1.3空间向量及其运算的坐标表示课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 选择性必修 第一册 1.3.1空间直角坐标系 1.3.2空间向量运算的坐标表示 第一章 空间向量与立体几何 空间向量基本定理: 课前回顾 平面直角坐标系: 课前回顾 在平面内选取一点O和一个单位正交基底{, },以O为原点，分别以, 的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系O-xy. 对平面内任一向量a，存在唯一实数对(x,y)，使 =x+y 则终点A的坐标(x,y)叫做向量的坐标. O i j a A(x,y) 学习目标 1.会用空间直角坐标系刻画点的位置； 2.掌握空间向量的坐标表示； 3.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示； 4.探索并得出空间两点间的距离公式. 问题1：空间直角坐标系。 问题2：空间向量运算的坐标表示。 问题3：空间两点间的距离公式。 自学指导 阅读课本16--20页，完成以下问题： 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j, k}.以点O为原点,分别以 i, j, k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O叫做原点, i, j, k 都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 Oxy 平面, Oyz 平面, Ozx 平面,它们把空间分成八个部分. 教师点拨 空间直角坐标系 x y z i j k O 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°. 右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=x+y+z. 在单位正交基底{i, j, k} 下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记A(x,y,z) i j O k x y z A x叫做点A的横坐标, y叫做点A的纵坐标, z叫做点A的竖坐标. 教师点拨 空间点的坐标 教师点拨 空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=x+y+z.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作=(x,y,z). x y z O i j k A(x,y,z) 1.平移 2.向量的运算（加减法） 3.末减初 9 知识要点2 小组互助 练习 如图,在棱长为1的正方体中, 写出下列各点和向量的坐标: (1)B　　　　　,B'　　　　　;  (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) (0,1,1) (0,0,1) (0,1,0) 小组互助 O x y z A B C B′ A′ C′ D′ 例1 如图1.3-6，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3, OC=4, OD'=2,以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1)写出 D'，C' ，A'，B'四点的坐标; (2)写出向量, , , 的坐标. 小组互助 变式1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点,试建立适当的空间直角坐标系,求: (1)点B,C1,B1,M,N的坐标; 练习 － － － － － － － － － － － － － － 2.在空间直角坐标系Oxyz中, (1)哪个坐标平面与x轴垂直?哪个坐标平面与y轴垂直?哪个坐标 平面与z轴垂直? (2)写出点P(2，3，4)在三个坐标平面内的射影的坐标. (3)写出点P(1，3，5)关于原点成中心对称的点的坐标， 练习 － － － － － － － － － － － － － － 3. 在长方体，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出的坐标； (2)写出向量，的坐标. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 4. 已知点是点(3，4，5)在坐标平面内的射影，求||. 若点M在Oyz平面上，则x＝0； 若点M在Ozx平面上，则y＝0； 若点M在Oxy平面上，则z＝0； 若点M在x轴上，则y＝z＝0； 若点M在y轴上，则x＝z＝0； 若点M在z轴上，则x＝y＝0； 若M是原点，则x＝y＝z＝0． 关于坐标平面的对称性： P(x,y,z)关于坐标平面xOy的对称点为P1(x, y, －z)； P(x,y,z)关于坐标平面yOz的对称点为P2(－x, y, z)； P(x,y,z)关于坐标平面xOz的对称点为P3(x, －y, z)． 关于坐标轴的对称性： P(x,y,z)关于x轴的对称点为P4(x, －y, －z)； P(x,y,z)关于y轴的对称点为P5(－x, y, －z)； P(x,y,z)关于z轴的对称点为P6(－x, －y, z)． 教师点拨 空间向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 空间向量的坐标运算 平行 垂直 模长 角度 18 小组互助 练习 (1)已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(　　) A.a+b=(10,-5,-6) B.a-b=(2,-1,-6) C.a·b=10 D.|a|=6 (2)与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为(　　) A.(1,7,5) B.(1,-7,5) C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5) D C 教师点拨 空间两点间的距离公式 设P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则 小组互助 小组互助 (1)p+2q; (2)3p-q; (3)(p-q)·(p+q); (4)cos<p,q>. 小组互助 变式2 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4).求: (1)a+b; (2)a-b; (3)a·b; (4)2a·(-b); (5)(a+b)·(a-b). 练习 － － － － － － － － － － － － － － 1.已知a=(-3,2,5)，b=(1,5,-1)，求: (1)a+b; (2)6a; (3)3a-b; (4)a·b 2.已知a=(2,-1,3)，b=(-4,2,x)，且ab.求x的值. 3.在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等. 小组互助 例3：如图1.3-8，在正方体中，分别是，的中点.求证：. 小组互助 变式3 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证: (1)AE⊥D1F; (2)AE⊥平面A1D1F. 小组互助 例4 A B C D A1 B1 C1 D1 F1 M E1 小组互助 变式4 如图①,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°,得到图②.设E为BC的中点,求直线AE与直线DB所成角的余弦值. 小组互助 练习 － － － － － － － － － － － － － － 4. 如图，正方体的棱长为，点分别在上，，求的长. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 5. 如图，在正方体中，是的中点，求与所成角的余弦值. 课后反思 1、空间直角坐标系 2、空间向量运算的坐标表示 3、利用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题 33 课后作业 完成课后训练P.8 (2)=　　　　　,=　　　　　;  (3)=　　　　　,=　　　　　.  (2)向量的坐标. =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). P1P2=||= 2 练习 已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是　　　　. 例2 已知空间中A,B,C,D四点的坐标分别是(-1,2,1),(1,3,4),(0,-1,4), (2,-1,-2).若p=,q=,求下列各式的值: 变式5 已知向量a=(5,3,1),b=,若a与b的夹角为锐角,则实数t的取值范围为　　　　　　　　　　　.  $$