10,则AB的长为 B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P,测 A.5 B.6 C.8 D.9 得PA=8m,PB=6m,那么A,B之间的距离 不可能是 A.8 m B.10mC.12m D.14m 第3题图 第4题图 4.[2024常州模考]如图，在Rt△ABC中，D是斜 边BC的中点，连接AD.若AB=5,AD=6.5, 第1题图 第2题图 则AC= 2.[2024西安模考]如图，在△ABC中，AD平分 5.[人教七（下）P38第13题改编]如 ∠BAC,BD=AD=6,DF⊥AC于点F,DF= 图，在△ABC中，AB=AC= 4,则AB的长为 ( 7cm,D是BC上的一点，且 A.8 B.10 C.45 D.213 DE∥AC交AB于点E,DF川 第5题图 3.[2024江门模考]如图，DE为△ABC的中位线， AB交AC于点F.则DE十 ∠ABC的平分线交DE于点F,若EF=2, DF- cm. ③情境应用练 建议用时5分钟 答案P14。 6.学文)《周礼考工记》中记载有：“…半矩7.做学文)[2024厦门模考]出入相补原理是我国 谓之宣(uan),一宣有半谓之橱(zhú)…”意 古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期 思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的 数学家刘徽创建的.主要内容为“将一个几何 图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面 角叫做橱…”，即：1宜=号矩，1搁-12宜 积保持不变，等于所分制成的小图形的面积之 (其中，1矩=90°).问题：图①为中国古代一种 和”.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC= 强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意 是，BC=12,D为BC边上一动点过点D作 图.若∠A=1矩，∠B=1橱，则∠C的度数为 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则根据 出入相补原理，我们可发现，DE+DF一定为 定值，则DE十DF的值为 () 图① 图② D 第6题图 第7题图 A.15 B.22.5°C.30° D.45 A号 c D. 5 喜基础无天 47 第36天 全等三角形 秀耳基础练 建议用时10分钟 答案P14。 1.[2024鞍山模考]三个全等三角形按如图的形式4.[2024临夏州]如图，在△ABC中，点A的坐标 摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是 ( ) 为(0,1)，点B的坐标为(4,1)，点C的坐标为(3， A.90 B.120 C.135 D.180 4),点D在第一象限（不与点C重合），且 △ABD与△ABC全等，则点D的坐标是 5.[2024陕师大附中二模]如图，AC=BD,CE DE,AD与BC相交于点E,∠EAB=∠EBA 求证：△ACB≌△BDA. 第1题图 第2题图 2.[2024廊坊模考]如图，直线1上有三个正方形 a,b,c,若a,c的面积分别为6和8，则b的面积 第5题图 为 ( A.6 B.8 C.10 D.14 6.[北师八（下）P?第3题改编]如图，点D,E分别 3.[2024深圳模考]如图，M是线段AB的中点， 是等边三角形ABC的两边AB,AC上的点，且 AC⊥I于点C,BD⊥I于点D,连接DM.若 ∠ACD=∠CBE.求证：AD=CE. AC=2,BD=5,CD=6,则DM的长为 ( A.3⑤ 2 B.√5 C.3 2 第6题图 第3题图 第4题图 ◇情境应用练 建议用时5分钟 答案P14。 7.作换究)工人师傅常常利用 8.丽定)[2024遂宁]如图①，△ABC与 角尺构造全等三角形的方 △ABC满足∠A=∠A,AC=AC1, 法来平分一个角.如图，在0 BC=BC,∠C≠∠C,我们称这样的两个三 角形为“伪全等三角形”.如图②，在△ABC ∠AOB的两边OA,OB上 中，AB=AC,点D,E在线段BC上，且 分别取OM=ON,移动角 BE=CD,则图中共有“伪全等三角形”( 尺，使角尺两边相同的刻度 第7题图 分别与点M,N重合，这时过角尺顶点P的射线 B.B D OP就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形 图①D 图2 的依据是 ( 第8题图 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 ·48 喜基础天无雀 第37天 相似三角形及其应用 秀耳基础练 建议用时10分钟 答案P14。 1.[人教九（下）P58第9题改编]如图，AD⊥BC,垂 F在AE上，AF=号EF,连接DF并延长，与 足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD与BE相交于 点F,连接ED.则图中与△ADC相似的三角 BA的延长线交于点G.若AB=6,则线段BG 形有 ( 的长为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A号 B.7 c号 D.8 6.[2024西安爱知中学二模]汉城湖的汉武大帝雕 像是国内最大皇帝雕像.五一期间，小泽和小 哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识 测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决 第1题图 第2题图 定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在 2.[2024重庆模考]如图，在平面直角坐标系中， 汉武大帝雕像影子的末端C点处竖立一根 △ABCc∽△ODC,其中点A的坐标为(-2， 2.4米的标杆CD,此时，小哲测标杆CD的影 0),点C的坐标为(1,0)，则△ABC与△ODC 长CE=3.2米；然后，小泽从C点沿BC方向 的面积比是 ( A.9:1B.3:1 走了9.6米（即CG=9.6米），到达点G,在G C.4:1 D.2:1 处树立一根2.4米的标杆FG,接着沿BG方向 3.[2024南宁模考]如图，△ABC 走到点M处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端A 和△DEF是以点O为位似中 与点F在一条直线上（即点A,F,H在一条直 心的位似图形，器 2 5 线上)，此时，小哲测得GM=1.6米，小泽的眼 △ABC的周长为8，则△DEF 睛到地面的距离HM=1.6米.请你根据题中 第3题图 的周长为 ( 提供的相关信息，求出汉武大帝雕像AB A.12 B.18 C.20 D.30 的高 4.[2024天津模考]如图，在口ABCD中，E是边 AB上一点莲接ACDE相交于点R若器 H 号则等于 第6题图 A B号 c号 n G 第4题图 第5题图 5.[2024聊城模考]如图，点D是△ABC的边BC 的中点，过点D作DE∥AB交AC于点E,点 令基础无无 49 多情境应用练 建议用时15分钟 答案P14。 7.日常生)[2024邯部模考]一种燕尾夹如图①所 高度.如图②，从“矩”AFE的一端A望向树 示，图②是在闭合状态时的示意简图，图③是 顶端的点C,使视线通过“矩”的另一端E,测 在打开状态时的示意简图（此时AB∥CD),相 得AB=1.5m,BD=6.2m.若“矩”的边 关数据如图（单位：cm).从图②闭合状态到图③ EF=a=30cm,边AF=b=60cm,则树高 打开状态，点B,D之间的距离减少了 ( CD为 m. A2E3B 2 (C)2 F 3 D C2 F 3 图① 图② 图③ 图① 图② 第7题图 第10题图 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 11.[2024西安铁一中滨污五模]如图，为了估算河 8.题学利)[2024邓州模考]在生活中我们常用 面的宽度，即EP的长，在离河岸D点2米远 杠杆原理撬动较重的物体，如图，有一圆形石 的B处，立一根长为1米的标杆AB,在河对 块，要使其滚动，杠杆的端点C必须向上翘起 岸的岸边有一块高为2.5米的安全警示牌 5cm,若杠杆AC的长度为120cm,其中BC MF,警示牌的顶端M在河里的倒影为点N, 段的长度为20cm,则要使该石块滚动，杠杆的 即PM=PN,两岸均高出水平面1.25米，即 另一端点A必须向下压 cm. DE=FP=1.25米，经测量，此时A,D,N三 点在同一直线上，并且点M,F,P,N共线，点 B,D,F共线，若AB,DE,MF均垂直于河面 EP,求河宽EP是多少米？ -30 cm---?cm- 第8題图 第9题图 9.還学)[2024扬州门物理课上学过小孔成像 的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现 第11题图 图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放 置)AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像 A'B′，设AB=36cm,A'B'=24cm,小孔O到 AB的距离为30cm,则小孔O到A'B'的距离 为 cm 10.数学文)[2024吉林模考]如图①，“矩”在古代 指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为 a,b.中国古老的天文和数学著作《周髀算经》 中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以 望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的 50 喜基础无无链 第38天锐角三角函数的相关计算 秀耳基础练 建议用时10分钟 答案PI5, 1.[2024陕师大附中八模]如图，点A,B,C是边长4.[2024江西]将图①所示的七巧板，拼成图②所示 相同的正方形网格中的三个格点（即正方形的 的四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB= 顶点)，则cos∠ABC的值为 A司 B.V2 图① 图② 第4题图 5.[2024浙江]如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE 第1題图 第2题图 第3题图 是BC边上的中线，AB=10,AD=6, 2.[苏科九（下）P45第5题改编]如图，在Rt△ABC tan∠ACB=l. 中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D,下列用 (1)求BC的长； 线段比表示tanB的值，错误的是 (2)求sin∠DAE的值. A把 B部 c n品 3.[2024兴安盟模考]如图，在△ABC中，AB AC,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点，连 ED 接DE,若AD=4,tam∠DAC=,则DE的长 第5题图 为 ( A.3 B.2 C.3 D.5 情境应用练 建议用时15分钟 答案P15。 6.断定)[2024哈尔滨模考]定义：等腰三角形中 部号，过D作DE LAD交AC廷长线于点 底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图，在 △ABC中，AB=AC,顶角A的正对记作sad E则是 A,这时dA-器根据上述角的正对定义， 8.箭定)[2024江门模考]定义：在△ABC中， ∠C=30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的 则sad60的值为 比叫做∠A的邻弦，记作thiA,即thiA= A R号 D.1 会第整-器解答下列问图。 已知：在△ABC中，∠C=30° (1)若∠A=45°，求thiA的值： (2)若hiA=√3，则∠A= (3)若∠A是锐角，探究thiA与sinA的数量 第6题图 第7题图 关系 7.题第蹄开)[2024深圳]如图，在△ABC中， AB=BC,amB=是，D为BC上一点，且满足 令基础无无 51· 第39天解直角三角形的实际应用 令情境应用练 建议用时15分钟 答案P16。 1.[苏科九（下）P61第8题改编]如图，某商场自动 的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩 扶梯的截面图中，AB的长为15米，AB与AC 擦力F与重力G方向的夹角3的度数为( 的夹角a为30°，则AC的长是 ( A.155 B.125 C.115 D.65 A米 R155米 C.30米 D.303米 30 15米 60 Pi G 第4题图 第5题图 第1题图 第2题图 5,传文[2024广州模考]喜迎二十大，“龙舟故 2.[2024宜兴模考]如图，一条细绳系着一个小球 里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处 在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O到球心的 观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为 长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置 东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30 时，细绳相应所成的∠AOB为40°，那么小球 方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上， 在最高位置和最低位置时的高度差为( AB=400米，则点P到赛道AB的距离为（结果 A.(50-50sin40°)厘米 保留整数，参考数据：√3≈1.732) () B.(50-50cos40°)厘米 A.503米B.1003米C.87米D.173米 C.(50-50sin20°)厘米 D.(50-50cos20°)厘米 6.缅速)[2024南京模考]物理学告诉我们， 3.[2024张掖模考]如图，将一个Rt△ABC形状的 当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入 楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木 射角的正弦值和折射角的正弦值的比值叫做 桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾 这种介质的折射率.如图，入射光线AO在点O 斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm(如箭 处斜射入某一高度为3cm,折射率为专的长方 头所示)，则木桩上升了 体介质（其中α为入射角，3为折射角，MN过 点O且垂直于介质的上表面)，若a=53°，则折 射光线在该介质中传播的距离（即OB的长 度)约 cm(参考数据：sin53°≈0.80， c0s53°≈0.60，tan53°≈1.33). 第3题图 A.6tan18°cm 6 tan 18s cm B. C.6sin18°cm D.6cos18°cm 3 cm 4.墙理学)[2024山西]一只杯子静止在斜面 N 上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直 B 向下，支持力F的方向与斜面垂直，摩擦力F 第6题图 ·52 喜基础无无链 7.C物避学)[2024福建]无动力帆船是借助风力 整数.参考数据：sin76≈0.97，cos76°≈ 前行的.如图是帆船借助风力航行的平面示意 0.24,tan76≈4.01). 图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角 ∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ 为30°，风对帆的作用力F为400N.根据物理 知识，F可以分解为两个力F,与F,其中与帆 平行的力F不起作用，与帆垂直的力F又可 图 图② 以分解为两个力与f2,f与航行方向垂直， 第9题图 被舵的阻力抵消；2与航行方向一致，是真正 推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的 长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F AD=400,则f2=CD= (单位：N) (参考数据：sin40≈0.64，cos40°≈0.77). 1/航行方向 帆 10.前雅科)[2024广东]中国新能源汽车为全球 Q D 风向 应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡 献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增 设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平 面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位.经 第7题图 测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m,CE=1.6m, 8.C传支[2024湖南]如图，图①为《天工开物》 GH⊥CD,GH是另一个车位的宽，所有车位 记载的用于春(chong)捣谷物的工具一“雅 的长宽相同，按图示并列划定 (du)”的示意图，图②为其平面示意图.已知 根据以上信息回答下列问题（结果精确到 AB⊥CD于点B,AB与水平线I相交于点O, 0.1m.参考数据：√3≈1.73)： OE⊥人.若BC=4分米，OB=12分米， (1)求PQ的长： ∠BOE=60°，则点C到水平线L的距离CF为 (2)该充电站有20个停车位，求PN的长 分米（结果用含根号的式子表示）. D E B E 0 第10题图 图① 图② 第8题图 9.[2024西交大附中一模]乐乐同学骑自行车去爸 爸的工厂参观，如图①所示是这辆自行车的实 物图.如图②，车架档AC与CD的长分别为 42.0cm,42.0cm,且它们互相垂直，∠CAB 76°，AD∥BC,求车链横档AB的长（结果保留 喜基础无 53 第40天教材素材拓展 一三角形 导读小 本节内客选自浙教版、华师版与湘教版教材中“三角形”相关章节知识，点的活动课及阅读材料， 通过“国际数学教育大会会徽”“葭生池中”及“金字塔”等具有趣味的情境让学生发现数学美，同时 也培养了学生的几何直观核心素养. 子情度应用练 建议用时15分钟 答案P16, 1.[浙教九（下）P27课题学习改编]国际数学家大会 它的解法可以由下图得到. (ICM)和国际数学教育大会(ICME)堪称国际 数学界和数学教育界的“奥林匹克”.每届会徽 的设计往往既蕴涵了深刻的数学意义，也体现 了数学与艺术的结合.图①是第七届国际数学 第2题图 教育大会(ICME)的会微，这个会徽的主体图 现有另一类似的问题：在平静的湖面上，有一朵荷 案由一连串直角三角形（图②）演化而成的，其 花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花吹向 中OA1=AA2=AA3=…=AA.如果设 水面.此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离原 OA,=1,那么利用勾股定理就很容易得到 来的位置2尺远，求湖水的深度。 0A=1=1,QA=2.0A=3,…,0A=元 3.[湘教九（上）PI38综合与实践改编]据史料记载，古 希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形 图① 图② 的原理测出了金字塔的高度.方法如下：在金字塔 第1题图 顶部的影子处立一根杆子（图①），借助太阳光线 结合上面的规律，回答下列问题： 构成两个相似的三角形，塔高与杆高之比等于两 (1)线段OA的长为 者影长之比，从而推算出金字塔的高度.已知：如 (2)计算：tan∠A1OAn= 图②，杆AB高为1米，影长BC为2.1米，金字塔 ∠AOA= 的影长EB为283.5米，求金字塔的高度DE 2[华师九（上）P118阅读材料改编]我国数学发展史上 有一著名的葭生池中”问题，原文如下： 今有方池一丈， 图① E 葭生其中央， 第3题图 出水一尺， 引葭赴岸， 适与岸齐. 问：水深、茂长各几何 54 喜基础无无： 模块检测卷（四） 建议用时35分钟 实际用时： 分钟 一、选择题 6.如图，在△ABC中，D,E为边AB的三等分 1.如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处 点，EF∥DG∥AC,H为AF与DG的交点.若 后右转30°，再直行至C处.此时他想仍按正东方 AC=6,则DH () 向行走，则他应 ( ) A.2 B.1 C.0.5 D.1.5 A先右转30°，再直行 B ↑北 B先右转150°，再直行 C D C.先左转30°，再直行 第1题图 D.先左转150°，再直行 B D 2.[北师七（下）P89第3题改编]如图，在△ABC中， 第6题图 第7题图 CD是∠ACB的平分线，点E在AC上，DE∥ 7.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与 BC,若∠A=62°，∠EDC=22°，则∠B=( 内角∠ABC的平分线BP交于点P,若 A.31° B.37° C.62 D.749 ∠BPC=40°，则∠CAP () A.40°B.45° C.50 D.60 8.日常生透图①是一个地铁站入口的双翼闸机. 如图②，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为12cm,双翼的边缘AC= 第2题图 第3题图 BD=64cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA= 3.如图，BE是等边三角形ABD的中线，作BC⊥ ∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的 AB,交AD的延长线于点C.若CE=6,则AB 物体的最大宽度为 的长为 ( A.8 B.6 C.5 D.4 307 30 4.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1， 箱 D 闸机箱 则阴影部分的面积为 ( D 图① A号 B号 图② C.3 第8题图 B A.76 cm B.(64W2+12)cm C.(643+12)cm D.64 cm 9.如图，在△ABC中，AB= 32,AC=2,以BC为边 第4题图 第5题图 作Rt△BCD,BC=BD, D 5.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，DF垂直平 点D与点A在BC的两 第9题图 分AC,E为CF中点，连接DE,若DE=2,则 侧，则AD的最大值为 BF的长为 ( A.2+32 B.6+2√2 A.3 B.23 C.4 D.3√2 C.5 D.8 ·55·