精品解析：重庆市第十一中学校教育集团2026届高三上学期第一次质量检测（8月）数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高2026届高三第一次质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合是等腰三角形}，集合是直角三角形}，则（ ） A. 是等腰或直角三角形} B. 是等腰直角三角形} C. N D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】集合是等腰三角形}，集合是直角三角形}， 所以是等腰直角三角形}. 故选：B 2. 设命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题p的否定为：，. 故选：D 3. 若（）的展开式中x与项的系数相等，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理列式求出值. 【详解】依题意，，，由展开式中x与项的系数相等， 得，因此，所以. 故选：C 4. 下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出最小值判断ACD；举例说明判断B. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A是； 对于B，当时，，则，B不是； 对于C，令，函数在上单调递增，当，即时，，C不是； 对于D，，当且仅当时取等号，D不是. 故选：A 5. 若一个四位数的各位数字之和为3，则这样的四位数有（ ） A. 9个 B. 10个 C. 12个 D. 15个 【答案】B 【解析】 【分析】根据3的不同组成，分类讨论求解. 【详解】当这个四位数由3，0，0，0构成时，共有1种情况， 当这个四位数由2，1，0，0构成时，共有种情况， 当这个四位数由1，1，1，0构成时，共有种情况， 综上所述，共有1+6+3=10种情况 故选：B 6. 函数，的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性排除AB，由时，，排除D即可. 【详解】当时，， 所以在时的图象关于原点中心对称，故排除AB， 当时，，，此时，故排除D，经检验C符合题意. 故选：C. 7. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在上单调递减列不等式组即可求解. 【详解】当时，，， 所以在上单调递减， 二次函数开口向下，且对称轴为， 而当时，， 又因为函数在上单调递减， 所以只需，解得， 所以a的取值范围为. 故选：A. 8. 已知，有，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转换为，有，进一步构造函数，故只需结合导数求得的最大值即可. 【详解】已知，有， 所以，有， 令，所以，有， 令，求导得， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即a的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 数据“3，6，2，9，6，5”的极差为7 B. 数据“3，6，2，9，6，5”的中位数为5.5 C. 将一组数据中的每一个数据都减去同一个常数后，标准差不变 D. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，由极差、中位数的概念判断即可；对于C，由标准差的性质即可判断；对于D，由残差图中残差点分布的带状区域的宽度和回归效果的关系即可判断. 【详解】对于A，数据“3，6，2，9，6，5”的最大值、最小值分别为9，2，则极差为，故A正确； 对于B，将数据“3，6，2，9，6，5”从小到大排列后为2，3，5，6，6，9，则中位数为，故B正确； 对于C，设随机变量满足，其中是常数， 所以，故C正确； 对于D，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差，故D错误. 故选：ABC. 10. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数探讨函数单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 因此函数的零点所在的区间是和. 故选：AD 11. 已知函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，函数满足：①对任意的实数x都有；②函数是R上的偶函数；③当时，则（ ） A. 关于直线对称 B. C. 的最大值是1，最小值为 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用偶函数定义，结合轴对称判断A；求出函数的周期及在上单调性推理判断B；求出判断C；利用对称性求出指定区间上的解析式判断D. 【详解】对于A，由函数是R上的偶函数，得， 函数图象关于直线对称，A正确； 对于B，由，得，又， 则，，因此， 函数的周期为4，， 由当时，，得函数在上单调递增， 因为对任意的实数x都有， 所以函数图象关于点中心对称，则函数在上单调递增， 由题意得图象为一条连续不断的曲线， 于是函数在上单调递增，，则，B正确； 对于C，由当时，，得，由， 得，解得，C错误； 对于D，当时，， 则，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，解之即得. 【详解】要使函数有意义，则， 解之得，，即函数的定义域为. 故答案为：. 13. 有2人在一座6层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则他们在不同楼层离开电梯的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，2人离开电梯的情况有25种，在同一楼层离开的有5种，从而求得在不同楼层离开的概率. 【详解】由题知，2人离开电梯的情况有种，2人在同一楼层离开的有5种， 则两人在不同楼层离开电梯的概率为. 故答案为：. 14. 函数的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数分情况讨论，去掉绝对值符号，求导，根据单调性可得. 【详解】因为函数，所以，则 情况1：当时，， 求导得，令得， 在时，，单调递增，在时，，单调递减， 所以； 情况2：当时，， 求导得，所以恒成立，所以单调递增， 所以； 综上，因为，所以函数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，，底面是正方形，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 如图，连接，交于点， 因为四边形是正方形，所以点是中点， 因为E是的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，只需证明，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知侧棱底面，，底面是正方形， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，设，则， 所以， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则，， 令，解得， 所以， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以. 16. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数．已知三叉戟函数的图象经过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若，都有恒成立，求实数m的求值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用选定系数法求出函数解析式. （2）等价变形给定恒成立的不等式，分离参数并构造函数，利用基本不等式及不等式性质求出最小值即可. 【小问1详解】 由函数的图象经过点，得， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 ，不等式恒成立， 令函数，而当时，，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数m的取值范围是. 17. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：． 【答案】（1）； （2） 不等式， 令函数，求导得， 而，函数在上都单调递增，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即，， 当时，，即；当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，所以. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）等价变形不等式，构造函数，利用导数探讨并求出最小值即可. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 18. 甲、乙两人进行知识问答比赛，比赛规则如下：每题由1人作答；若答对，则答题者得一分，并继续回答下一题；若答错，则对方得一分，并由对方回答下一题．比赛规定：先得3分者赢得比赛且比赛结束．若比赛中甲答对任一问题的概率为p，乙答对任一问题的概率为q，且每人每题是否答对相互独立．经赛前抽签，确定甲优先答题． （1）求乙在第二题得分的概率（用p，q表示）； （2）若，，求甲在四题以内赢得比赛的概率； （3）若，记比赛结束时答题数为X，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将给定事件分拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件的概率公式求解. （2）根据给定条件，利用互斥事件的概率公式及独立事件的概率公式列式求解. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，求出，再利用导数求出最大值. 【小问1详解】 乙在第二题得分的事件是甲在第1题答对，第2题答错的事件与甲在第1题答错，乙在第2题答对的事件和， 所以乙在第二题得分的概率为. 【小问2详解】 甲在四题以内赢得比赛的事件是甲答前3题得3分的事件与甲答4题得3分的事件和， 甲答前3题得3分的事件概率为； 甲答4题得3分的事件是前3题甲得2分，第4题甲得分， 概率为， 所以甲在四题以内赢得比赛的概率为. 【小问3详解】 随机变量的可能取值为3，4，5， 当时，甲答前3题得3分或乙答前3题得3分，； 当时，第4题后甲得3分或乙得3分， 当时，第4题后甲乙二人的比分为，， 因此 ，令，， 求导得， 由且，得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以的最大值为. 19. 设函数的定义域为D，若定义域D内子区间I满足：对于任意，都有，则称区间I是函数的一个“超越区间”． （1）已知函数，判断区间是否为的“超越区间”，并说明理由； （2）已知，若区间是函数的一个“超越区间”，求实数m的取值范围； （3）已知函数的定义域为R，其图象是一条连续的曲线，且对于任意，都有．求证：存在“超越区间”，且存在，t不属于的任意一个“超越区间”． 【答案】（1）是，理由： 若，则， 满足对于任意，都有， 所以区间为的“超越区间”； （2） （3） 因为任意都有， 所以在任意区间上对应的函数值区间长度必大于， 即在任意区间上都不满足性质：对于任意，都有， 因为对于任意，都有 所以在R上单调递减， 所以不恒成立，即存在， 若，取，则， 在区间上值域为， ，所以是一个“超越区间”； 若，取，则， 在区间上值域为， ，是一个“超越区间”； 所以存在“超越区间”； 记， 因为在R上单调递减，所以在R上单调递减； 又图象是一条连续的曲线，所以图象也是一条连续的曲线， 设，若，则有零点为， 若，则，， 由零点存在性定理得在区间上有零点； 若，则， 由零点存在性定理得在区间上有零点； 所以必有零点，记为，即， 又的“超越区间” 都不满足题述性质， 所以不属于任意一个“超越区间”. 【解析】 【分析】（1）根据新定义得到结论即可； （2）若满足性质：对于任意，都有，求导得到其单调性，分和两种情况，结合函数单调性和特殊点函数值得到满足要求； （3），不满足性质：对于任意，都有，且在R上单调递减，不恒成立，即存在，分和两种情况，得到满足题述性质，故存在“超越区间”； 记，在R上单调递减；设，若，则有零点为，和时，由零点存在性定理得必有零点，又的“超越区间” 都满足题述性质，所以不属于任意一个“超越区间”. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 若在区间上满足题述性质， ， 令，解得， 令，解得或， 故在上单调递减，在上单调递增， 显然，当时， 在上单调递减， 故， 所以，满足要求， 当时，因为，所以不符合； 综上所述，实数的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学校教育集团高2026届高三第一次质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合是等腰三角形}，集合是直角三角形}，则（ ） A. 是等腰或直角三角形} B. 是等腰直角三角形} C. N D. 2. 设命题，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若（）的展开式中x与项的系数相等，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4. 下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个四位数的各位数字之和为3，则这样的四位数有（ ） A. 9个 B. 10个 C. 12个 D. 15个 6. 函数，的图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，有，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 数据“3，6，2，9，6，5”的极差为7 B. 数据“3，6，2，9，6，5”的中位数为5.5 C. 将一组数据中的每一个数据都减去同一个常数后，标准差不变 D. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好 10. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，函数满足：①对任意的实数x都有；②函数是R上的偶函数；③当时，则（ ） A. 关于直线对称 B. C. 的最大值是1，最小值为 D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________． 13. 有2人在一座6层大楼的底层进入电梯，他们每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则他们在不同楼层离开电梯的概率是________． 14. 函数的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，，底面是正方形，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 16. 三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数．已知三叉戟函数的图象经过点，且满足． （1）求函数的解析式； （2）若，都有恒成立，求实数m的求值范围． 17. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：． 18. 甲、乙两人进行知识问答比赛，比赛规则如下：每题由1人作答；若答对，则答题者得一分，并继续回答下一题；若答错，则对方得一分，并由对方回答下一题．比赛规定：先得3分者赢得比赛且比赛结束．若比赛中甲答对任一问题的概率为p，乙答对任一问题的概率为q，且每人每题是否答对相互独立．经赛前抽签，确定甲优先答题． （1）求乙在第二题得分的概率（用p，q表示）； （2）若，，求甲在四题以内赢得比赛的概率； （3）若，记比赛结束时答题数为X，求的最大值． 19. 设函数的定义域为D，若定义域D内子区间I满足：对于任意，都有，则称区间I是函数的一个“超越区间”． （1）已知函数，判断区间是否为的“超越区间”，并说明理由； （2）已知，若区间是函数的一个“超越区间”，求实数m的取值范围； （3）已知函数的定义域为R，其图象是一条连续的曲线，且对于任意，都有．求证：存在“超越区间”，且存在，t不属于的任意一个“超越区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $