精品解析：2025年8月天津市南开大学省身班选拔考试数学试题

2025年南开大学数学省身班选拔考试 时间：2025年8月25日14：30-16：10 满分：100分 1. 已知函数，求出使下面三个条件成立的所有． ①当时，； ②的最大值为444． ③的最小值为364． 2. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*). （1）证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2. 3. 已知椭圆，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点.以为圆心，半径为2的圆与轴相切于，并与轴交于两点，为等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2）已知圆，为圆上的一点，过点的切线交椭圆于两点，请问是否为定值，并给出理由. 4. 求证：对任意正整数及任意实数，有． 5. 已知是正整数，且不与2，5，13相等．求证：对于集合，必然存在两个不同的元素，使得不是完全平方数． 6. 平面中是否存在同时满足以下两个条件的无穷点集，并给出理由． ①任意三点都不共线； ②任意两点的距离都是有理数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年南开大学数学省身班选拔考试 时间：2025年8月25日14：30-16：10 满分：100分 1. 已知函数，求出使下面三个条件成立的所有． ①当时，； ②的最大值为444． ③的最小值为364． 【答案】. 【解析】 【分析】令，分和讨论，其中时，分三种情况讨论即可. 【详解】令. 第一类：若，由①得，即． 则有或，此时与（＊）构成的方程组无解． 第二类：若，由（1）得，即， 在上的最大值为444，最小值为364． 情况1：．这时在上单调． 若，则，此时与（＊＊）构成的方程组无解． 若，则，此时与（＊＊）联立解得． 情况2：且．这时或， 此时与（＊＊）构成的方程组无解． 情况3：且．这时或， 此时与（＊＊）构成的方程组无解． 综上所述，只有 一组解． 2. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*). （1）证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2. 【答案】（1）由题设得，又， 所以数列是首项为2，公比为的等比数列， 所以， （2）由（1）知， 因为对任意，恒成立， 所以， 所以 故Tn＜2成立 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式，进行求解即可； （2）由，进而利用，得到 ，最后利用等比数列求和公式进行求证即可 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，难点在于利用不等式的放缩法得出，属于中档题 3. 已知椭圆，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点.以为圆心，半径为2的圆与轴相切于，并与轴交于两点，为等边三角形． （1）求椭圆的方程； （2）已知圆，为圆上的一点，过点的切线交椭圆于两点，请问是否为定值，并给出理由. 【答案】（1） （2）为定值，该定值是 【解析】 【分析】（1）根据题意可得轴，，再结合的边长为2，得到一个关于的方程组，解方程组即可； （2）首先考虑切线斜率不存在时可得到，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线和椭圆，根据韦达定理得到，进而得到，. 【小问1详解】 由题意可知轴，则， 由，得正的边长为2， 得，即，，，， 解得，，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 当过点且与圆相切的切线斜率不存在时， 不妨设切线方程为， 代入椭圆的方程得，， 所以，， 可得，， 此时； 同理可得，切线方程为时，； 当过点且与圆相切的切线斜率存在时， 可设切线方程为，再设，， 联立切线和椭圆的方程，得， 其中，，，， 因为，， 所以 ， 再根据圆心到切线的距离等于半径可得，即， 所以， 因此，, 综上，为定值，该定值是. 4. 求证：对任意正整数及任意实数，有． 【答案】 当时，左边，右边， 根据二倍角公式，，， 所以右边 左边， 所以时，等式成立. 假设当时，等式成立， 当时，则， 又， 所以， 因为，， 则， 所以， 所以当时，等式也成立. 综上，由数学归纳法可知，对任意正整数及任意实数，等式成立． 【解析】 【分析】根据数学归纳法，结合三角函数相关公式，当时，可得等式成立；假设当时，等式依然成立；经过计算，可得当时，等式成立.即可证明. 【详解】略 5. 已知是正整数，且不与2，5，13相等．求证：对于集合，必然存在两个不同的元素，使得不是完全平方数． 【答案】 假设不存在两个不同的元素，使得不是完全平方数． 令， 为奇数，为奇数， ，，， 令，， 令，， ， 为偶数，和奇偶性相同， ， ， 矛盾，假设不成立， 中必有一个不是平方数． 【解析】 【分析】利用反证法，先假设不存在，再令，通过同余分析即可得到矛盾点. 【详解】略 6. 平面中是否存在同时满足以下两个条件的无穷点集，并给出理由． ①任意三点都不共线； ②任意两点的距离都是有理数． 【答案】存在 【解析】 【分析】利用万能公式设点，再利用两点距离公式计算的表达式，最后利用函数单调性即可证明满足题意的存在. 【详解】对任意实数，设， 则， 由得， 则在平面直角坐标系中，点在圆上． 同理，点在圆上． . 当时, 为有理数． 又，即, 即， . 同理，， 根据对勾函数和复合函数单调性可知的横坐标是关于的增函数， 的横坐标是关于的增函数可知， 在平面直角坐标系中，存在圆上的无穷点集： 使：①其中任意三点都不共线（因为同一圆上任意三点都不共线）； ②任意两点距离都是有理数（即｜为有理数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $