22.3第1课时　几何图形面积问题课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章　二次函数 22.3　实际问题与二次函数 第1课时　几何图形面积问题 猎豹图书 学习目标 (1)能建立二次函数模型解决与几何图形相关的实际问题. (2)会用二次函数的图象和性质解决实际问题. 猎豹图书 问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 分析： ①由a=-5可得，图象的开口向下； ②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图； ③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度。 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. h＝30t-5t2 (0≤t≤6) 即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数有最小（大）值 。 利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？ 思考 探究 用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ l S ①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是 m，场地面积S= m2. ②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组： . 解不等式组得l的范围是 . l S 总长为60m 分析： (30-l) l(30-l) 0<l<30 何时取最大值呢？ S=l(30-l) l S 总长为60m ③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与横轴的交点坐标是 ，与纵轴的交点坐标是 . 向下 直线l=15 (15,225) (0，0)，(30，0) (0，0) ④根据l的取值范围及③画出该函数图象的草图。 50 100 S 150 200 250 O -50 50 l 由图象知： 点 是图象的最高点，即当l= 时，S有最_____ (选填“大”或“小”)值. (15,225) 15 大 用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ l S 解： 场地的面积 S=l(30-l) 即S=-l2+30l (0<l<30) 即当l是15m时，场地的面积S最大。 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 2.图形面积最值问题： 由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 1.运动问题： （1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解； （2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题. 1. 将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的最大面积为 （　A　） A. m2 B. m2 C. m2 D. 1m2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图，小明想用长为60米的栅栏，一面借助房屋的外 墙围成一个矩形菜园.已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面 积是 平方米. （第2题） 450　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. ★如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃ABCD. 设花 圃的一边AB的长为xm，面积为ym2. （1） 求y与x之间的函数解析式. 解：（1） 由题意，得y＝x（30－3x）＝ －3x2＋30x. ∴ y与x之间的函数解析式为y＝－3x2＋30x. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长是多少？ 解：（2） 当y＝63时，－3x2＋30x＝63， 解得x1＝7，x2＝3.当x＝7时，30－3x＝9＜10， 符合题意； 当x＝3时，30－3x＝21＞10，不合题意，舍去. ∴ AB的长是7m. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （3） 试确定当x取何值时y有最大值，并求出最大面积. 解：（3） y＝－3x2＋30x＝－3（x－5）2＋75. 由题意，得0＜30－3x≤10，解得 ≤x＜10. ∵ －3＜0，∴ 当x＞5时，y随x的增大而减小. ∴ 当x＝ 时y有最大值， 最大面积为－3× ＋75＝ （m2）. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长 为am，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行.设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2，y关于x的函数图象如图②所示，则下列说法中，正确的是（　D　） （第4题） D A. 矩形ABCD的最大面积为8m2 B. y与x之间的函数解析式为y＝－x2＋2x C. 当x＝4时，矩形ABCD的面积最大 D. a的值为12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A开始，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.当其中一个点到达终点时，两点停止移动.设移动时间为ts.当四边形APQC的面积最小时，t的值是（　D　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （第5题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，E是AD上一动点 （不与点A，D重合），F是CD上一动点，且AE＋CF＝8，则△DEF 的面积的最大值为 ⁠. （第6题） 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案是由 四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方 形的边长为m，直角三角形较短直角边的长为n，且n＝2m－4，大正 方形的面积为S. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （1） 求S关于m的函数解析式. 解：（1） ∵ 小正方形的边长为m，直角三角形较短直 角边的长为n，∴ 直角三角形较长直角边的长为m＋n. ∴ 由勾股定理，得S＝（m＋n）2＋n2.∵ n＝2m－4， ∴ S＝（m＋2m－4）2＋（2m－4）2＝13m2－40m＋32. ∵ n＝2m－4＞0，∴ m＞2. ∴ S关于m的函数解析式为S＝13m2－40m＋32（m＞2）. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2） 若小正方形的边长不大于3，求出当大正方形的面积最大时m 的值. 解：（2） ∵ S＝13m2－40m＋32＝ ＋ （2＜m≤3）， ∴ 当m≥ 时，S随x的增大而增大. ∴ 当大正方形的面积最大时，m＝3. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 将一副三角尺（△ABC与△DEF）按如图所示的方式放置，点D在 边AB上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始 终保持DG＝DH. 若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（　C　） A. 3 B. 3 C. D. （第8题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $$