广东省汕头市潮阳林百欣中学2024-2025学年高三上学期第二次段考数学试题

潮阳林百欣中学2024-2025学年度第一学期 第二阶段考试高三级数学试卷答案 1.【详解】的虚部为的实部为-3.故选：A 2.表示原点为圆心,半径为的圆，因而圆上点的横坐标的取值范围为，故. 在函数中，当时，，故，从而A∩Β=，故选C. 3.【详解】由得且，故选：B 4.【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 5.【详解】设正方体的棱长为，则， 由于三棱锥的表面积为，所以 所以，所以正方体的外接球的半径为， 所以正方体的外接球的体积为. 故选：D． 6. 【详解】因为四边形的面积为，且，，梯形的高为2， 故，解得，即. 又直线过点，由对称性可得过点，即， 即.又，可得，故. 故. 故选：A 7.【详解】数列中，，， 当时，， 即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2， 则， 当时，， 即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为， 则， 所以. 故选：C 7. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 由双曲线的定义可得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，，设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D. 9.【详解】成绩从小到大排列为：. A：出现次数最多的数为，故A错误； B：平均数，故B正确； C：中位数为：，故C正确； D：第85百分位数为第，即第位，为，故D错误；故选：BC. 10.【详解】A：设该函数的最小正周期为，则有， 即，由函数的图象可知：，即， 由图象可知：，所以，因此A不正确； B：，所以B正确； C：因为，， 所以，所以函数的图象关于直线对称，因此C正确； D： 当时，， 当， ， 当函数在区间上不单调时，则有， 故选：BCD 11.【详解】由于，知，及其，则，解得， 对AB，，设函数，，故在上单调递减，则1，即，故A对B错； 对C，由于，设，， 故上单调递减，，故， 若，故C对； 对D，，设，， 令，则，则，，则，， 则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误. 故选：AC. 12.【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为．故答案为：． 13.【详解】由已知，对于任意实数，恒有，令，，可得，因为当时，，所以，故. 令，设，则，. 由于，则，，则.由于，，则. 故答案为：8. （其实我觉得特值法： 令更容易） 14.【详解】当时，不具备单调性， 当时，，若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减，可得，因为在上是单调递增的，所以在上不可能单调递减，所以不成立，于是.若函数在区间上单调递增，则，， 若函数在区间上单调递增，则，， 因为，所以时，，综上所述，.故答案为：. 15.解：（1）由正弦定理，得，................1分 又，..................2分； 所以，.............3分 即. .......4分，； 又，..............5分； 所以...............6分 （2）由余弦定理，得，......7分； 所以........8分 由基本不等式知，于是. 当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时，面积取得最大值...........13分 16.【小问1详解】 过点作交于点，....1分 过点作交于点，则........2分 因为是的中点，是的中点，所以，....3分 因为，所以，则，.........4分 所以四边形为平行四边形，所以，.......5分 又平面平面，所以平面..........6分 【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，.......7分 设， 则，，.......9分 所以...........10分 设平面的法向量为，则即 令，得，............12分 设直线与平面所成角为， 则，............14分 所以，故直线与平面所成角的余弦值为...............15分 17.【详解】（1）把代入中，得...........1分 直线的方程：，.............2分 即：与联立， 得：，.............3分 ∴，；............4分； ∴，...........5分； ∴．.............6分 （2）设直线AB的方程为：与联立，得：，...........7分 设，，即.................8分 ， ，...............9分； ∵，∴，∴ 整理得：................11分 代入得：，即.....................12分 ∴（舍去），（符合）....................13分 ∴直线，∴.....................14分 即动直线AB经过定点．......................15分 18. 【详解】（1）设“回答问题1”记为事件，“回答问题2”记为事件，回答“是”记为事件，.......1分 则，........2分； ，.............3分； ，.................4分 因为，.......................5分 所以，即该城市沉迷手机的中学生所占；.....................6分 （2）（ⅰ）；................9分（两个加数项写对一个得1分，答案对再得1分） （ⅱ）由题意知，第天不玩手机的概率是，第天玩手机的概率是，........10分 所以，........11分； 即，.............12分 所以，...........13分； 又，.......................14分 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，...................15分 所以，.................16分； 所以.....................17分 19.证明：（1）设，则...................1分 当时，：当时， 所以在上单调递减，在上单调递增..................2分 因此，，.................3分； 即..................4分 （2）由泰勒公式知，① 于是，②....................5分 由①②得 ................6分 ..................7分 所以 即..........................9分 （3） ， 则 由基本不等式知，，当且仅当时等号成立....................11分 所以当时，，所以在上单调递增. 又因为是奇函数，且，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因此，是的极小值点.............13分 下面证明：当时，不是的极小值点. 当时，， 又因为是上的偶函数，且在上单调递增（这是因为当时，） 所以当时，. 因此，在上单调递减. 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因此，是的极大值点，不是的极小值点. 综上，实数的取值范围是.................................17分 5 学科网（北京）股份有限公司 答案第6页，共7页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 潮阳林百欣中学2024-2025学年度第一学期 第二阶段考试高三级数学试卷 （考试时间120，满分150） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以的虚部为实部,以的实部为虚部的复数是( ) A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则A∩Β=( ) A. B. C. D. 3. 函数的定义域为( ) A. B. C. D. 4. 是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为2，则( ) A. B. 2 C. D. 5. 正方体中，三棱锥表面积为，则正方体外接球体积为( ) A. B. C. D. 6. 如图，和分别为函数 图象上的两个最高点、两个最低点，若四边形的面积为，直线过点，则( ) A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则( ) A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则( ) A. B. C. D. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的( ) A. 众数为12 B. 平均数为14 C. 中位数为14.5 D. 第85百分位数为16 10. 已知函数的部分图象如图所示，则( ) A. B. 的图象过点 C. 函数的图象关于直线对称 D. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 11. 设，且，则下列关系式可能成立的是( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 13. 定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时．已知，则______． 14. 若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分） 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求面积的最大值. 16．（本题15分）如图，在三棱锥中，是的中点， 是的中点，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的余弦值. 17．（本题15分） 过抛物线上一点作直线交抛物线E于另一点N. （1）若直线MN的斜率为1，求线段的长. （2）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由． 18.（本题17分） 某城市的青少年网络协会为了调查该城市中学生的手机成瘾情况，对该城市中学生中随机抽出的200名学生进行调查，调查中使用了两个问题． 问题1：你的学号是不是奇数？ 问题2：你是否沉迷手机？ 调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取一个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案． (1)如果在200名学生中，共有80名回答了“是”，请你估计该城市沉迷手机的中学生所占的百分比． (2)某学生进入高中后沉迷手机，学习成绩一落千丈，经过班主任老师和家长的劝说后，该学生开始不玩手机．已知该学生第一天没有玩手机，若该学生前一天没有玩手机，后面一天继续不玩手机的概率是0.8；若该学生前一天玩手机，后面一天继续玩手机的概率是0.5． ①求该学生第三天不玩手机的概率P； ②设该学生第n天不玩手机的概率为，求． 19．（本题17分） 英国数学家泰勒发现了如下公式： 其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. （1）证明：； （2）设，证明：； （3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围. 4 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$