1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示（教学课件）-2023-2024高二数学选择性必修一同步高效课堂系列（人教A版）

1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示 高二 · 数学 RJ · 选择性必修第一册 能用向量语言表述直线和平面 01 学习目标 理解直线的方向向量与平面的法向量 02 会求直线的方向向量与平面的法向量 03 思考：如何用向量表示空间中的一个点？ 概念剖析 思考：我们知道，空间中给定一点和一个方向就能唯一确定一条直线，如何利用向量表示直线？ 概念剖析 直线的向量表示： （1）点在直线上的充要条件是存在实数，使得 ，即 概念剖析 （2）取定空间中任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是存在实数，使 （3）将带入上式，得 空间中任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定 概念剖析 思考：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 概念剖析 取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使 空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定 概念剖析 给定一点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，表示为 概念剖析 【例1】如图，在长方体中，，是的中点.以为原点，所在直线分别为轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求平面的法向量； （2）求平面M的法向量. 概念剖析 题型一　求直线的方向向量 【例1】如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设，以{ }为空间的一个基底，求直线AE，AD的一个方向向量. 概念剖析 【训练1】在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE＝3EP，设，以{ }为空间的一个基底，求直线AE的一个方向向量. 概念剖析 题型二　求平面的法向量 【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 概念剖析 【迁移】若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量. 概念剖析 【训练2】如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量. 概念剖析 题型三　确定空间中点的位置 【例3】已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2； (2)AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标. 概念剖析 下课啦！THANKS $$