24.1第4课时　圆周角及圆内接四边形课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章　圆 24.1　圆的有关性质 第4课时　圆周角及圆内接四边形 知识点1 圆周角的定义及圆周角定理 1.圆心角的定义? 顶点在圆心的角叫圆心角. A B O C 2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？ 　　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角． 　　图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样的关系？ A B O C 探究 先猜一猜，再用量角器量一量. 　　（1）在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？ B C O A B C O A B C O A ⌒ （2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？ 第一种情况： B C O A ∵　OA=OC， ∴　∠A=∠C． 又∵　∠BOC=∠A+∠C， ∴ 证明： 证明：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D． ∵OA=OB， ∴∠BAD=∠B． 又∵∠BOD=∠BAD+∠B， 第二种情况： B C O A 同理， ∴ ∴ D 请同学们自己完成证明. B C O A 第三种情况： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理： 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等. 上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ A B O C 那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？ 知识点2 圆周角定理的推论 根据圆周角定理可知， 同弧所对的圆周角相等． A D B C O ∴ 同弧： ∠BAC与∠BDC同BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？ ⌒ 证明： 如图，作出两弧所对应的圆心角. 根据圆周角定理可知， 等弧所对的圆周角相等． ∴ 等弧： BC=CE，∠BDC与∠CAE有什么关系？ ⌒ ⌒ 又由BC=CE可知，∠BOC=∠COE. ⌒ ⌒ ∠BDC=∠CAE . A D B C O E 同弧或等弧所对的圆周角相等． 推论1： 显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等. 下列说法是否正确，为什么？ “在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”. D B C O E . 一条弦所对应的圆周角有两个. 这两个角有什么关系吗？ 如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，所以根据圆周角定理可知∠C+∠D = . 360° 180° 在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补. 半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？ C1 A O B C2 C3 思考 所对应的圆心角为 ， 则对应的圆周角为 . 180° 90° 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 推论2： 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 知识点3 圆内接多边形 A B C D O 如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆. 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ 思考 A B C D O ∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC =360° 圆内接四边形的对角 . 互补 课堂小结 圆周角 圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. 圆周角定理及其推论： 定理: 推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形： 圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补. 1. ★如图，在☉O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB， OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD，则∠CBD的度数是（　A　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° （第1题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点 均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ ⁠°. （第2题） 90　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且 所对圆心角的度数为 50°，则∠E＋∠C＝ ⁠. （第3题） 155°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，AB是☉O的直径，D为AB上一点，C为☉O上一点，且AD ＝AC，连接CD并延长，交☉O于点E，连接CB. （1） 求证：∠A＝2∠BCD. 解：（1） ∵ AB是☉O的直径，∴ ∠ACB＝90°. ∴ ∠ACD＝90°－∠BCD. ∵ AC＝AD， ∴ ∠ACD＝∠ADC. ∵ ∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°，∴ ∠A＋90°－∠BCD＋90°－∠BCD＝180°. ∴ ∠A＝2∠BCD. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若∠BCE＝15°，AB＝6，求CE的长. 解：（2） 连接OC，OE. 由（1）， 得∠A＝2∠BCE＝2×15°＝30°.∵ OA＝OC， ∴ ∠A＝∠ACO. ∴ ∠COB＝∠A＋∠ACO＝2∠A＝2×30°＝60°. ∵ ∠BOE＝2∠BCE＝2×15°＝30°， ∴ ∠COE＝∠COB＋∠BOE＝60°＋30°＝90°. ∵ OC＝OE＝ AB＝ ×6＝3，∴ CE＝ ＝3 . （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.如图，在☉O中，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB， ∠COD. 若∠AOB和∠COD互补，且AB＝2，CD＝4，则☉O的半径 是（　C　） A. B. 2 C. D. 4 （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，AB是☉O的一条弦，C是☉O上一动点，且∠ACB＝30°， E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与☉O交于G，H两点.若☉O 的半径是4，则GE＋FH的最大值是（　B　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，四边形ABCD内接于☉O，它的3个外角∠EAB，∠FBC， ∠GCD的度数之比为1∶2∶4，则∠D＝ ⁠. （第7题） 72°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点 分别为D，E，且 ＝ .若半圆的直径为13，BC＝10，则BD的长 为 ⁠. （第8题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$