2.1认识实数（第1课时）教学设计　　2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 1 认识实数（第1课时） 一、学习任务分析 本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”的第一节第1课时。从整体课程内容看，属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域，课标内容要求为：了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。会求实数的相反数和绝对值。能用有理数估计一个无理数的大致范围。 本节内容分2个课时，实数是继有理数之后，在中学阶段学习的数系的又一次扩充。引入无理数后，有理数的运算法则和运算规律在实数范围内仍然成立。相关学习活动涉及类比学习及归纳推理，为后续高中阶段学习从实数向复数的数系扩展再次积累活动经验。第1课时让学生感悟数系的扩充，辩证认识无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理，会根据要求画线段；借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是不是有理数。第2课时主要是让学生知道实数由有理数和无理数组成，并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的，结合勾股定理知识，在数轴上确定无理数的位置。 本节课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数。 二、学生起点分析 学生知识技能基础：数系随着现实生活及数学学习的需求不断扩充，这体现了新数产生的必要性。代数运算的核心是研究数的性质、运算法则及运算律，学生已经经历过一次数系扩充，即七年级在引入负数的学习中，将数的研究范围扩充到有理数。利用数轴探究有理数的运算法则中体现的分类讨论、从特殊到一般、数形结合等数学思想为实数的学习奠定了基础。在前一章“勾股定理”的学习中，学生已经掌握勾股数的概念，但在探究过程中发现，并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是。这为引入“新数”奠定了必要性，同时，勾股定理的学习也为学生提供了数形结合的思考方法。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些拼图操作、网格画线段和借助计算器估算的活动，也具备与同学合作交流的经验。在负数的引入、意义及有理数加法的学习中，充分结合生活实际，在理解意义的基础上获取新知；在经历“观察、比较、分析、归纳”的合作交流过程中，积累了用数学的眼光观察问题、用数学的思维分析问题、用数学的语言表达和解决问题的经验。尤其是第一章用等积法说明勾股定理，解决了一些简单的现实问题，感受到了数系扩充的必要性和作用，获得了认识实数所必需的一些数学活动经验。 三、教学目标 1.在有理数认识的基础上，结合图形判断正方形的边长是不是有理数，感受客观世界中无理数的存在；能用有理数估计一个无理数的大致范围。 2.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景，培养发现问题、提出问题的能力。同时，借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并利用计算器估算，培养估算能力，发展抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想。 3.渗透数形结合、分类讨论、特殊与一般的思想，培养代数推理能力。 4.在拼图和网格纸中作出无理数表示线段长度的过程中，发展分析问题和解决问题的能力，积累从图形的特征思考数学问题的思维经验。 教学重点：对数系扩充合理性的理解，意识到确实存在某些数，既不是整数也不是分数，它们具有无限不循环的特征。 教学难点：认识到无理数既不是整数也不是分数，是无限不循环小数。 四、教学过程设计 【第一环节】回顾置疑 1.活动内容 思考：（1）一个整数的平方一定是整数吗？ （2）一个分数的平方一定是分数吗？ 2.活动目的 进行必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理。 【第二环节】课题引入 1.活动内容 图1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。设大正方形的边长为a，a满足什么条件？它是我们学过的数吗？（要求：不允许有多余部分，所得的正方形不允许有空缺） 图1 尝试·思考 （1）如图2，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？它是我们学过的数吗？ 图2 2.活动目的 通过动手操作，初步感知客观存在的“无理数”实例，让学生深刻感受“数不够用了”。 3.注意事项 无理数的学习标志着学生的知识结构从有理数范畴拓展到实数范畴，是一次重要的数系扩充。由于学生对数的认识是从现实生活需求出发的，遵循“自然数—整数—有理数—实数”的脉络不断拓展和丰富。学生对有理数的认识是具象可感的，是可以“数出来”“量出来”的，但无理数是抽象的“想出来”的。以学生现有经验的有限性去认识无理数概念的“无限性”，存在理解上的困难。因此，对无理数的认识要从现实需求出发，让学生直观感知其客观存在性，让学生在实验操作中引发思考，通过思考感知问题中的a，b确实存在，但不是有理数。 【第三环节】新知释疑 1.活动内容 思考·交流 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ （1）如图3，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 图3 （2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。 （3）小明将他的探索过程整理如下： 边长a 面积S 1<a<2 1<S<4 1.4<a<1.5 1.96<S<2.25 1.41<a<1.42 1.988 1<S<2.016 4 1.414<a<1.415 1.999 396<S<2.002 225 1.414 2<a<1.414 3 1.999 961 64<S<2.000 244 49 还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ （4）面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？与同伴进行交流。 2.活动目的 上一环节的“尝试·思考”让学生感知a，b确实存在，但不是有理数。本环节的“思考·交流”则意在让学生感受a，b的大小。如何感知？这里借助了计算器进行逼近和估计，在这一过程中，可以初步感受a，b的大小，同时也让学生感受到这样的逼近过程可以一直重复下去，进而感知无理数是无限不循环小数。 3.注意事项 （1）这里采用了“呈现小明的探究”方式进行问题研究，在实际授课中，教师可以让学生进行类似的操作，然后呈现学生的解答。 （2）活动最后，教师需要明晰：事实上，a=1.414 213 56⋯，b=2.236 067 97⋯，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 【第四环节】知识巩固 1.活动内容 （1）在图4的正方形网格中，分别画出满足以下条件的两个正方形： ①面积为9，且正方形的顶点在格点上； ②面积为13，且正方形的顶点在格点上。 图4 （2）在图5的正方形网格中分别画出以下四个三角形：图5 ①三边长都是有理数； ②只有两边长是有理数； ③只有一边长是有理数； ④三边长都不是有理数。 （3）如图6，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗? （4）同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整数吗？图6 2.活动目的 前面2个方格纸画图问题，增添知识的趣味性、关联性和层次性，让学生初步学会辨别有理数和无理数，进一步感受“新数”的存在，培养灵活运用知识的能力。后面2个问题，是对本节课开始问题的变式，加深对“新知”的理解。 3.注意事项 （1）问题（2）的答案不唯一。 （2）在解决问题（1）（2）的过程中，需将本章内容与勾股定理的内容进行联系。 【第五环节】课堂小结 1.活动内容 （1）通过本课学习，你收获了哪些数学知识和能力？ （2）通过本课学习，你提升了哪些数学思维能力？ （3）通过本课学习，你掌握了哪些数学语言的表达方式？ （4）除了本课所认识的非有理数外，你还能找到其他的数吗？ 2.活动目的 通过课堂小结，理清本节课的知识脉络，培养学生的核心素养。引导学生用数学眼光观察现实世界，主要表现为抽象能力和几何直观；帮助学生用数学思维思考现实世界，主要表现为运算能力和推理能力；实现用数学的语言表达现实世界，主要表现在应用意识。 3.注意事项 学生总结，教师补充，帮助学生逐步深化对无理数的认识和理解。 【第六环节】布置作业 1.活动内容 基础作业：习题2.1第5、第6题； 拓展作业：利用网格纸设计格点正方形，正方形面积小于100，共有多少种情况？（注：面积相同的不同画法均视为同一种情况） 实践作业：查阅相关资料，进一步了解数学史上无理数的发现历程。完成数学小论文“我对数系扩充的再认识”。 2.活动目的 设计不同难度、不同类别的作业，加强对本课时学习内容的理解，为不同层次学生的发展提供有力支持。 五、教学反思 1.概念是学习新知识的基本内容，每个知识点都是从概念教学开始的。概念教学不是告知学生结果去记忆就行，而是要让学生体验知识的产生、发展和应用的过程。从认知的过程来讲，形成概念是从感性认识上升到理性认识的过程，即由特殊到一般的总结和归纳；而巩固概念则是加深理解和灵活运用的过程，即从一般到特殊的应用过程。因此概念教学与应用是一个有机的整体、一个完美的闭环。 本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计、计算器进行探索、讨论等，引导学生用数学的眼光观察现实世界，体会数学学习的乐趣和无限逼近的数学思想，从而得到无理数的概念；在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生，这一探索过程所需时间较长，可能会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的，绝对不能淡化。 2.保持以研究的态度看待教学，以谦虚的态度研究教学，紧跟时代要求丰富教学手段。基于数学课堂做研究，基于对数学、学生、教学的理解寻找切入点，在常态课中将信息技术与数学适当融合，将抽象的知识形象化，帮助学生加深对知识的理解，丰富体验，促进学生个性化发展。同时，引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳思想，为今后的数学学习打下坚实基础。 学科网（北京）股份有限公司 $$