专题01 指数及指数函数的八大常考题型（高效培优专项训练）高一数学北师大版2019必修第一册

专题01 指数及指数函数的八大常考题型 题型一：利用根式的性质化简或求值 1 题型二：指数幂的运算 2 题型三：指数函数的定义域、值域及详解式 3 题型四：指数函数的图象及应用 5 题型五：指数函数的最值及应用 6 题型六：指数函数的奇偶性及应用 7 题型七：指数函数的单调性及应用 9 题型八：指数函数性质的综合应用 11 题型一：利用根式的性质化简或求值 1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．求下列各式的值； (1)； (2)． 题型二：指数幂的运算 6．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（   ） A．14 B．21 C．42 D．48 7．（25-26高一上·全国·开学考试）已知：，，则值是（ ） A．12 B．6 C．7 D．5 8．已知，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 9．下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11. . 12．化简求值： (1)； (2)； (3). 13．（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 题型三：指数函数的定义域、值域及详解式 14．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·月考）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 15．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 16．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 17．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18.（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 19.（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 20．将函数的值域为 . 21.（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 22．已知函数的值域为，则的取值范围是 23.已知函数的值域为，且，则 . 24．已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)判断并证明的奇偶性. 25．已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的详解式； (2)当时，求函数的值域. 题型四：指数函数的图象及应用 25．（23-24高一下·广东茂名·月考）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 26．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 27．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·湖北宜昌·期中）函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 29．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则 ；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点 ． 31．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为 . 题型五：指数函数的最值及应用 32.已知正数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 33．已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 34．已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 35．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 36．对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”．已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 37．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 39．已知函数在区间上的最大值是7，则 . 40．已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的详解式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 41．已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 题型六：指数函数的奇偶性及应用 42.（23-24高一下·云南·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 43．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（     ） A．2 B．1 C． D． 44．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 45．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数是偶函数，则实数m的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 46．（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为非奇非偶函数 ，所以为非奇非偶函数，故D正确.故选：BD 47．已知是定义在上的奇函数. (1)求的详解式； (2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围. 题型七：指数函数的单调性及应用 48．（24-25高一上·北京·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 50．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 51．（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高一上·重庆·月考）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．(多选)已知函数，，下列成立的是（    ） A．若是偶函数，则 B．的值域为 C．在上单调递减 D．当时，方程都有两个实数根 56．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 57.（24-25高一上·全国·课后作业）在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 58．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 59．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若对任意的，均有，则的取值范围是 . 60．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)求的详解式； (2)设函数，在平面直角坐标系中画出的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间． 题型八：指数函数性质的综合应用 61．（24-25高一上·广东·期中）若函数满足且，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 62.(多选)（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．若关于的方程有且仅有一实根，则 63.（多选）（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，则以下结论不正确的是（   ） A． B． C．若，且，则 D．若，且，则 64.（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的详解式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 65.已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数． (1)试确定函数的详解式； (2)求实数，的值； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 66．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 指数及指数函数的八大常考题型 题型一：利用根式的性质化简或求值 1 题型二：指数幂的运算 3 题型三：指数函数的定义域、值域及详解式 5 题型四：指数函数的图象及应用 9 题型五：指数函数的最值及应用 12 题型六：指数函数的奇偶性及应用 17 题型七：指数函数的单调性及应用 20 题型八：指数函数性质的综合应用 25 题型一：利用根式的性质化简或求值 1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，即 ， ， . 故选：A . 2．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】． 故选：A． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可. 【详解】因为， 则． 故选：B. 5．求下列各式的值； (1)； (2)． 【详解】（1）= ． （2）原式= 因为，所以， 当，即时， 当，即时，, 所以. 题型二：指数幂的运算 6．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（   ） A．14 B．21 C．42 D．48 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】， 故选:C. 7．（25-26高一上·全国·开学考试）已知：，，则值是（ ） A．12 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质将表示成，，代入计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：A． 8．已知，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【详解】 . 故选:D. 9．(多选)下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：BC 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，原式，A正确； 对于B，原式 ，B正确； 对于C，原式，C错误； 对于D，原式，D正确． 故选：ABD． 11. . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】, 故答案为： 12．化简求值： (1)； (2)； (3). 【详解】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式. 13．（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 题型三：指数函数的定义域、值域及详解式 14．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·月考）如果函数和都是指数函数，则（    ） A． B．1 C．9 D．8 【答案】D 【详解】根据题意可得，，则.故选：D 15．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 16．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 17．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 18.（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是.故选：C 19.（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则 在上单调递减，∴，又， ∴的值域为.故选：A. 20．将函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 21.（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 22．已知函数的值域为，则的取值范围是 【答案】 【详解】当时，， 当时，，函数的值域，不成立， 当时，，，单调递减，， 函数的值域，不成立， 当时，，，单调递增，， 函数的值域是，所以，解得， 所以. 23.已知函数的值域为，且，则 . 【答案】3 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则. 24．已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)判断并证明的奇偶性. 【详解】（1）函数的定义域为R.， ，，， 函数的值域为； （2）定义域为R，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 25．已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的详解式； (2)当时，求函数的值域. 【详解】（1），则，结合题意得， 是偶函数，， 时，. （2）由（1）知 当， 当，的值域为. 题型四：指数函数的图象及应用 25．（23-24高一下·广东茂名·月考）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【详解】因为，即，所以函数与的图象关于原点对称.故选：C． 26．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限.故选：B 27．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图象可知，函数为减函数， 从而有； 法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标， 令，得， 由，即，解得 . 法二：函数图象可看作是由向左平移得到的， 则，即.故选：D. 28．（24-25高一上·湖北宜昌·期中）函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，函数单调递增，当时，，故选：A 29．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案． 【详解】 则的图象如图所示：    ∵， ∴若，则，这与已知矛盾． 同理，也不成立，∴只有或这两种情况． ∴，故B一定不成立，A成立； 又，即， ∴，故D一定成立，C一定不成立． 故选：BC． 30．（25-26高一上·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则 ；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义及题目条件求得函数 的详解式，再利用“上加下减，左加右减”的图象平移原则进行计算，得到函数的详解式，即可得出结果. 【详解】由指数函数的图象经过点， 得，解得，所以． 将函数的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象， 再向上平移4个单位长度，得到的图象． 令，得，此时，所以的图象过定点. 31．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】依题意，，所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 题型五：指数函数的最值及应用 32.已知正数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】正数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4. 故选：B 33．已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，仅当时取等号，若，则， 若，则； 当时，，若，则， 若，则，当且仅当时取等号 若，则，其最小值为， 当时，，，解得，因此； 当时，，，符合题意，因此； 当时，，函数无最小值； 当时，，，解得，因此； 当时，，，解得，矛盾， 所以的取值范围为. 故选：D 34．已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 【答案】D 【详解】①当时，函数在上是减函数，在上也是减函数. ∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为， ∴，解得，符合题意. ②当时，函数在上是增函数，在上是减函数. ∵， ∴函数的最大值为，而，， 当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解； 当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意. 综上所述，实数的值为或. 故选：D 35．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，，且为偶函数，为奇函数 所以 所以，即 因为， 所以，. 因为当时， 所以当时，不等式恒成立等价于当时，恒成立，即当时，恒成立， 令，由于函数在单调递增， 所以根据复合函数单调性得在单调递增， 所以， 所以当时，恒成立时，. 所以的最小值为. 故选：A 36．对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”．已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由已知得，∴， ∵，当时，由得，∴ ，∴，；当时，显然符合题意；当时，，，∴，∴，．综上所述：．故选：A． 37．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上的“倒戈函数， 存在满足， ， ， 构造函数，， 令，， 在单调递增， 在单调递减，所以取得最大值0， 或取得最小值，， ，， 故选：A． 38．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【详解】设，，则是增函数，且， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误； ，故C正确； ，，因此的最小值是，故D正确． 故选:ACD． 39．已知函数在区间上的最大值是7，则 . 【答案】或 【分析】设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可. 【详解】设，又， 若，则， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 若时，， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 40．已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的详解式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，， 由于，结合指数函数的性质可知，是R上的单调递增函数； （2），令，因为，则， 令，， 关于对称， 当时，函数在上单调递增，此时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，， 当时，函数在上单调递减，此时，， 综上：. 41．已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【详解】（1）当时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为8. （2） ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在上单调递增， 则当时，，解得，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得或（舍去）， 综上，实数的值为6. 题型六：指数函数的奇偶性及应用 42.（23-24高一下·云南·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由题意得，即，从而，故选：A． 43．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为奇函数，所以， 即， 得到，所以， 当时，的定义域为关于数0对称，符合意义， 所以.故选：B. 44．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由得：，解得，. 当时，，定义域为，关于原点对称， 故符合题意，故选：B. 45．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数是偶函数，则实数m的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 由函数是偶函数，得，即， 而，则，解得， 所以实数m的值是.故选：D 46．（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为非奇非偶函数 【答案】BD 【详解】函数，， 令，，， 所以为非奇非偶函数，故A错误； ，令，， 所以为偶函数，故B正确； ，令，， ，所以为非奇非偶函数，故C错误； ，令，， ，所以为非奇非偶函数，故D正确.故选：BD 47．已知是定义在上的奇函数. (1)求的详解式； (2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以有，即， 又，化简得：，， 而此时， ， （2）令， ∵且单调递减，∴在上单调递减， 又∵在上单调递减， 在上单调递减且的最大值是， 又令，对于任意，存在， 使得，等价于成立，即成立， ，则在上单调递减， ，故，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 题型七：指数函数的单调性及应用 48．（24-25高一上·北京·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以.故选：A. 49．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上单调递增，所以，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以，故选：D. 50．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由得：； 由得：，解得：或； ，， 是的充分不必要条件.故选：A. 51．（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，设,则为增函数， 求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间， 函数的对称轴为，则函数在上是增函数， 则的单调递增区间是，故选：D. 52．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 因为开口向下，对称轴为， 可知在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为.故选：B. 53．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D. 54．（23-24高一上·重庆·月考）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知函数由复合而成， 在R上是单调递减函数，故由在区间上是减函数， 可知在区间上是增函数，故， 即实数的取值范围是，故选：B 55．(多选)已知函数，，下列成立的是（    ） A．若是偶函数，则 B．的值域为 C．在上单调递减 D．当时，方程都有两个实数根 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由于是偶函数，则即可得，故A正确. 对于B选项，注意到，又在R上单调递增， 则值域为，故B错误. 对于C选项，由B选项可知，在上单调递减，又在R上单调递增，由复合函数单调性“同增异减”可知，在上单调递减，故C正确. 对于D选项，由选项B，C可知，在上单调递增，在上单调递减，据此可画出大致图像如下，由图可知图像最高点所对应的纵坐标为.则当时，与图像交点个数为2，即方程都有两个实数根，故D正确. 故选：ACD 56．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合指数函数性质证明函数在上单调递增，当时，，不等式在上恒成立可转化为在上恒成立，令，结合基本不等式求的最小值，由此可得结论. 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 由已知在上恒成立， 得，即在上恒成立， 令，则， 所以在上恒成立， 所以，其中， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以a的取值范围是. 57.（24-25高一上·全国·课后作业）在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数性质，利用在上是奇函数，可得，计算可求得，利用单调性结合已知可求得a的取值范围. 【详解】由是上的奇函数，得，解得， 因为，所以，又在上是增函数， 所以是增函数，所以, 综上可得的取值范围是. 故答案为： 58．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】，可判断为奇函数，且单调递减，等价于，故得到，解不等式即可. 【详解】令， ， 又定义域为，为奇函数， 所以不等式等价于， 又为奇函数，且均单调递减，所以单调递减， ． 59．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若对任意的，均有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断出为减函数，利用函数的单调性，再列不等式组即可得出结果． 【详解】因为对任意的，均有，即，所以在上单调递减． 由单调递减得， 因为指数函数单调递增且恒大于零，则由单调递减可得，故， 解得，故的取值范围是． 60．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)求的详解式； (2)设函数，在平面直角坐标系中画出的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间． 【分析】（1）根据函数图象的性质及所过的点求参数值，即可得详解式； （2）由（1）确定的详解式，画出其函数图象，并确定递增区间. 【详解】（1）当x无限减小时，无限接近0，但不会等于0， 由题设，因为的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以． 由，得，解得，故； （2）由（1）知，图象如下：    由图知，该函数的单调递增区间为. 题型八：指数函数性质的综合应用 61．（24-25高一上·广东·期中）若函数满足且，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得 即故函数为单调递增函数， 又，故时，解得， 因此， 的解集是，故选：D 62.(多选)（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）已知函数，则正确的是（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于轴对称 D．若关于的方程有且仅有一实根，则 【答案】AC 【详解】A：因为的值域为，所以的值域为，故A正确； B：因为，且在上单调递增， 所以，解得，故B错误； C：关于轴对称的函数为，即为， 所以的图象与的图象关于轴对称，故C正确； D：作出的图象如下图所示： 当与仅有一个交点时，此时关于的方程有且仅有一实根， 由图象可知，或，故D错误；故选：AC. 63.（多选）（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，则以下结论不正确的是（   ） A． B． C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】ACD 【分析】选项A，由可得；选项B，由得，进而可得；选项C，由，根据可得，进而可得，进而可得；选项D，由和得，进而由选项C可得. 【详解】选项A：因，故，故A结论错误； 选项B：因， 故 ，故B结论正确； 选项C：， 故由得，得， 整理得， 即，故当时，或，故C结论错误； 选项D：由得， 由得， 得，由选项C可知D选项结论错误， 故选：ACD 64.（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的详解式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的详解式为. （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 65.已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数． (1)试确定函数的详解式； (2)求实数，的值； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）设且，图象过点 所以，解得，所以. （2）由（1）得，因为是上奇函数，所以，所以， 再由可得，所以， 当，时，， ，符合是奇函数， 所以，. （3）， 是增函数，所以是减函数， 因为是奇函数，且， 所以， 所以恒成立， 即，又， 所以. 66．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 【分析】（1）根据题中定义判断①②即可； （2）分析可知在上是严格减函数．且恒成立，求出函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （3）当时，化简函数的详解式，结合题中定义可证得结论成立；然后就、两种情况讨论，结合题中定义进行推导，说明定义不成立，即可证得结论成立. 【详解】（1）①不是，②是，理由如下： 对于①，，取，则， 所以两个函数不是“在上的函数对”； 对于②，在上是严格减函数， 当时，，则，故此时的函数值恒大于零， 所以这两个函数是“在上的函数对”. （2）由题意函数在上是严格减函数，且在上恒成立， 故有在上恒成立， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围为． （3）证明：当时， ， 因为函数、在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 得在上是严格减函数，且对任意恒成立. 当时， 在上恒成立， 取，得，不成立； 此时函数和不是“在上的函数对”． 当时，则， 当时，， 取，得， 所以函数在上不是减函数， 此时函数和不是“在上的函数对”． 综上，的值有且仅有一个. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$