第一章勾股定理（单元测试） -2025—2026学年北师大版数学八年级上册

第一章勾股定理（单元测试） -2025—2026学年北师大版数学八年级上册 一、选择题 1．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，在中，于，则的长是（　　） A．10 B． C． D． 3．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A．13 B． C．15 D．10 4．如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（　　） A．50 B．41 C．25 D．16 5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（　　） A．144 B．49 C．64 D．25 6．如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端离地面的垂直距离为4m，则梯子的底端离墙的距离是（　　） A．3m B．4m C．5m D．m 7．如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（　　） A．3 B．6 C．10 D．16 8．如图，是斜边上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．若三角形的三边之比为，则此三角形为　 　三角形． 10．如图，在中，，于点D，，，则BC的长为　 　． 11．如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移　 　米． 12．如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高　 　米． 13．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连结AG，FG．当时，线段AG的长为　 　． 14．如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为　 　． ​​ 三、解答题 15．如图，等腰三角形 中 ，且 ． （1）求 的长； （2）求 的面积． 16．如图，在四边形中，，是边上一点，，. （1）求证：； （2）若，，求的长. 17． 如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的的长度各是多少？ 18．如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后后，测得米，米，米，米. （1）判断的形状，并说明理由； （2）求图中阴影部分土地的面积. 19．在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上，并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）求证：； （2）求原来的路线的长； 20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， 根据勾股定理得：a2+b2=c2， ∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200， ∴c2=100，∴c=10. 故答案为：C. 【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三边的平方和为200，得a2+b2+c2=200，根据两式即可求出斜边的长． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6； ∴AB==10 ∴CD== 故答案为：D. 【分析】根据勾股定理，可得AB的值；根据三角形面积相等的原则，列代数式，可直接求出CD的值. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长， 由图可知：，， 为最短路径为：， 则蚂蚁爬的最短路线长为13， 故答案为：A． 【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出最短路径即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：如图， 根据勾股定理得出： ， ， ∴阴影部分的面积是 故答案为：A. 【分析】根据勾股定理求出 即可得出答案. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：根据勾股定理得：直角三角形的另一个直角边==12， ∴ 小正方形的边长=12-5=7， ∴ 中间小正方形的面积=72=49. 故答案为：49. 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的另一个直角边推出小正方形的边长，即可求得小正方形的面积. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：梯子的底端离墙的距离为． 故答案为：A. 【分析】本题考查勾股定理实际应用．根据勾股定理的变形可得，代入数据可求求出答案． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵正方形的面积为13， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， 根据勾股定理逆定理得， ∴． 故答案为：C 【分析】由正方形面积求得，利用勾股定理的逆定理证明，然后正方形的面积减去三角形的面积，求解即可． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：过点C作CH⊥AB，如图， ∵ Rt△ABC中AC=BC=1， ∴ AB=， ∴ S△ABC=AC·AB=AB·CH， ∴ CH=， ∵ PF⊥BC，PE⊥AB， ∴ S△BCD= S△BCP+ S△BDP，即BD·CH=BC·PF+BD·PE， ∴ PE+PF=. 故答案为：A. 【分析】根据勾股定理得AB的长，再根据等面积法求得CH的长，根据S△BCD= S△BCP+ S△BDP利用三角形的面积公式，即可求得. 9．【答案】直角 【解析】【解答】解：三角形的三边之比为，设三角形三边分别是3x、4x、5x。 ， 此三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用。可以根据三边比假设出三边的长度，然后列示计算即可得出该三角形是直角三角形。 10．【答案】5 【解析】【解答】解：设BC为x，则CD为x-1， ∵， ∴ 解得： 故答案为：5. 【分析】设BC为x，则CD为x-1，进而根据勾股定理列出方程：解此方程即可. 11．【答案】 【解析】【解答】解；在直角中，已知， ，则， ， 在直角中，，且为斜边， ， 梯足向外移动了． 故答案为：． 【分析】 在直角三角形中，根据勾股定理求出长，即可求除长，然后在直角三角形中，利用勾股定理求得的长度，然后利用线段的和差得到的长解题． 12．【答案】15 【解析】【解答】解：如图，设树的高度为x米，因为两只猴子所经过的距离相等，即都为30米， 由勾股定理得：， 解得x=15， 故树的高度为15米， 故填：15. 【分析】 如图，两只猴子所经过的距离相等，即BD+AD=BC+AC=10+20=30，再根据勾股定理即可求出树的高度. 13．【答案】 【解析】【解答】解：连接DF、AF、EF，如图， 在中， ∴ ∵点F，G分别是BC，DE的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴为直角三角形，且 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 【分析】连接DF、AF、EF，利用"ASA"证明则​​​​​​​进而求出AE的长度，再利用勾股定理求出DE的长度，进而即可求解. 14．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：在AB上取一点F'，使BF'＝BF，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠EBF＝∠EBF'， 又∵BE＝BE， ∴△EBF≌△EBF'（SAS）， ∴EF＝EF'， ∴CE＋EF＝CE＋EF'≥CH， ∴CE＋EF的最小值为CH的长， 在Rt△ACB中， ∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理，得AB=， ∵S△ABC＝AB•CH＝AC×BC， ∴CH=， 故答案为：. 【分析】在AB上取一点F'，使BF'＝BF，过点C作CH⊥AB于点H，先利用“SAS”证出△EBF≌△EBF'，可得EF＝EF'，再结合CE＋EF＝CE＋EF'≥CH，可得CE＋EF的最小值为CH的长，再利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的面积公式及等积法可得CH=，从而得解. 15．【答案】（1）解：设AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC， 则列示为（x+3）2=x2+42 解得x= ∴AD的长为cm。 （2）解： 的面积 =AB×CD×=（3+）×4×=cm2 ∴ 的面积是cm2。 【解析】【分析】（1）题可以放到直角三角形ACD中，因为AB=AC，所以利用勾股定理列式求解即可； （2）题根据（1）题的结果计算出AB的长度，然后以AB为底、CD为高即可计算出三角形的面积。 16．【答案】（1）证明：如图. ， . ， ， . 在和中， . （2）解：， . ，， 在中，由勾股定理，得， ， 在中，由勾股定理，得. 【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得，根据AAS判定 ； （2）根据勾股定理求得AC，再利用全等三角形的性质得CD=AC， 再根据勾股定理求得AD. 17．【答案】解：设池塘水深x尺，则芦苇高尺．根据题意，可列方程 解方程，得 ∴尺 答：池塘水深12尺，芦苇高13尺. 【解析】【分析】设池塘水深x尺，则芦苇高尺，根据题意列出方程，再求解即可. 18．【答案】（1）解：是直角三角形， 理由：在中，， 由勾股定理得，，解得， 在中， 是直角三角形， （2）解：图中阴影部分土地的面积（平方米）. 【解析】【分析】（1）根据题意，由勾股定理求出AC=5，继而由勾股定理逆定理求出ADC=90°； （2）根据三角形的面积公式求出答案即可。 19．【答案】（1）证明：千米，千米，千米， ， ， 为直角三角形， ； （2）解：设千米，则千米． ，， ，即， 解得：． 答：原来的路线的长为千米． 【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明△CDB为直角三角形，即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理，即可求解． 20．【答案】（1）解：根据题意得，，， ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：如下图所示， ： 根据题意得，，，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【解析】【分析】根据Rt中直角边的长度是，的长度是，利用勾股定理求出斜边的长度，绳子的长度就是斜边与直角边的长度之和； 物体升高，则斜边的长度增加，斜边的长度增加为，利用勾股定理求出的长度，用的长度减去的长度，就是滑块向左滑动的距离． （1）解：根据题意得，，， ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：如下图所示， ： 根据题意得，，，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $$