1.2空间向量基本定理 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 选择性必修 第一册 1.2空间向量基本定理 第一章 空间向量与立体几何 平面向量基本定理: 课前回顾 如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2，使 若 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 学习目标 1.了解空间向量基本定理及其意义； 2.掌握空间向量的正交分解； 3.能运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量. 问题1：空间向量基本定理。 问题2：空间向量的正交分解。 自学指导 阅读课本11--12页，完成以下问题： 平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 ， 来表示（平面 向量基本定理）.类似的，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量 ， ， 表示呢？ 教师点拨 空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= xa+yb+zc . 我们把{ }叫做空间的一个基底， 都叫做基向量． 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.  6 知识要点2 练习 设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是(　　) A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b} C.{a+b,b-a,c} D.{a+b+c,a+b,c} 小组互助 C 教师点拨 空间向量的正交分解 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{}表示． 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,那么这个基底叫做正交基底. 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 小组互助 小组互助 例1：如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量，，表示. 小组互助 练习 － － － － － － － － － － － － － － 2.已知 O，A，B，C为空间的四个点，且向量，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面? 练习 － － － － － － － － － － － － － － 3、如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C 的中心， 且＝，＝，＝． (1)是否构成空间的一个基底？ (2)如果构成空间的一个基底， 那么用它表示下列向量：， ，，． 小组互助 A B C D M N B1 A1 C1 D1 小组互助 变式2 如图,在空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OG⊥BC. 小组互助 变式3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:B1O⊥平面PAC. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 3.如图，已知正方体 ABCD -A'B'C'D',CD'和DC'相交于点O，连接 AO，求证 AOCD' 小组互助 例3：如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点. (1)求证：； (2)求直线与所成角的余弦值. 小组互助 变式4 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求异面直线OE与BF所成角的余弦值. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 2、如图，在平行六面体中，， ，求直线与所成角的余弦值. 小组互助 例4 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1, ∠BCA=90°, 棱AA1=2,点N为AA1的中点. 小组互助 变式5 如图,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC⊂α, BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B.已知AC=AB=BD=6,则CD=　 . 12 课后反思 1、空间向量基本定理 2、空间向量的正交分解 24 课后作业 完成课后训练P.6 练习 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别为棱DD',D'C',BC的中点,以{}为基底,则向量=　　 　,=　 　　　　　.  变式1 如图,已知四棱锥P-OABC的底面为一矩形,设=a, =b, =c, E,F分别是PC和PB的中点,试用向量a,b,c表示. (1)求||; (2)求cos<>的值. 基向量法解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤 (1)设出基向量． (2)用基向量表示出直线的方向向量． (3)用|a|＝eq \r(a·a)求长度，用a＝λb ⇔a∥b，用a·b＝0⇔a⊥b， 用cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求夹角． (4)最后还原为几何中的线段长度，两直线平行、垂直及夹角. $$